知識梳理1.兩條直線的平行與垂直
當一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2
k1=k2,且b1≠b2
A1B2-A2B1=0
A1A2+B1B2=0
直線l1和l2的交點坐標即為兩直線方程組成的方程組 的解.相交?方程組有　　　　　　;?平行?方程組　　　　;?重合?方程組有　　　　　　　　.?
微點撥雖然利用方程組解的情況可以判斷兩直線的位置關(guān)系,但是由于運算量較大,一般較少使用.
此公式與兩點的先后順序無關(guān)
可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離
微點撥應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行直線間的距離公式時應(yīng)注意:(1)將方程化為最簡的一般形式;(2)利用兩平行直線之間的距離公式時,應(yīng)使兩直線方程中x,y的系數(shù)分別對應(yīng)相等.
微思考點P(x1,y1),Q(x2,y2)關(guān)于直線y=kx+b(k≠0)對稱,列出P,Q坐標的關(guān)系式.
常用結(jié)論1.兩種求直線方程的設(shè)法(1)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線可設(shè)為Bx-Ay+m=0.(2)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直線可設(shè)為Ax+By+n=0.
2.六種常見的對稱點(1)點(x,y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(-x,-y).(2)點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,-y),關(guān)于y軸的對稱點為(-x,y).(3)點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(y,x),關(guān)于直線y=-x的對稱點為(-y,-x).(4)點(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).(5)點(x,y)關(guān)于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).(6)點(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對稱點為(k-y,k-x),關(guān)于直線x-y=k的對稱點為(k+y,x-k).
3.三種直線系方程(1)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直線系方程為Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線系方程為Bx-Ay+n=0(n∈R).
對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)當直線l1和l2的斜率都存在時,一定有k1=k2?l1∥l2.(　　)(2)若兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于-1.(　　)(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解,則兩直線相交.(　　)
2.平行直線3x+4y-9=0和6x+8y+2=0之間的距離是(　　)
解析 因為直線6x+8y+2=0可化為3x+4y+1=0,所以兩條平行直線之間的距離為 =2.故選B.
3.若直線ax-4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直,垂足為(1,b),則a-b+c=(　　)A.-6B.4C.-10D.-4
解析 因為直線ax-4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直,則2a-20=0,可得a=10.因為垂足為(1,b),則10-4b+2=0,解得b=3,且有2+5×3+c=0,解得c=-17,因此a-b+c=-10.
考向1.判斷兩直線的位置關(guān)系典例突破
例1.已知條件p:直線x+2y-1=0與直線a2x+(a+1)y-1=0平行, 條件q:a=1,則p是q的(　　)A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
名師點析解決此類問題的關(guān)鍵是掌握兩條直線平行與垂直的充要條件.
當a=1時,直線x+2y-1=0與直線a2x+(a+1)y-1=0重合.所以p是q的既不充分也不必要條件.
對點訓練1直線l1:ax+y-1=0,l2:(a-1)x-2y+1=0,則“a=2”是“l(fā)1⊥l2”的(　　)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B　解析 l1⊥l2的充要條件是a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1,所以“a=2”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件.故選B.
考向2.由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)典例突破例2.已知兩條直線l1:(3+t)x+4y=5-3t,l2:2x+(5+t)y=8,l1∥l2,則t=(　　)A.-1或-7B.-1C.-7
名師點析解決兩直線平行或垂直求參數(shù)的問題時要“前思后想”
對點訓練2已知直線l1:ax+2y+1=0,直線l2:2x+ay+1=0,若l1⊥l2,則a=(　　)A.0B.2 C.±2D.4
考向3.由兩直線的位置關(guān)系求直線方程典例突破例3.過兩條直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點,且垂直于直線3x+4y-7=0的直線的方程為　 .?
答案 4x-3y+9=0
故所求直線的方程為4x-3y+9=0.(方法3)由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因為所求直線與直線3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2,所以所求直線的方程為4x-3y+9=0.
方法總結(jié)求過兩直線交點的直線方程的兩種方法
對點訓練3過x+y=2與x-y=0的交點,且平行于向量v=(3,2)的直線方程為(　　)A.3x-2y-1=0B.3x+2y-5=0C.2x-3y+1=0D.2x-3y-1=0
典例突破例4.(1)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:x+ny-3=0之間的距離是 ,則m+n=(　　)A.0B.1C.-2D.-1(2)已知點P(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　　.?
答案 (1)A　(2)[0,10]　
名師點析利用距離公式應(yīng)注意:(1)點P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|; (2)利用兩平行線間的距離公式時要求兩條直線方程中x,y的系數(shù)分別相等.
對點訓練4(1)若直線x-y-m=0與直線mx+y-4=0平行,則它們之間的距離為(　　)
(2)設(shè)m∈R,已知直線l1:(m+2)x+2my+2-m=0,過點(2,3)作直線l2,且l1∥l2,則直線l1與l2之間距離的最大值是　　　　　.?
考向1.中心對稱問題典例突破例5.過點P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段恰好被點P平分,則直線l的方程為　　　　　.?
答案 x+4y-4=0　解析 設(shè)l1與l的交點為A(a,8-2a).由題意知,點A關(guān)于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,把點B的坐標代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因為點A(4,0),P(0,1)在直線l上,所以直線l的方程為x+4y-4=0.
方法總結(jié)兩類中心對稱問題
(1)點關(guān)于點對稱:點P(x,y)關(guān)于M(a,b)的對稱點P'(x',y')滿足
(2)直線關(guān)于點對稱的兩種方法
對點訓練5若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,則直線l2過定點(　　)A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)
答案 B　解析 直線l1:y=k(x-4)恒過定點(4,0),其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2).又因為直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,所以直線l2恒過定點(0,2).故選B.
考向2.點關(guān)于直線對稱典例突破
例6.(2023河北統(tǒng)考模擬)已知直線l:x-y+5=0和M(1,0),N(7,9)兩點,若直線l上存在一點Q使得|QM|+|QN|的值最小,則點Q的坐標為　　　　　　.?
解析 設(shè)點N(7,9)關(guān)于l:x-y+5=0的對稱點為N'(a,b),
即N'坐標為(4,12).
根據(jù)對稱性可知,|QM|+|QN|=|QM|+|QN'|≥|MN'|,當點M,Q,N'三點共線時,等號成立,
方法總結(jié)若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)對稱,
可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標.
對點訓練6(2023上海徐匯一模)已知正實數(shù)a,b滿足3a+2b=6,則
解析 設(shè)直線3x+2y=6,點P(a,b)在直線3x+2y=6上,且在第一象限,
如圖所示,點A關(guān)于直線3x+2y=6的對稱點設(shè)為B(m,n),
考向3.直線關(guān)于直線對稱典例突破例7.直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是(　　)A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0
解析 設(shè)所求直線上任意一點P(x,y),點P關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點為P'(x0,y0),
因為點P'(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直線方程為x-2y+3=0.故選A.
方法總結(jié)直線關(guān)于直線對稱的兩種求解方法

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