1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量
2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系
3.能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理
4.能用向量方法解決點(diǎn)到直線，點(diǎn)到平面，相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用．
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
1.點(diǎn)的位置向量
在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量來(lái)表示.我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量.
2.空間直線的向量表示式
a是直線l的方向向量,在直線l上取=a,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn),由向量共線的條 件可知,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得=ta,即.進(jìn)一步地,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使③ ta(i),將=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都稱為空間直線的向量表示式.
3.空間平面的向量表示式
取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)使得，該式稱為空間平面的向量表示式。
二、平面的法向量求法
設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0.))
三、用向量證明空間中的平行關(guān)系
1.設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.
2.設(shè)直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使v＝xv1＋yv2.
3.設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?v⊥u.
4.設(shè)平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β?u1∥u2.
【解讀】用向量證明直線與平面平行,可以通過(guò)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,也可以通過(guò)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直,當(dāng)然,直線要在平面外．用向量證明直線和平面垂直,可以通過(guò)證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量分別垂直,也可以通過(guò)證明該直線的方向向量和平面的法向量平行．
四、用向量證明空間中的垂直關(guān)系
1.設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.
2.設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?v∥u.
3.設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.
【解讀】利用空間向量證明面面垂直的基本方法：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可．
五、兩條異面直線所成角的求法
設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則
【解答】要求異面直線AG與CE所成角的余弦值,可利用向量的數(shù)量積,求出eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))及|eq \(AG,\s\up6(→))|和|eq \(CE,\s\up6(→))|的值,再套用公式cs〈eq \(AG,\s\up6(→)),eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AG,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(AG,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)求得eq \(AG,\s\up6(→))與eq \(CE,\s\up6(→))所成角的余弦值,但上述結(jié)果并不一定是異面直線所成的角,由于異面直線所成角的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))),所以,若求得的余弦值為負(fù)值,則取其絕對(duì)值．
六、直線與平面所成角的求法
設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,a與n的夾角為β,則sinθ＝|csβ|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
【解讀】利用空間向量求直線與平面所成的角,可以有兩種方法：
①通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角；
②分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,再轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．
注意：直線與平面所成角的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
七、求二面角的大小
1.如圖①,AB,CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))〉．
2.如圖②③,n1,n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|csθ|＝|cs〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．
八、利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離
如圖所示,已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離為|eq \(BO,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：求平面的法向量
例1．(多選)(2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高二上學(xué)期期中)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是( )
A．直線的一個(gè)方向向量為
B．直線的一個(gè)方向向量為
C．平面的一個(gè)法向量為
D．平面的一個(gè)法向量為
考點(diǎn)二：用空間向量判斷或證明平行關(guān)系
例2．已知?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量，則下列所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
①；②；③；④.
考點(diǎn)三：用向量判斷或證明垂直關(guān)系
例3．(2022學(xué)年江蘇省鹽城市濱?？h五汛中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為( )
A．B．C．D．或
考點(diǎn)四：用空間向量求異面直線所成角
例4．(2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考)將正方形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)五：用空間向量求線面角
例5．如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是，，那么這條斜線與平面所成角的大小為___________.
考點(diǎn)六：用空間向量求二面角
例6．(2022學(xué)年江西省南昌市六校高二下學(xué)期期中聯(lián)考)如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
考點(diǎn)七：用空間向量求距離
例7. (2022學(xué)年福建省龍巖第一中學(xué)高二下學(xué)期第二次月考)已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則到的距離為( )
A．B．C．4D．10
【真題演練】
1.(2022學(xué)年江蘇省宿遷市三校高二5月聯(lián)考)已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值為( )
A．B．C．1D．2
2. (2022學(xué)年貴州省遵義市第五中學(xué)高二上學(xué)期期中)在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
3. (2022學(xué)年廣東省廣州市奧林匹克中學(xué)高二6月月考)如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．//
B．
C．//平面
D．平面
4.(多選)(2022學(xué)年重慶市南華中學(xué)校高二上學(xué)期10月月考)以下命題正確的是( )
A．直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直；
B．直線l的方向向量，平面的法向量，則；
C．平面的法向量分別為，則；
D．平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則．
5.(2022學(xué)年廣東省潮州市高二上學(xué)期月考)兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為____
6. (2020-2021學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).設(shè)D是線段上的(包括兩個(gè)端點(diǎn))動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為_______.
7. (2022新高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
8.(2022新高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年福建省古田縣高二下學(xué)期月考)已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，，則直線與平面( )
A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．位置關(guān)系無(wú)法確定
2. (2022學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市臨泉第一中學(xué)高二下學(xué)期月考)在正方體中，為正方形ABCD的中心，則直線與直線所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
3. (2022學(xué)年福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟(九校)高二下學(xué)期期中)如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，，的中點(diǎn)，則EF與平面所成角的正弦值為( )
A．B．C．D．
4.(2022學(xué)年江蘇省南京市第十三中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)點(diǎn)A，B分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的x，y正半軸上，點(diǎn)C(0，0，2)，平面ABC的法向量為，設(shè)二面角C—AB—O的大小為θ，則csθ的值為( )
A．B．C．D．
5.(多選)(2022學(xué)年云南省會(huì)澤縣高二下學(xué)期開學(xué)考試)已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量(，不重合)，那么下列說(shuō)法中，正確的有( )
A．B．
C．D．
6.(多選)(2022學(xué)年江蘇省南京市第十三中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，，，，下列結(jié)論中正確的是( )
A．AP⊥ABB．存在實(shí)數(shù)λ，使
C．是平面ABCD的法向量D．四邊形ABCD的面積為
7.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮安區(qū)高二下學(xué)期期中)已知平面，寫出平面的一個(gè)法向量______．
8.(2022學(xué)年廣東省江門市部分名校高二下學(xué)期期中)已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，且平面，則______.
9. (2021－2022學(xué)年北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期統(tǒng)練)在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面，，且，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
10．(2020-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)如圖，四棱錐中，面，底面為菱形，，M是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值．l1與l2所成的角θ
a與b的夾角β
范圍
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
[0,π]
求法
csθ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)
csβ＝eq \f(a·b,|a||b|)
第09講 空間向量的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量
2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系
3.能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理
4.能用向量方法解決點(diǎn)到直線，點(diǎn)到平面，相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用．
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
1.點(diǎn)的位置向量
在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量來(lái)表示.我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量.
2.空間直線的向量表示式
a是直線l的方向向量,在直線l上取=a,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn),由向量共線的條 件可知,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得=ta,即.進(jìn)一步地,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使③ ta(i),將=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都稱為空間直線的向量表示式.
3.空間平面的向量表示式
取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)使得，該式稱為空間平面的向量表示式。
二、平面的法向量求法
設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0.))
三、用向量證明空間中的平行關(guān)系
1.設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.
2.設(shè)直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使v＝xv1＋yv2.
3.設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?v⊥u.
4.設(shè)平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β?u1∥u2.
【解讀】用向量證明直線與平面平行,可以通過(guò)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,也可以通過(guò)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直,當(dāng)然,直線要在平面外．用向量證明直線和平面垂直,可以通過(guò)證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量分別垂直,也可以通過(guò)證明該直線的方向向量和平面的法向量平行．
四、用向量證明空間中的垂直關(guān)系
1.設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.
2.設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?v∥u.
3.設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.
【解讀】利用空間向量證明面面垂直的基本方法：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可．
五、兩條異面直線所成角的求法
設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則
【解答】要求異面直線AG與CE所成角的余弦值,可利用向量的數(shù)量積,求出eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))及|eq \(AG,\s\up6(→))|和|eq \(CE,\s\up6(→))|的值,再套用公式cs〈eq \(AG,\s\up6(→)),eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AG,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(AG,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)求得eq \(AG,\s\up6(→))與eq \(CE,\s\up6(→))所成角的余弦值,但上述結(jié)果并不一定是異面直線所成的角,由于異面直線所成角的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))),所以,若求得的余弦值為負(fù)值,則取其絕對(duì)值．
六、直線與平面所成角的求法
設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,a與n的夾角為β,則sinθ＝|csβ|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
【解讀】利用空間向量求直線與平面所成的角,可以有兩種方法：
①通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角；
②分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,再轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．
注意：直線與平面所成角的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
七、求二面角的大小
1.如圖①,AB,CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))〉．
2.如圖②③,n1,n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|csθ|＝|cs〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．
八、利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離
如圖所示,已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離為|eq \(BO,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：求平面的法向量
例1．(多選)(2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高二上學(xué)期期中)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是( )
A．直線的一個(gè)方向向量為
B．直線的一個(gè)方向向量為
C．平面的一個(gè)法向量為
D．平面的一個(gè)法向量為
【答案】AC
【解析】由題意，,,,,,
∵，∴向量為直線的一個(gè)方向向量，故正確,不正確；
設(shè)平面的法向量為， 則,
由，得，
令得，則正確;
設(shè)平面的法向量為，則，
由，得，
令得，則不正確.故選.
考點(diǎn)二：用空間向量判斷或證明平行關(guān)系
例2．已知?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量，則下列所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
①；②；③；④.
【答案】①②③④
【解析】因?yàn)?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量；
直線，的方向向量平行(垂直)等價(jià)于直線?平行(垂直)，故①、②正確；
平面，的法向量平行(垂直)等價(jià)于平面，平行(垂直)、故③、④正確；
故答案為：①②③④
考點(diǎn)三：用向量判斷或證明垂直關(guān)系
例3．(2022學(xué)年江蘇省鹽城市濱海縣五汛中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為( )
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】因?yàn)椋磁c平行，所以直線與平面垂直.故選B
考點(diǎn)四：用空間向量求異面直線所成角
例4．(2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考)將正方形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取中點(diǎn)為，連接，所以，
又面面且交線為，面，
所以面，面，則.
設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為2，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，
所以，.
所以異面直線與所成角的余弦值為.故選A
考點(diǎn)五：用空間向量求線面角
例5．如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是，，那么這條斜線與平面所成角的大小為___________.
【答案】60°
【解析】∵，∴，
又∵斜線和平面夾角的范圍是，∴這條斜線與平面所成角的大小為．
考點(diǎn)六：用空間向量求二面角
例6．(2022學(xué)年江西省南昌市六校高二下學(xué)期期中聯(lián)考)如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】 (1)證明：在平行四邊形中，令，則
，
在中，，所以.
又平面平面，且平面平面，
所以平面.
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面；
(2)由(1)得，以為空間直角原點(diǎn)，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
令，
，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則
得
令，得，，
所以平面的法向量為；
設(shè)平面的法向量為，
即
令，得，
所以平面的法向量為.
所以，由圖可知二面角為鈍角，
所以所求二面角的余弦值為.
考點(diǎn)七：用空間向量求距離
例7. (2022學(xué)年福建省龍巖第一中學(xué)高二下學(xué)期第二次月考)已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則到的距離為( )
A．B．C．4D．10
【答案】C
【解析】由題意，得，又知平面的一個(gè)法向量，
則到平面的距離，故選C.
【真題演練】
1.(2022學(xué)年江蘇省宿遷市三校高二5月聯(lián)考)已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值為( )
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由題意得：，所以，解得：，故選C
2. (2022學(xué)年貴州省遵義市第五中學(xué)高二上學(xué)期期中)在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，則，，，，則，，
設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選B.
3. (2022學(xué)年廣東省廣州市奧林匹克中學(xué)高二6月月考)如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【解析】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，
則，，，
對(duì)于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；
對(duì)于B，因，則，即，B正確；
對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選B
4.(多選)(2022學(xué)年重慶市南華中學(xué)校高二上學(xué)期10月月考)以下命題正確的是( )
A．直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直；
B．直線l的方向向量，平面的法向量，則；
C．平面的法向量分別為，則；
D．平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則．
【答案】AD
【解析】，直線l與m垂直，A正確；
，或，B錯(cuò)誤；
不共線，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；
，向量是平面的法向量，
，即，則，D正確．故選AD．
5.(2022學(xué)年廣東省潮州市高二上學(xué)期月考)兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為____
【答案】
【解析】?jī)善矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為，，
設(shè)兩平面的夾角為，
所以，即，因?yàn)椋?br>所以，即兩平面的夾角為．
6. (2020-2021學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).設(shè)D是線段上的(包括兩個(gè)端點(diǎn))動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為_______.
【答案】
【解析】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：
則設(shè)，
則，設(shè)直線與所成角為
所以，即，
解得或(舍去)，所以，
7. (2022新高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解析】(1)在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，
則，
解得，
所以點(diǎn)A到平面的距離為；
(2)取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由(1)得，所以，，所以，
則,所以的中點(diǎn)，
則，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
則，
所以二面角的正弦值為.
8.(2022新高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【解析】(1)證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面
(2)解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，所以?br>又，所以，則，，
所以，所以，，，，所以，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
所以
設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，
所以，所以
故二面角的正弦值為；
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年福建省古田縣高二下學(xué)期月考)已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，，則直線與平面( )
A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．位置關(guān)系無(wú)法確定
【答案】D
【解析】由題意得，∵，∴⊥，∴直線l在平面α內(nèi)或直線l與平面α平行．
故選D．
2. (2022學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市臨泉第一中學(xué)高二下學(xué)期月考)在正方體中，為正方形ABCD的中心，則直線與直線所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC, 分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，
則 ,則 ，
故 ，故線與直線所成角的余弦值為，
故選B
3. (2022學(xué)年福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟(九校)高二下學(xué)期期中)如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，，的中點(diǎn)，則EF與平面所成角的正弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，，
故為平面的一個(gè)法向量，
EF與平面所成角為，則
EF與平面所成角的正弦值為，故選A．
4.(2022學(xué)年江蘇省南京市第十三中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)點(diǎn)A，B分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的x，y正半軸上，點(diǎn)C(0，0，2)，平面ABC的法向量為，設(shè)二面角C—AB—O的大小為θ，則csθ的值為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)平面ABO的法向量為，設(shè)，
則，于是有：，
因此，故選D
5.(多選)(2022學(xué)年云南省會(huì)澤縣高二下學(xué)期開學(xué)考試)已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量(，不重合)，那么下列說(shuō)法中，正確的有( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】A選項(xiàng)，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等價(jià)于平面α，β平行，故A正確；
B選項(xiàng)，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等價(jià)于平面α，β垂直，故B正確；
C選項(xiàng)，直線的方向向量平行于平面的法向量等價(jià)于直線垂直于平面，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，直線的方向向量垂直于平面的法向量等價(jià)于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.
故選AB.
6.(多選)(2022學(xué)年江蘇省南京市第十三中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，，，，下列結(jié)論中正確的是( )
A．AP⊥ABB．存在實(shí)數(shù)λ，使
C．是平面ABCD的法向量D．四邊形ABCD的面積為
【答案】ACD
【解析】因?yàn)椋?，故A正確；
與不平行，故B錯(cuò)誤．
因?yàn)?，且與不平行，所以是平面ABCD的法向量，故C正確；
由
故四邊形ABCD的面積為，
D正確；故選ACD．
7.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮安區(qū)高二下學(xué)期期中)已知平面，寫出平面的一個(gè)法向量______．
【答案】(答案不唯一)
【解析】設(shè)法向量為，則有，令得：，所以
8.(2022學(xué)年廣東省江門市部分名校高二下學(xué)期期中)已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，且平面，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)槠矫?，所以，則，解得.
9. (2021－2022學(xué)年北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期統(tǒng)練)在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面，，且，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】 (1)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，
所以，顯然平面的法向量可以為，
所以，即，又平面，所以平面；
(2)解：因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，所以，
顯然平面的法向量可以為，
設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍角，
則，
所以二面角的余弦值為；
(3)解：由(2)知平面的法向量為，
又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則
所以點(diǎn)到平面的距離；
10．(2020-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)如圖，四棱錐中，面，底面為菱形，，M是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】 (1)證明：∵面，面，
∴，
又,
∴平面.
(2)取的中點(diǎn)為N，則兩兩垂直，
∴以分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系如圖，
則，
設(shè)面的法向量為，
則
令，則，．
又面，∴面的法向量，
∴，
又二面角的平面角為銳角，∴余弦值為．
l1與l2所成的角θ
a與b的夾角β
范圍
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
[0,π]
求法
csθ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)
csβ＝eq \f(a·b,|a||b|)

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