回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程
【基礎知識】
一、圓的定義
平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓,定點稱為圓心,定長稱為圓的半徑
二、圓的標準方程
1.圓心為A(a,b) ,半徑為r(r>0) 的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 .
當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點 為圓心,r為半徑的圓.
2.圓的標準方程的兩個基本幾何要素:圓心 和半徑分別確定了圓的位置和大
小,從而確定了圓,所以只要a,b,r(r>0)三個量確定了,圓的方程就唯一確定了.
三、點與圓的位置關系
圓A的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心A(a,b),半徑為r(r>0).設所給點為M(x0,y0),則
四、求圓的標準方程的方法
1.直接代入法
已知圓心坐標和半徑大小,直接代入圓的標準方程即可.
(1)利用條件確定圓心C(a,b)及半徑長r.
(2)利用幾何性質,確定圓心C(a,b)及半徑長r.
①圓心與切點的連線垂直于圓的切線;
②圓心到切線的距離等于圓的半徑長;
③圓的半徑長r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;
④圓的弦的垂直平分線過圓心;
⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點,則兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與圓心所在直線l的交點即為圓心.
2.待定系數(shù)法
(1)根據題意,設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);
(2)根據已知條件,建立關于a,b,r的方程組;
(3)解方程組,求出a,b,r的值;
(4)將a,b,r代入所設的方程中,即可得到所求圓的標準方程.
五、圓的一般方程
1.圓的一般方程的概念
(1)當D2+E2-4F>0 時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以 為圓心,為半徑的圓.
2.圓的一般方程在形式上的特點
(1)x2和y2的系數(shù)相等且不為0;
(2)不含xy項.
六、與圓有關的軌跡問題
1.用直接法求與圓有關的軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當?shù)淖鴺讼?用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;
(2)列出適合條件P的點M的集合{M|P(M)};
(3)用坐標表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
簡記為:建系、設點、列式、代換、化簡、證明.
直接法求點的軌跡方程的關鍵是找到一個能體現(xiàn)該動點運動特征的等量關系,再將該等量
關系坐標化并化簡,最后得動點的軌跡方程.
2.求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法:直接根據題目提供的條件列出方程.
(2)定義法:根據圓、直線等定義列方程.
(3)代入法:找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式.
【考點剖析】
考點一：根據圓的標準方程確定圓的幾何性質
例1．(2022學年江蘇省揚州市高郵市第一中學高二上學期期末)已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為( )
A．1B．2C．D．
考點二：利用圓的幾何性質確定圓的標準方程
例2．(2022學年福建省永春第一中學高二下學期期初考試)已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.
考點三：圓的一般方程
例3．(2022學年廣東省信宜市第二中學高二下學期月考)經過圓的圓心，且與直線平行的直線方程是( )
A．B．
C．D．
考點四：利用待定系數(shù)法確定圓的方程
例4．(2022學年新疆石河子第二中學高二上學期第一次月考)三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓方程是( )
A．B．
C．D．
考點五：根據圓的一般方程確定圓的幾何性質
例5．(2022學年黑龍江省哈爾濱市第三十二中學高二下學期期中)已知圓方程的圓心為( )
A．B．C．D．
考點六：點與圓的位置關系
例6．(多選)(2022學年廣東省佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學高二上學期第二次段測)已知圓的方程是，則下列坐標表示點在圓外的有( )
A．B．C．D．
考點七：與圓有關的軌跡問題
例7．(2022學年四川省南充市南部縣第二中學高二下學期3月月考)已知圓的圓心在直線上，且過和兩點.
(1)求圓的標準方程；
(2)過點的直線與圓交于兩點，求弦中點的軌跡方程.
【真題演練】
1.(2022學年重慶市石柱中學校高二上學期第一次月考)若曲線：表示圓，則實數(shù)的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
2. (2022學年福建省寧德市部分達標中學高二上學期期中聯(lián)合考試)某圓經過兩點，圓心在直線上，則該圓的標準方程為( )
A．B．
C．D．
3．(2022學年吉林省白山市高二上學期期末)已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為( )
A．B．
C．D．
4.(多選)(2022學年山東省濰坊市高二上學期期中)直線 與圓 的大致圖像可能正確的是( )
A．B．
C．D．
5.(多選)(2022學年山東省青島市第十九中學高二上學期)設有一組圓：，下列命題正確的是( )
A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上
B．所有圓均不經過點
C．經過點的圓有且只有一個
D．所有圓的面積均為
6.(2022學年重慶市主城區(qū)六校高二上學期期末)以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是____________．
7.(2020-2021學年湖北省荊州市沙市第四中學高二上學期11月階段性測試)已知直線與圓相交于點和點．
(1)求圓心所在的直線方程；
(2)若圓心的半徑為1，求圓的方程
8.(2022學年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高二上學期期中)直線過點且與直線平行.
(1)求直線的方程；
(2)求圓心在直線上且過點、的圓的方程.
【過關檢測】
1. (2022學年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學期5月月考)與圓C：關于直線對稱的圓的方程為( )
A．B．
C．D．
2.已知點A(1，2)在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
3.(2022學年吉林省四平市第一高級中學高二上學期期末)已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為( )
A．B．C．D．
4.(2022學年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學校高二上學期期中)已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
5.(多選)(2022學年河北省鹽山中學高二上學期9月月考)已知圓M的一般方程為，則下列說法中正確的是( )
A．圓M的圓心為B．圓M經過點
C．圓M的半徑為25D．圓M不經過第二象限
6.(多選)(2022學年江蘇省常州市教育學會高二上學期期末)古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值m(m≠1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，，點P滿.設點P的軌跡為C，則下列結論正確的是( )
A．C的方程為
B．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線
C．在C上存在K使得
D．在x軸上存在異于A，B的兩個定點D，E，使得
7.(2022學年天津市北辰區(qū)高二上學期期中)已知圓的圓心到直線的距離為2，則a的值為___________.
8．(2022學年黑龍江省齊齊哈爾市高二上學期期末)四葉草也叫幸運草，四片葉子分別象征著：成功?幸福?平安?健康，表達了人們對美好生活的向往.梵克雅寶公司在設計四葉草吊墜的吋候，利用了曲線方程(如圖所示)進行圖案繪制.試求曲線圍成的封閉圖形的面積___________.
9.(2022學年重慶市四川外語學院重慶第二外國語學校高二上學期10月月考)求滿足下列條件的方程.
10.(2022學年安徽省六安中學高二上學期期中)在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上.
(1)求圓的方程；
(2)已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.位置關系
判斷方法
幾何法
代數(shù)法
點在圓上
|MA|=r?點M在圓A上
點M(x0,y0)在圓A上?(x0-a)2+(y0-
b)2=r2
點在圓內
|MA|r2
第12講 圓的方程
【學習目標】
回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程
【基礎知識】
一、圓的定義
平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓,定點稱為圓心,定長稱為圓的半徑
二、圓的標準方程
1.圓心為A(a,b) ,半徑為r(r>0) 的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 .
當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點 為圓心,r為半徑的圓.
2.圓的標準方程的兩個基本幾何要素:圓心 和半徑分別確定了圓的位置和大
小,從而確定了圓,所以只要a,b,r(r>0)三個量確定了,圓的方程就唯一確定了.
三、點與圓的位置關系
圓A的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心A(a,b),半徑為r(r>0).設所給點為M(x0,y0),則
四、求圓的標準方程的方法
1.直接代入法
已知圓心坐標和半徑大小,直接代入圓的標準方程即可.
(1)利用條件確定圓心C(a,b)及半徑長r.
(2)利用幾何性質,確定圓心C(a,b)及半徑長r.
①圓心與切點的連線垂直于圓的切線;
②圓心到切線的距離等于圓的半徑長;
③圓的半徑長r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;
④圓的弦的垂直平分線過圓心;
⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點,則兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與圓心所在直線l的交點即為圓心.
2.待定系數(shù)法
(1)根據題意,設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);
(2)根據已知條件,建立關于a,b,r的方程組;
(3)解方程組,求出a,b,r的值;
(4)將a,b,r代入所設的方程中,即可得到所求圓的標準方程.
五、圓的一般方程
1.圓的一般方程的概念
(1)當D2+E2-4F>0 時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以 為圓心,為半徑的圓.
2.圓的一般方程在形式上的特點
(1)x2和y2的系數(shù)相等且不為0;
(2)不含xy項.
六、與圓有關的軌跡問題
1.用直接法求與圓有關的軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當?shù)淖鴺讼?用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;
(2)列出適合條件P的點M的集合{M|P(M)};
(3)用坐標表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
簡記為:建系、設點、列式、代換、化簡、證明.
直接法求點的軌跡方程的關鍵是找到一個能體現(xiàn)該動點運動特征的等量關系,再將該等量
關系坐標化并化簡,最后得動點的軌跡方程.
2.求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法:直接根據題目提供的條件列出方程.
(2)定義法:根據圓、直線等定義列方程.
(3)代入法:找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式.
【考點剖析】
考點一：根據圓的標準方程確定圓的幾何性質
例1．(2022學年江蘇省揚州市高郵市第一中學高二上學期期末)已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為( )
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】由圓：，得圓，半徑為，所以
，所以點到圓上點的最小距離為.故選C.
考點二：利用圓的幾何性質確定圓的標準方程
例2．(2022學年福建省永春第一中學高二下學期期初考試)已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.
【答案】
【解析】因為和，故可得中點為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標準方程是：.
考點三：圓的一般方程
例3．(2022學年廣東省信宜市第二中學高二下學期月考)經過圓的圓心，且與直線平行的直線方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圓，，圓心為，所求直線與直線平行，
可設直線方程為，把圓心代入得，解得，故所求直線方程為．故選A.
考點四：利用待定系數(shù)法確定圓的方程
例4．(2022學年新疆石河子第二中學高二上學期第一次月考)三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設圓的一般方程為，因為，，在這個圓上，所以有，故選B
考點五：根據圓的一般方程確定圓的幾何性質
例5．(2022學年黑龍江省哈爾濱市第三十二中學高二下學期期中)已知圓方程的圓心為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，即，
所以圓心坐標為；故選C
考點六：點與圓的位置關系
例6．(多選)(2022學年廣東省佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學高二上學期第二次段測)已知圓的方程是，則下列坐標表示點在圓外的有( )
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】選項A中在圓外；選項B中在圓內；選項C中在圓內；選項D中在圓外.故選AD.
考點七：與圓有關的軌跡問題
例7．(2022學年四川省南充市南部縣第二中學高二下學期3月月考)已知圓的圓心在直線上，且過和兩點.
(1)求圓的標準方程；
(2)過點的直線與圓交于兩點，求弦中點的軌跡方程.
【解析】 (1)設圓心，則，
即，解得：，
，又圓心，圓的標準方程為；
(2)為弦中點，，即，
設，則，，
，
即點的軌跡方程為：.
【真題演練】
1.(2022學年重慶市石柱中學校高二上學期第一次月考)若曲線：表示圓，則實數(shù)的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，由該曲線表示圓，
可知，解得或，故選B.
2. (2022學年福建省寧德市部分達標中學高二上學期期中聯(lián)合考試)某圓經過兩點，圓心在直線上，則該圓的標準方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為圓經過兩點，所以圓心在中垂線上，聯(lián)立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選D
3．(2022學年吉林省白山市高二上學期期末)已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上．由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為．故選C
4.(多選)(2022學年山東省濰坊市高二上學期期中)直線 與圓 的大致圖像可能正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：直線不經過第四象限，所以，所以圓的圓心在第一象限，因此本選項可能正確；
B：直線不經過第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，因此本選項不可能正確；
C：直線不經過第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，又因為該圓經過原點，所以有，在圓的方程中，令，
得或，因為，
所以，因此本選項可能正確；
D：直線不經過第二象限，所以，所以圓的圓心在第四象限，又因為該圓經過原點，所以有，在圓的方程中，令，
得或，因為，
所以，因此本選項不可能正確，故選AC
5.(多選)(2022學年山東省青島市第十九中學高二上學期)設有一組圓：，下列命題正確的是( )
A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上
B．所有圓均不經過點
C．經過點的圓有且只有一個
D．所有圓的面積均為
【答案】ABD
【解析】A選項，圓心為，一定在直線上，A正確；
B選項，將代入得：，其中，方程無解，即所有圓均不經過點，B正確；
C選項，將代入得：，其中，故經過點的圓有兩個，故C錯誤；
所有圓的半徑為2，面積為4.故選ABD
6.(2022學年重慶市主城區(qū)六校高二上學期期末)以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是____________．
【答案】
【解析】圓心到直線的距離，又圓與直線相切，所以，所以圓的方程為.
7.(2020-2021學年湖北省荊州市沙市第四中學高二上學期11月階段性測試)已知直線與圓相交于點和點．
(1)求圓心所在的直線方程；
(2)若圓心的半徑為1，求圓的方程
【解析】(1)PQ中點M(,) , ,
所以線段PQ的垂直平分線即為圓心C所在的直線的方程:
(2)由條件設圓的方程為: ，由圓過P,Q點得得到關系式求解得到．則 或 故圓的方程為
8.(2022學年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高二上學期期中)直線過點且與直線平行.
(1)求直線的方程；
(2)求圓心在直線上且過點、的圓的方程.
【解析】 (1)因為直線與直線平行，則直線的方程可設為，
又因為直線過點，所以，
所以直線的方程為；
(2)因為圓心在直線上，所以圓心坐標可設為，
又因為該圓過點、，
所以有，解得，
所以圓心坐標為，半徑，
故圓的方程為.
【過關檢測】
1. (2022學年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學期5月月考)與圓C：關于直線對稱的圓的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圓C：的圓心，半徑．設點關于直線的對稱點為，則，所以圓C關于直線的對稱圓的方程為，故選C．
2.已知點A(1，2)在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題意，表示圓，故，即或
點A(1，2)在圓C：外，故，即
故實數(shù)m的取值范圍為或，即，故選A
3.(2022學年吉林省四平市第一高級中學高二上學期期末)已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題設，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，
所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，
又圓心到的距離，圓的半徑為2，
所以的取值范圍為，即.故選C
4.(2022學年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學校高二上學期期中)已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若表示圓，則，解得.“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實數(shù)的取值范圍是.故選B
5.(多選)(2022學年河北省鹽山中學高二上學期9月月考)已知圓M的一般方程為，則下列說法中正確的是( )
A．圓M的圓心為B．圓M經過點
C．圓M的半徑為25D．圓M不經過第二象限
【答案】AD
【解析】對于選項A、C，圓M的一般方程為，則圓的標準方程為．
所以圓的圓心坐標，半徑為5．所以選項A正確，選項C不正確；對于選項B，將代入圓的方程，不滿足，所以選項B錯誤；對于選項D，令中的，得或，所以圓M被y軸截得的弦長為6，所以選項D正確．
故選AD．
6.(多選)(2022學年江蘇省常州市教育學會高二上學期期末)古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值m(m≠1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，，點P滿.設點P的軌跡為C，則下列結論正確的是( )
A．C的方程為
B．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線
C．在C上存在K使得
D．在x軸上存在異于A，B的兩個定點D，E，使得
【答案】BD
【解析】設點，則由可得，化簡可得，故A錯誤；
當，，三點不共線時，因為，，所以，所以，射線是的平分線，故B正確；設存在，則，即，
因為，所以，所以，所以，又因為，所以，又因為不滿足，
所以不存在滿足條件，故C錯誤；假設軸上存在異于的兩定點，使得，
可設，可得，由P的軌跡方程為，可得，解得或(舍去)，即存在，故D正確.故選BD.
7.(2022學年天津市北辰區(qū)高二上學期期中)已知圓的圓心到直線的距離為2，則a的值為___________.
【答案】
【解析】圓，即，所以圓心坐標為
由圓心到直線的距離為2可得，解得
8．(2022學年黑龍江省齊齊哈爾市高二上學期期末)四葉草也叫幸運草，四片葉子分別象征著：成功?幸福?平安?健康，表達了人們對美好生活的向往.梵克雅寶公司在設計四葉草吊墜的吋候，利用了曲線方程(如圖所示)進行圖案繪制.試求曲線圍成的封閉圖形的面積___________.
【答案】
【解析】當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為
的圓在第一象限的部分；
當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為
的圓在第四象限的部分；
當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為
的圓在第二象限的部分；
當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為
的圓在第三象限的部分；
綜上，四個部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個封閉的區(qū)域.
這個區(qū)域的面積可以割成四個半圓和一個正方形，其中正方形的邊長就是半圓的直徑.
所以總面積為.
9.(2022學年重慶市四川外語學院重慶第二外國語學校高二上學期10月月考)求滿足下列條件的方程.
(1)經過點，且與直線平行；
(2)圓C的圓心在x軸上，并且過點和點兩點，求圓C的標準方程.
【解析】 (1)所求直線與直線平行，則斜率為,
又過點 ,
由直線方程的點斜式可得 ，即.
(2)根據題意,設圓心坐標為，半徑為,
則其標準方程為: ，
由于點和點在圓C上，
則有①，②，
解①②可得，
故所求圓的標準方程為：.
10.(2022學年安徽省六安中學高二上學期期中)在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上.
(1)求圓的方程；
(2)已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
【解析】 (1)由，
令，解得或；令，得，
所以圓過.
設圓的方程為，
，解得，
所以圓的方程為.
(2)設，則，
將的坐標代入圓的方程得，
即.
位置關系
判斷方法
幾何法
代數(shù)法
點在圓上
|MA|=r?點M在圓A上
點M(x0,y0)在圓A上?(x0-a)2+(y0-
b)2=r2
點在圓內
|MA|r2

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