1.借助長方體,在直觀認(rèn)識空間點,直線,平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點,直線,平面的位置關(guān)系的定義,了解以下基本事實(公理)和定理
2.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的性質(zhì)定理,并加以證明
定理1：一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行．
定理2：兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行
定理3：垂直于同一個平面的兩條直線平行
定理4：兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直
3.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的判定定理
定理5：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行
定理6：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行
定理7：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直
定理8：如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直
4.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題．
【基礎(chǔ)知識】
一、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
1.直線在平面內(nèi),則它們有無數(shù)個公共點．
2.直線與平面相交,則它們有1個公共點．
3.直線與平面平行,則它們沒有公共點．
直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．
二、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
三、平面與平面之間的位置關(guān)系
1.兩個平面平行,則它們沒有公共點．
2.兩個平面相交,則它們有一條公共直線,兩個平面垂直是相交的一種特殊情況．
四、平面與平面平行的判定和性質(zhì)

五、證明平行時常用的其他性質(zhì)
1.垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.
2.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
3.平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
六、判斷或證明線面平行的常用方法
1.利用線面平行的定義(無公共點)．
2.利用線面平行的判定定理(aeq \s\up1(eq \(?,\s\d1(/)))α,b?α,a∥b?a∥α)．
3.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β)．
4.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aeq \s\up1(eq \(?,\s\d1(/)))α,aeq \s\up1(eq \(?,\s\d1(/)))β,a∥α?a∥β)．
七、證明面面平行的方法
1.面面平行的定義．
2.面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行．
3.利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．
4.兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行．
八、證明線面或面面平行時要轉(zhuǎn)化為證明線性平行,在幾何體中證明線性平行常要用到平面幾何知識,
如三角形的中位線與第3邊平行,若四邊形的一組對邊平行且相等,則另一組對邊平行等.
九、線線垂直
如果兩條直線所成的角是(無論它們是相交還是異面),那么這兩條直線互相垂直．
十、直線與平面垂直
1.如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足．垂線上
2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
十一、平面和平面垂直的定義
1.兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直．
2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
十二、判斷(證明)線線垂直的方法
(1)根據(jù)定義．
(2)如果直線a∥b,a⊥c,則b⊥c.
(3)如果直線a⊥面α,c?α,則a⊥c.
(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．
十三、證明直線和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理：兩相交直線a,b?α,a⊥c,b⊥c?c⊥α.
(2)a∥b,a⊥α?b⊥α.
(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β,a⊥α?a⊥β.
(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β,α∩β＝m,a?α,a⊥m?a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m?m⊥γ.
十四、證明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：a⊥β,a?α?α⊥β.
(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．
(3)如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個,則它也垂直于另一個平面：α∥β,α⊥γ?β⊥γ
【考點剖析】
考點一：線線位置關(guān)系的判斷
例1．(2022學(xué)年河南省商丘市第一高級中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是( )
A．若,,則B．若,,則
C．若,,則D．若,,則
考點二：線線平行的證明
例2．(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)如圖,在直三棱柱中,,M為棱上一點.
(1)記平面ACM與平面的交線為l,證明；
(2)若M為的中點,且二面角A－CM－B的正切值為3,求線段BC的長度.
考點三：線面平行的證明
例3．(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為( )
A．B．C．D．
考點四：面面平行的證明
例4．(2022學(xué)年廣東省廣州市仲元中學(xué)高一下學(xué)期期中)在正方體中,E、F分別是棱和棱的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)試問平面截正方體所得的截面是什么圖形？并說明理由．
考點五：利用平行關(guān)系作截面
例5．(2022屆上海市靜安區(qū)高三下學(xué)期6月最后階段水平模擬)正方體的棱長為1,、分別為、的中點,則平面截正方體所得的截面面積為____________．
考點六：線線垂直的證明
例6．(2022學(xué)年重慶市三峽名校聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,平面, ,,
(1)求證：；
(2)若為的中點.求與平面所成角的正弦值.
考點七：線面垂直的證明
例7．(2022學(xué)年重慶市二0三中學(xué)校高一下學(xué)期第二次月考)如圖,在正三棱柱中,各棱長均為4,M,N分別是BC,的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：
考點八：面面垂直的證明
例8．(2022學(xué)年浙江省強基聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點,已知,PA=6,BC=8,DF=5求證：
(1)直線PA//平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
考點九：線面位置關(guān)系中的探索性問題
例9. 如圖,ABCD為矩形,點A、E、B、F共面,和均為等腰直角三角形,且若平面⊥平面
(1)證明:平面平面ADF
(2)問在線段EC上是否存在一點G,使得BG∥平面若存在,求出此時三棱錐與三棱錐的體積之比,若不存在,請說明理由.
【真題演練】
1. (2021新高考全國卷Ⅱ)如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂點．則滿足的是( )
A. B.
C. D.
2．(2019年高考全國卷Ⅱ)設(shè)、為兩個平面,則的充要條件是( )
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行
C．,平行于同一條直線D．,垂直于同一平面
3．(2021新高考全國卷Ⅰ)如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點．
(1)證明：；
(2)若是邊長為1的等邊三角形,點在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積．
4. (2021新高考全國卷Ⅱ)在四棱錐中,底面是正方形,若．
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
,建如圖所示的空間坐標(biāo)系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
5.(2020新高考山東卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
(1)證明：l⊥平面PDC；
6．(2020全國卷Ⅰ)如圖,為圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,為底面直徑,．
是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點,．
(1)證明：平面；
【過關(guān)檢測】
1.(2022學(xué)年河南省商丘市第一高級中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是( )
A．若,,則B．若,,則
C．若,,則D．若,,則
2. (2022學(xué)年安徽省池州市第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)下列選項中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的是( )
A．B．C．D．
3. (2022屆廣東省廣州市天河區(qū)高三綜合測試)一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形為正方形,分別為的中點,在此幾何體中,下面結(jié)論錯誤的是( )
A．直線與直線異面
B．直線與直線異面
C．直線平面
D．直線平面
4．(2022屆福建省廈門集美中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試)在正方體中,棱長為3,E為棱上靠近的三等分點,則平面截正方體的截面面積為( )
A．B．C．D．
5.(多選)(2022屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三上學(xué)期階段測試)如圖所示,在四棱錐中中,為正方形,,E為線段的中點,F為與的交點,．則下列結(jié)論正確的是( )
A．平面B．平面
C．平面平面D．線段長度等于線段長度
6. (2022學(xué)年河南省濮陽市第一高級中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知直線和平面,給出四個論斷：①；②；③；④,以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的命題：___________.
7.(2020-2021學(xué)年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期末)已知正三棱柱中,,是的中點.
(1)求證：平面；
(2)點是直線上的一點,當(dāng)與平面所成的角的正切值為時,求三棱錐的體積．
8.(2022學(xué)年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次月考)如圖,已知在平面四邊形ABCP中,D為PA的中點,PA⊥AB,,且PA＝CD＝2AB＝2．將此平面四邊形ABCP沿CD折起,使平面PCD⊥平面ABCD,連接PA、PB．
(1)求證：平面PBC⊥平面PBD；
(2)設(shè)Q為側(cè)棱PC的中點,求直線PB與平面QBD所成角的余弦值．
9.(2022學(xué)年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期月考)在如圖所示的幾何體中,底面四邊形ABEF為等腰梯形,,側(cè)面四邊形ABCD是矩形,且平面ABCD⊥平面ABEF,．BC＝BE＝2．
(1)求證：AF⊥平面BCE；
(2)求三棱錐A－CEF的體積．
10. 如圖所示,是所在平面外的一點,、、分別是、、的重心.
(1)求證：平面平面；
(2)求與的面積之比.文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)
l∥α,a?β,α∩β＝b ?l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)
l∥α,l?β,α∩β＝b?l∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)
a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α?β∥?α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行
α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直
,
?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
?a∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直
?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
?l⊥α
第03講 空間直線、平面的平行與垂直
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.借助長方體,在直觀認(rèn)識空間點,直線,平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點,直線,平面的位置關(guān)系的定義,了解以下基本事實(公理)和定理
2.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的性質(zhì)定理,并加以證明
定理1：一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行．
定理2：兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行
定理3：垂直于同一個平面的兩條直線平行
定理4：兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直
3.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的判定定理
定理5：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行
定理6：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行
定理7：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直
定理8：如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直
4.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題．
【基礎(chǔ)知識】
一、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
1.直線在平面內(nèi),則它們有無數(shù)個公共點．
2.直線與平面相交,則它們有1個公共點．
3.直線與平面平行,則它們沒有公共點．
直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．
二、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
三、平面與平面之間的位置關(guān)系
1.兩個平面平行,則它們沒有公共點．
2.兩個平面相交,則它們有一條公共直線,兩個平面垂直是相交的一種特殊情況．
四、平面與平面平行的判定和性質(zhì)

五、證明平行時常用的其他性質(zhì)
1.垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.
2.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
3.平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
六、判斷或證明線面平行的常用方法
1.利用線面平行的定義(無公共點)．
2.利用線面平行的判定定理(aeq \s\up1(eq \(?,\s\d1(/)))α,b?α,a∥b?a∥α)．
3.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β)．
4.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aeq \s\up1(eq \(?,\s\d1(/)))α,aeq \s\up1(eq \(?,\s\d1(/)))β,a∥α?a∥β)．
七、證明面面平行的方法
1.面面平行的定義．
2.面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行．
3.利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．
4.兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行．
八、證明線面或面面平行時要轉(zhuǎn)化為證明線性平行,在幾何體中證明線性平行常要用到平面幾何知識,
如三角形的中位線與第3邊平行,若四邊形的一組對邊平行且相等,則另一組對邊平行等.
九、線線垂直
如果兩條直線所成的角是(無論它們是相交還是異面),那么這兩條直線互相垂直．
十、直線與平面垂直
1.如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足．垂線上
2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
十一、平面和平面垂直的定義
1.兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直．
2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
十二、判斷(證明)線線垂直的方法
(1)根據(jù)定義．
(2)如果直線a∥b,a⊥c,則b⊥c.
(3)如果直線a⊥面α,c?α,則a⊥c.
(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．
十三、證明直線和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理：兩相交直線a,b?α,a⊥c,b⊥c?c⊥α.
(2)a∥b,a⊥α?b⊥α.
(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β,a⊥α?a⊥β.
(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β,α∩β＝m,a?α,a⊥m?a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m?m⊥γ.
十四、證明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：a⊥β,a?α?α⊥β.
(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．
(3)如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個,則它也垂直于另一個平面：α∥β,α⊥γ?β⊥γ
【考點剖析】
考點一：線線位置關(guān)系的判斷
例1．(2022學(xué)年河南省商丘市第一高級中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是( )
A．若,,則B．若,,則
C．若,,則D．若,,則
【答案】D
【解析】A選項,,,則可能平行,相交,異面,故A錯誤；
B選項,,,則可能,故B錯誤；
C選項,,,則可能,也可能,故C錯誤；
D選項,根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個平面,則另一條也垂直該平面,故D正確.
故選D.
考點二：線線平行的證明
例2．(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)如圖,在直三棱柱中,,M為棱上一點.
(1)記平面ACM與平面的交線為l,證明；
(2)若M為的中點,且二面角A－CM－B的正切值為3,求線段BC的長度.
【解析】 (1)證明：在直三棱柱中,
∵平面ACM,平面ACM.
平面ACM,
∵平面,平面平面,
∴；
(2)解：取BC的中點E,連接AE,過E作于點F,連接AF.
∵,∴,
又∵MB⊥平面ABC,平面ABC,∴.
∵,∴AE⊥平面BCM,∴,
又,平面AEF,所以MC⊥平面AEF,
又平面AEF,所以,
∴即為所求二面角的平面角,
∵AE⊥平面BCM,平面BCM,
∴,
又∵,
∴,
記,
由,,
又,
∴,
解得,即,
∴.
考點三：線面平行的證明
例3．(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得,或(舍).故選A．
考點四：面面平行的證明
例4．(2022學(xué)年廣東省廣州市仲元中學(xué)高一下學(xué)期期中)在正方體中,E、F分別是棱和棱的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)試問平面截正方體所得的截面是什么圖形？并說明理由．
【解析】 (1)證明：如圖所示：
因為E,F為中點,則,,
所以四邊形是平行四邊形,
則,又平面AEC,平面AEC,
所以平面AEC,
連接BD交AC于點O,連接OE,
則,且平面AEC ,平面AEC ,
所以平面AEC ,又,
所以平面平面；
(2)由(1)知：平面平面,
且平面,平面平面,
所以,又,
所以,
又,則,
所以四邊形是平行四邊形,又DF=DG,
故平面截正方體所得的截面是菱形.
考點五：利用平行關(guān)系作截面
例5．(2022屆上海市靜安區(qū)高三下學(xué)期6月最后階段水平模擬)正方體的棱長為1,、分別為、的中點,則平面截正方體所得的截面面積為____________．
【答案】
【解析】如圖,連接 則,可得等腰梯形為平面截正方體所得的截面圖形,
由正方體的棱長為1,得,,,則到的距離為,∴
故答案為：.
考點六：線線垂直的證明
例6．(2022學(xué)年重慶市三峽名校聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,平面, ,,
(1)求證：；
(2)若為的中點.求與平面所成角的正弦值.
【解析】 (1)過作,
∵平面平面,平面平面,∴平面.
又∵平面,∴.
∵平面,平面,∴.
又∵,∴平面.
又∵平面,∴.
(2)過作,交于點,連接,過作,交于點.
由(1)知,平面,且平面,∴.
又且,∴平面.
又∵平面,∴,
又且,
∴平面,∴為在平面內(nèi)的射影,
即為與平面所成的角,
∴,,
由,
得,得.
∵平面,且平面,∴,
∴,
由,得,得,
.
所以與平面所成角的正弦值為.
考點七：線面垂直的證明
例7．(2022學(xué)年重慶市二0三中學(xué)校高一下學(xué)期第二次月考)如圖,在正三棱柱中,各棱長均為4,M,N分別是BC,的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：
【解析】 (1)在正三棱柱中,各棱長均為4,而M是正邊BC的中點,則,
而平面,平面,于是得,又,平面,
所以平面.
(2)正方形中,M,N分別是BC,的中點,則,
有,即,則,
由(1)知,平面,平面,則有,
而,平面,因此,平面,而平面,
所以.
考點八：面面垂直的證明
例8．(2022學(xué)年浙江省強基聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點,已知,PA=6,BC=8,DF=5求證：
(1)直線PA//平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【解析】 (1)因為D,E分別為棱PC,AC的中點,所以,
且DE平面DEF,PA平面DEF.
所以直線PA//平面DEF
(2)因為且,所以.
由中位線可知,則有,
根據(jù)勾股定理逆定理知DE⊥EF,
而,所以.
且,AC平面ABC,BC平面ABC,
所以DE⊥平面ABC..
又DE平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC
考點九：線面位置關(guān)系中的探索性問題
例9. 如圖,ABCD為矩形,點A、E、B、F共面,和均為等腰直角三角形,且若平面⊥平面
(1)證明:平面平面ADF
(2)問在線段EC上是否存在一點G,使得BG∥平面若存在,求出此時三棱錐與三棱錐的體積之比,若不存在,請說明理由.
【解析】 (1)矩形中,,又平面⊥平面,平面平面,
平面,則平面,而平面,因此,,
因,即,而,平面,則平面,又平面,
所以平面平面.
(2)因和均為等腰直角三角形,且,則,
即有,并且有,延長EB至H,使,連CH,如圖,
由知,四邊形為平行四邊形,則有,且,
于是得四邊形是平行四邊形,有,在平面內(nèi)過點B作交CE于G,
因此,而平面,平面,從而得平面,
顯然,則,即點G是線段CE的靠近點C的一個三等分點,
于是得點G到平面的距離h是點C到平面的距離BC的,即,
而,,即,
所以線段EC的靠近點C的一個三等分點G,能使平面,三棱錐與三棱錐的體積之比為.
【真題演練】
1. (2021新高考全國卷Ⅱ)如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂點．則滿足的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】設(shè)正方體的棱長為,
對于A,如圖(1)所示,連接,則,
故(或其補角)為異面直線所成的角,
在直角三角形,,,故,
故不成立,故A錯誤. (或者易得在上底面的射影為,故不成立)
對于B,如圖(2)所示,取的中點為,連接,,則,,
由正方體可得平面,而平面,
故,而,故平面,
又平面,,而,
所以平面,而平面,故,故B正確.
對于C,如圖(3),連接,則,由B的判斷可得,
故,故C正確.
對于D,如圖(4),取的中點,的中點,連接,
則,
因為,故,故,
所以或其補角為異面直線所成的角,
因為正方體的棱長為2,故,,
,,故不是直角,
故不垂直,故D錯誤.故選BC
2．(2019年高考全國卷Ⅱ)設(shè)、為兩個平面,則的充要條件是( )
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行
C．,平行于同一條直線D．,垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.
3．(2021新高考全國卷Ⅰ)如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點．
(1)證明：；
(2)若是邊長為1的等邊三角形,點在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積．
【解析】(1)證明：因為,為的中點,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又平面,
所以；
(2)在平面ABD中,作于M,在平面BCD中,作于N,連接EN,
由⑴得
4. (2021新高考全國卷Ⅱ)在四棱錐中,底面是正方形,若．
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
,建如圖所示的空間坐標(biāo)系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【解析】(1)取的中點為,連接.
因為,,則,
而,故.
在正方形中,因為,故,故,
因為,故,故為直角三角形且,
因為,故平面,
因為平面,故平面平面.
(2)過作于點
由(1)可知：平面平面
面
在中,,,
,即得：
即,
即二面角的平面角的余弦值為
5.(2020新高考山東卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
(1)證明：l⊥平面PDC；
【解析】(1)證明：
在正方形中,,
因為平面,平面,
所以平面,
又因為平面,平面平面,
所以,
因為在四棱錐中,底面是正方形,所以
且平面,所以
因為
所以平面；
6．(2020全國卷Ⅰ)如圖,為圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,為底面直徑,．
是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點,．
(1)證明：平面；
【解析】(1)由題設(shè),知為等邊三角形,設(shè),
則,,所以,
又為等邊三角形,則,所以,
,則,所以,
同理,又,所以平面；
【過關(guān)檢測】
1.(2022學(xué)年河南省商丘市第一高級中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是( )
A．若,,則B．若,,則
C．若,,則D．若,,則
【答案】D
【解析】A選項,,,則可能平行,相交,異面,故A錯誤；
B選項,,,則可能,故B錯誤；
C選項,,,則可能,也可能,故C錯誤；
D選項,根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個平面,則另一條也垂直該平面,故D正確.
故選D.
2. (2022學(xué)年安徽省池州市第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)下列選項中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于A選項,,如圖所示,
易證,所以P,Q,R,S四個點共面,故A錯誤；
對于B選項,過P,Q,R,S可作一正六邊形,如圖示,
所以P,Q,R,S四個點共面,故B錯誤；
對于C選項,分別連接,如圖示,
易證,所以P,Q,R,S四個點共面,故C錯誤；
對于D選項,連接,如圖示
因為平面,平面,
但平面,所以異面,所以P,Q,R,S四個點不共面,故D正確.
故選D
3. (2022屆廣東省廣州市天河區(qū)高三綜合測試)一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形為正方形,分別為的中點,在此幾何體中,下面結(jié)論錯誤的是( )
A．直線與直線異面
B．直線與直線異面
C．直線平面
D．直線平面
【答案】B
【解析】
由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐,如圖所示,連接,易得,則,
故共面,則共面,故B錯誤；又面,面,不在直線上,則直線與直線異面,A正確；
由,平面,平面,則直線平面,C正確；
平面,平面,則直線平面,D正確.故選B.
4．(2022屆福建省廈門集美中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試)在正方體中,棱長為3,E為棱上靠近的三等分點,則平面截正方體的截面面積為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】延長交于點,連接交于點,如圖,
在正方體中,面面,
面面,面面
,又
四邊形是梯形,且為平面截正方體的截面.
又,在等腰梯形中,過作,
.故選C.
5.(多選)(2022屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三上學(xué)期階段測試)如圖所示,在四棱錐中中,為正方形,,E為線段的中點,F為與的交點,．則下列結(jié)論正確的是( )
A．平面B．平面
C．平面平面D．線段長度等于線段長度
【答案】ABC因為是正方形,所以．又因所以平面平面,,所以平面,因此A正確；
而平面,所以平面平面,因此C正確；
因為F是的中點,而E為線段的中點,所以平面,平面,所以平面,因此B正確；
對于D,因為是邊長為1的正三角形,是正方形,所以．又由平面,有,所以．在中,,,又分別是等腰三角形的底邊和腰上的中線,所以線段與的長度不相等(否則,是正三角形),因此D不正確；
故選ABC．
6. (2022學(xué)年河南省濮陽市第一高級中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知直線和平面,給出四個論斷：①；②；③；④,以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的命題：___________.
【答案】②③④①
【解析】若①為結(jié)論則：當(dāng),,時,因為,,則或 ,又,故成立；
若②為結(jié)論則：當(dāng),,時,因為且,故或 ,結(jié)合不能推出,故不成立；
若③為結(jié)論則：當(dāng),,時,因為且,故或 ,又,故或,故不成立；
若④為結(jié)論則：當(dāng),,時,不能推出,故不成立；
故②③④能推出①
7.(2020-2021學(xué)年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期末)已知正三棱柱中,,是的中點.
(1)求證：平面；
(2)點是直線上的一點,當(dāng)與平面所成的角的正切值為時,求三棱錐的體積．
【解析】 (1)證明：連接交于點,連接,
因為四邊形為平行四邊形,,則為的中點,
因為為的中點,則,
平面,平面,故平面.
(2)解：因為平面,與平面所成的角為,
因為是邊長為的等邊三角形,則,
平面,平面,,則,
所以,,
平面,,所以,點到平面的距離等于點到平面的距離,
因為為的中點,則,
則.
8.(2022學(xué)年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次月考)如圖,已知在平面四邊形ABCP中,D為PA的中點,PA⊥AB,,且PA＝CD＝2AB＝2．將此平面四邊形ABCP沿CD折起,使平面PCD⊥平面ABCD,連接PA、PB．
(1)求證：平面PBC⊥平面PBD；
(2)設(shè)Q為側(cè)棱PC的中點,求直線PB與平面QBD所成角的余弦值．
【解析】 (1)∵平面底面,平面底面,平面,
且由,知,∴平面,
又平面,∴．
取中點,連接,則,且,
在中,,在中,．
∵,∴,∴平面．
∵平面,∴平面平面．
(2)設(shè)點P到面QBD的距離為h,因為,
點Q到面PBD的距離為點C到面PBD的距離的一半,即為,,所以.
在三角形QBD中,,,
點Q到BD的距離為,則,
由,可得,所以.
直線PB與平面QBD所成角的正弦值為.即
9.(2022學(xué)年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期月考)在如圖所示的幾何體中,底面四邊形ABEF為等腰梯形,,側(cè)面四邊形ABCD是矩形,且平面ABCD⊥平面ABEF,．BC＝BE＝2．
(1)求證：AF⊥平面BCE；
(2)求三棱錐A－CEF的體積．
【解析】 (1)證明：取的中點為,連接
∵,,
因為平面平面 平面平面, 平 面,所以平面,
平面所以平面.
平面
(2)解：
10. 如圖所示,是所在平面外的一點,、、分別是、、的重心.
(1)求證：平面平面；
(2)求與的面積之比.
【解析】 (1)連接、、,∵、、分別是、、的重心,
∴、、分別為、、的中點,且,
∴, ,
平面,平面,所以平面,
平面,平面,所以平面,
且,∴平面平面.
(2)由(1)知,∴,
∴∽,其相似比為,
∵、分別為、的中點,∴,
∴∽,其相似比為,
∴∽,其相似比為,∴與的面積之比.
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)
l∥α,a?β,α∩β＝b ?l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)
l∥α,l?β,α∩β＝b?l∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)
a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α?β∥?α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行
α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直
,
?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
?a∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直
?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
?l⊥α

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