高中數(shù)學(xué)高考55第九章 平面解析幾何 9 2　兩條直線的位置關(guān)系課件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)
題型分類 深度剖析
1.兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直①兩條直線平行：(ⅰ)對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?________.(ⅱ)當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.②兩條直線垂直：(ⅰ)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?_____________.(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
ZHISHISHULI
(2)兩條直線的交點(diǎn)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組__________________ 的解.
2.幾種距離(1)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝__________________.
1.若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率有什么關(guān)系？
提示　當(dāng)兩條直線l1與l2的斜率都存在時(shí)， · ＝－1；當(dāng)兩條直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，l1與l2也垂直.
2.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？
提示　(1)將方程化為最簡(jiǎn)的一般形式.(2)利用兩平行線之間的距離公式時(shí)，應(yīng)使兩平行線方程中x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等.
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　)(2)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　)(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為 .(　　)
(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(　　)(5)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于 ，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上.(　　)
2.[P110B組T2]已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于
3.[P101A組T10]已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝___.
4.[P110B組T1]若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為____.
所以點(diǎn)(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
5.直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
解析　直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，
6.直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是______.
7.若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝______.
解析　由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，
題型一　兩條直線的平行與垂直
例1　已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；
解　方法一　當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
綜上可知，當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2，a≠－1時(shí)，l1與l2不平行.
方法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
故當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2.當(dāng)a≠－1時(shí)，l1與l2不平行.
(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求a的值.
解　方法一　當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，
(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為
若a＝0，l1∥l2，故選C.
(2)(2018·青島模擬)已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.①l1⊥l2，且直線l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)；
解　∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，又∵直線l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
②l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.
解　∵直線l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在.
又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，
題型二　兩直線的交點(diǎn)與距離問題
1.(2018·西寧調(diào)研)若直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)是P(1，－1)，則直線l的斜率是
2.若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為
3.已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－ x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
方法二　如圖，已知直線
而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過(guò)定點(diǎn)P(－2,1)，斜率為k的動(dòng)直線.∵兩直線的交點(diǎn)在第一象限，∴兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))，∴動(dòng)直線的斜率k需滿足kPA0，解得a＝3.
(2)能否找到一點(diǎn)P，使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)P到l1的距離是點(diǎn)P到l2的距離的 ；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是 .若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.
解　假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0).若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，
若P點(diǎn)滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于點(diǎn)P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.
13.已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4，2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為A.(－2,4) B.(－2，－4) C.(2,4) D.(2，－4)
即3x＋y－10＝0.同理可得點(diǎn)B(3,1)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為(－1,3)，
即x－3y＋10＝0.
則C(2,4).故選C.
14.若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離的最小值為
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離
當(dāng)n＝－2，m＝－1時(shí)取等號(hào).
15.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0 C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0
解析　因?yàn)锳C＝BC，所以歐拉線為AB的中垂線，又A(1，0)，B(0,2)，
即2x－4y＋3＝0.
16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)(2,4)對(duì)稱，求直線l的方程.
解　由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1：y＝k(x－3)＋5＋b，將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的直線方程為y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，