1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置．
2.借助特殊長(zhǎng)方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式
3.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過(guò)程，了解空間向量的概念
4.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、空間向量的有關(guān)概念
1.定義:在空間,把具有大小和方向的量叫做空間向量.
2.長(zhǎng)度(模):空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模.
3.表示法
(1)字母表示法:空間向量用字母a,b,c,…表示;
(2)幾何表示法:空間向量用有向線段表示,有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模.
若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作,其模記為|a|或.
【解讀】
1.空間向量表示空間內(nèi)具有大小和方向的量,平面向量表示平面內(nèi)具有大小和方向的量,空
間向量是在平面向量基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容,它們的運(yùn)算規(guī)律完全相同,空間向量的
相關(guān)定理及公式與平面向量類(lèi)似,可以類(lèi)比學(xué)習(xí);
2.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相
對(duì)應(yīng)的概念完全相同;
3.由于向量是由其模和方向確定的,所以解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題時(shí),通常抓住這兩點(diǎn)來(lái)
解決;
4.零向量是一個(gè)特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量共線,這一點(diǎn)說(shuō)明向量共線不具有傳遞性.
二、空間向量的線性運(yùn)算
【解讀】
利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí),務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果;利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí).
三、向量共線定理
對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb .
四、共面向量定理
1.共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.
2.共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一
的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa
【解讀】
1.若兩個(gè)非零向量共線,則這兩個(gè)向量所在的直線可能平行,也可能重合,證明空間圖形中兩直線平行,可以先用向量法證明兩直線的方向向量平行,然后說(shuō)明一條直線上有一點(diǎn)不在另一條直線上,從而推得兩直線平行,不能由向量平行直接推出直線平行.
2.空間三點(diǎn)共線可以通過(guò)向量共線來(lái)證明,根據(jù)共線向量定理,對(duì)于空間三點(diǎn)A,B,C,可通過(guò)
證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線:
(1)存在實(shí)數(shù)λ,使成立;
(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有(t∈R);
(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有(x+y=1).
五、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律
1.數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【解讀】
1.空間向量運(yùn)算的兩種方法
(1)利用定義:利用a·b=|a||b|cs〈a,b〉并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.
(2)利用圖形:計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點(diǎn),利用圖形尋找?jiàn)A角,再代
入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.
2.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.
(3)代入向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算求解.
3.求空間兩個(gè)向量的夾角的方法
(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來(lái)求,但要注意向量夾角的范圍;
(2)先求a·b,再利用公式求cs〈a,b〉,最后確定〈a,b〉.
4.求兩條異面直線所成的角的步驟
(1)根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量);
(2)將異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題;
(3)利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值;
(4)異面直線所成的角為銳角或直角,利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加
上絕對(duì)值,進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小.
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：對(duì)空間向量有關(guān)概念的理解
例1．下列說(shuō)法正確的是( )
A．零向量沒(méi)有方向
B．空間向量不可以平行移動(dòng)
C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等
D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量
考點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算
例2．化簡(jiǎn)算式：______．
考點(diǎn)三：幾何體中空間向量的線性運(yùn)算
例3．(2022學(xué)年福建省福安市第一中學(xué)高二下學(xué)期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則( )
A．B．
C．D．
考點(diǎn)四：幾何體中共線共面定理的應(yīng)用
例4．如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：
(1)A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面；
(2)；
(3).
考點(diǎn)五：利用數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算
例5．(2022學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高二下學(xué)期線上期中)如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為( )
A．1B．C．D．
考點(diǎn)六：利用數(shù)量積公式求長(zhǎng)度或距離
例6．(2022學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
【真題演練】
1. (2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考)兩個(gè)不同平面，的法向量分別為非零向量，，兩條不同直線，的方向向量分別為非零向量，，則下列敘述不正確的是( )
A．的充要條件為
B．的充要條件為
C．的充要條件為存在實(shí)數(shù)使得
D．的充要條件為
2.(2022學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是( )
A．B．
C．D．
3.(2022學(xué)年浙江省北斗聯(lián)盟高二上學(xué)期中聯(lián)考)在如圖所示的平行六面體中，已知，，為上一點(diǎn)，且，若，則( )
A．B．C．D．
4.(多選)(2020-2021學(xué)年江蘇省常州市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，一定成立的是( )
A．
B．
C．
D．
5.(多選)(2022學(xué)年遼寧省盤(pán)錦市遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，則( )
A．
B．
C．
D．異面直線與所成角的余弦值為
6．(2022學(xué)年安徽省安慶市潛山第二中學(xué)高二上學(xué)期月考)在正四面體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示向量______
7.(2022學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高二下學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)________.
8．(2022學(xué)年河北省唐山市第十一中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖，在正方體中，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式：
(1)；
(2)．.
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年江蘇省連云港市贛榆區(qū)高二下學(xué)期期中)已知，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定，，，四點(diǎn)共面的是( )
A．B．
C．D．
2.(2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)高二下學(xué)期期中)已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則( )
A．B．C．D．
3. (2022學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中)設(shè)A、B、C、D是空間中不共面的四點(diǎn)，令，，，則、、三個(gè)向量( )
A．互不相等B．有且僅有兩個(gè)相等C．都相等D．以上均有可能
4.(2022學(xué)年四川省雅安中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)在正方體中，點(diǎn)P滿足，且，若二面角的大小為，O為的中心，則( )
A．B．C．D．
5.(多選)(2022學(xué)年浙江省寧波市慈溪市高二上學(xué)期期末)在長(zhǎng)方體中，則( )
A．B．
C．D．
6．(2022學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)高二上學(xué)期期末)下列說(shuō)法正確的是( )
A．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則一定共面
B．設(shè)是三個(gè)空間向量，則一定不共面
C．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則
D．設(shè)是三個(gè)空間向量，則
7.(2022學(xué)年河南省焦作市高二上學(xué)期期末)已知在四面體ABCD中，，，則______．
8. (2022學(xué)年江蘇省鹽城市響水中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
9.(2019-2020學(xué)年北京大學(xué)附中石景山學(xué)校高二上學(xué)期期中)如圖所示，已知斜三棱柱，點(diǎn)、分別在和上，且滿足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否與向量，共面？
10．(2022學(xué)年安徽省亳州市第一中學(xué)高二上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè))已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足.
(1)判斷，，三個(gè)向量是否共面；
(2)若三棱錐為棱長(zhǎng)為2正四面體，求.
第06講 空間向量及其運(yùn)算
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置．
2.借助特殊長(zhǎng)方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式
3.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過(guò)程，了解空間向量的概念
4.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、空間向量的有關(guān)概念
1.定義:在空間,把具有大小和方向的量叫做空間向量.
2.長(zhǎng)度(模):空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模.
3.表示法
(1)字母表示法:空間向量用字母a,b,c,…表示;
(2)幾何表示法:空間向量用有向線段表示,有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模.
若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作,其模記為|a|或.
【解讀】
1.空間向量表示空間內(nèi)具有大小和方向的量,平面向量表示平面內(nèi)具有大小和方向的量,空
間向量是在平面向量基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容,它們的運(yùn)算規(guī)律完全相同,空間向量的
相關(guān)定理及公式與平面向量類(lèi)似,可以類(lèi)比學(xué)習(xí);
2.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相
對(duì)應(yīng)的概念完全相同;
3.由于向量是由其模和方向確定的,所以解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題時(shí),通常抓住這兩點(diǎn)來(lái)
解決;
4.零向量是一個(gè)特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量共線,這一點(diǎn)說(shuō)明向量共線不具有傳遞性.
二、空間向量的線性運(yùn)算
【解讀】
利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí),務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果;利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí).
三、向量共線定理
對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb .
四、共面向量定理
1.共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.
2.共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一
的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa
【解讀】
1.若兩個(gè)非零向量共線,則這兩個(gè)向量所在的直線可能平行,也可能重合,證明空間圖形中兩直線平行,可以先用向量法證明兩直線的方向向量平行,然后說(shuō)明一條直線上有一點(diǎn)不在另一條直線上,從而推得兩直線平行,不能由向量平行直接推出直線平行.
2.空間三點(diǎn)共線可以通過(guò)向量共線來(lái)證明,根據(jù)共線向量定理,對(duì)于空間三點(diǎn)A,B,C,可通過(guò)
證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線:
(1)存在實(shí)數(shù)λ,使成立;
(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有(t∈R);
(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有(x+y=1).
五、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律
1.數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【解讀】
1.空間向量運(yùn)算的兩種方法
(1)利用定義:利用a·b=|a||b|cs〈a,b〉并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.
(2)利用圖形:計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點(diǎn),利用圖形尋找?jiàn)A角,再代
入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.
2.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.
(3)代入向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算求解.
3.求空間兩個(gè)向量的夾角的方法
(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來(lái)求,但要注意向量夾角的范圍;
(2)先求a·b,再利用公式求cs〈a,b〉,最后確定〈a,b〉.
4.求兩條異面直線所成的角的步驟
(1)根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量);
(2)將異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題;
(3)利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值;
(4)異面直線所成的角為銳角或直角,利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加
上絕對(duì)值,進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小.
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：對(duì)空間向量有關(guān)概念的理解
例1．下列說(shuō)法正確的是( )
A．零向量沒(méi)有方向
B．空間向量不可以平行移動(dòng)
C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等
D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量
【答案】D
【解析】對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.
故選D.
考點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算
例2．化簡(jiǎn)算式：______．
【答案】
【解析】由題意得.
考點(diǎn)三：幾何體中空間向量的線性運(yùn)算
例3．(2022學(xué)年福建省福安市第一中學(xué)高二下學(xué)期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，.
故選D
考點(diǎn)四：幾何體中共線共面定理的應(yīng)用
例4．如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：
(1)A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面；
(2)；
(3).
【解析】(1)因?yàn)椋?br>所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，
因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，有公共點(diǎn)，
所以A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面，
(2)因?yàn)?br>，
所以；
(3)
考點(diǎn)五：利用數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算
例5．(2022學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高二下學(xué)期線上期中)如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為( )
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，故.故選D.
考點(diǎn)六：利用數(shù)量積公式求長(zhǎng)度或距離
例6．(2022學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，，
因?yàn)?
所以
，所以，故選C
【真題演練】
1. (2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考)兩個(gè)不同平面，的法向量分別為非零向量，，兩條不同直線，的方向向量分別為非零向量，，則下列敘述不正確的是( )
A．的充要條件為
B．的充要條件為
C．的充要條件為存在實(shí)數(shù)使得
D．的充要條件為
【答案】D
【解析】選項(xiàng)A：.判斷正確；
選項(xiàng)B：.判斷正確；
選項(xiàng)C：存在實(shí)數(shù)使得.判斷正確；
選項(xiàng)D：若，則有；若，則有或，
則是的充分不必要條件.判斷錯(cuò)誤.故選D
2.(2022學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選D.
3.(2022學(xué)年浙江省北斗聯(lián)盟高二上學(xué)期中聯(lián)考)在如圖所示的平行六面體中，已知，，為上一點(diǎn)，且，若，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，則，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以
所以,
因?yàn)?，?br>所以，
所以，解得，故選D
4.(多選)(2020-2021學(xué)年江蘇省常州市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，一定成立的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由題可知，可做如圖所示的長(zhǎng)方體，設(shè).
，
，故A正確；
，故B正確；
∵平面，∴，，∴，但無(wú)法判斷AE和BC是否垂直，故C不一定正確；
由圖易知，故＝0，故D正確.
故選ABD．
5.(多選)(2022學(xué)年遼寧省盤(pán)錦市遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，則( )
A．
B．
C．
D．異面直線與所成角的余弦值為
【答案】BD
【解析】設(shè)，，，則，，，
，，，
，，
所以．故選BD.
6．(2022學(xué)年安徽省安慶市潛山第二中學(xué)高二上學(xué)期月考)在正四面體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示向量______
【答案】
【解析】畫(huà)出對(duì)應(yīng)的正四面體，則
.
7.(2022學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高二下學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)________.
【答案】
【解析】
根據(jù)題意為正四面體，
兩兩成角，
所以，
，
所以
.
8．(2022學(xué)年河北省唐山市第十一中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖，在正方體中，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式：
(1)；
(2)．
【解析】 (1)依題意.
(2)依題意.
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年江蘇省連云港市贛榆區(qū)高二下學(xué)期期中)已知，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定，，，四點(diǎn)共面的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
若點(diǎn)與點(diǎn)共面，
則，
對(duì)于選項(xiàng)A：，不滿足題意；
對(duì)于選項(xiàng)B：，不滿足題意；
對(duì)于選項(xiàng)C：，不滿足題意；
對(duì)于選項(xiàng)D：，滿足題意.故選D.
2.(2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)高二下學(xué)期期中)已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
，由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線
可得，解之得，故選D
3. (2022學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中)設(shè)A、B、C、D是空間中不共面的四點(diǎn)，令，，，則、、三個(gè)向量( )
A．互不相等B．有且僅有兩個(gè)相等C．都相等D．以上均有可能
【答案】B
【解析】，，
若，則，即，則B，C重合，于是A、B、C、D共面，矛盾，
所以，即、、三個(gè)向量有且僅有兩個(gè)相等，故選B
4.(2022學(xué)年四川省雅安中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)在正方體中，點(diǎn)P滿足，且，若二面角的大小為，O為的中心，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)正方體中心為，因?yàn)辄c(diǎn)P滿足，且
所以平面，平面平面，由正方體性質(zhì)平面，且平面，所以作于Q，連，
面，則即為的平面角，所以．
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，中，，
則，在中，，
所以．故選D.
5.(多選)(2022學(xué)年浙江省寧波市慈溪市高二上學(xué)期期末)在長(zhǎng)方體中，則( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】如圖：
對(duì)A，，正確；
對(duì)B，，正確；
對(duì)C，，錯(cuò)誤；
對(duì)D，，錯(cuò)誤.
故選AB.
6．(2022學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)高二上學(xué)期期末)下列說(shuō)法正確的是( )
A．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則一定共面
B．設(shè)是三個(gè)空間向量，則一定不共面
C．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則
D．設(shè)是三個(gè)空間向量，則
【答案】AC
【解析】對(duì)于A：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則一定共面，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則可能共面也可能不共面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則與向量共線，與向量共線，則D錯(cuò)誤．
故選AC．
7.(2022學(xué)年河南省焦作市高二上學(xué)期期末)已知在四面體ABCD中，，，則______．
【答案】24
【解析】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，
則，
又，，
所以.
8. (2022學(xué)年江蘇省鹽城市響水中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】因?yàn)?br>所以
，即
9.(2019-2020學(xué)年北京大學(xué)附中石景山學(xué)校高二上學(xué)期期中)如圖所示，已知斜三棱柱，點(diǎn)、分別在和上，且滿足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否與向量，共面？
【解析】 (1)解：∵，
，
∴.
(2)解：由(1)可知，，
∴向量與向量，共面.
10．(2022學(xué)年安徽省亳州市第一中學(xué)高二上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè))已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足.
(1)判斷，，三個(gè)向量是否共面；
(2)若三棱錐為棱長(zhǎng)為2正四面體，求.
【解析】 (1) ，，，所以，所以，，三個(gè)向量共面.
(2) .
又因?yàn)槿忮F為棱長(zhǎng)為2正四面體，所以、、之間的夾角均為.
所以.

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