
知識梳理1.橢圓的定義
平面內與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的 ,兩焦點間的距離叫做橢圓的 ,焦距的一半稱為 .?
數(shù)學表達式:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
微思考在橢圓的定義中,若2a=|F1F2|或2a0,m≠n)表示的曲線是橢圓.( )
解析 因為△ABF2的周長為12,根據(jù)橢圓的定義可得4a=12,解得a=3,則c2=a2-a-2=4,所以c=2,則橢圓E的離心率為
考向1.利用橢圓定義求軌跡方程典例突破例1.已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.動圓M在圓C1內部且和圓C1內切,和圓C2外切,則動圓圓心M的軌跡方程是( )
解析 設動圓的圓心為M(x,y),半徑為r.因為圓M在圓C1:(x-4)2+y2=169內部,且與圓C1內切,與C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r,所以|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8.由橢圓的定義,知點M的軌跡是以C1,C2為焦點,長軸長為16的橢圓,所以a=8,c=4,所以b2=82-42=48,
名師點析通過對題設條件分析、轉化后,能明確動點軌跡滿足橢圓的定義,便可直接求解其軌跡方程.
因為D,E分別為AF2和BF2的中點,所以4a=|AB|+|AF2|+|BF2|=2(|DE|+|DF2|+|EF2|)=8,所以a=2.設B(x0,y0),F1(-c,0),A(0,b),
考向2.利用橢圓定義解決焦點三角形問題典例突破
名師點析解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理,其中將|PF1|+|PF2|=2a兩邊進行平方是常用技巧.
A.1B.2C.4D.5
解析 由題意,不妨設F1,F2分別為左、右兩焦點.
∴|PF1|+|PF2|=2a=6(橢圓的定義),即|PF2|=6-|PF1|.
考向3.利用橢圓定義求最值典例突破
名師點析已知|PF1|與|PF2|的和為定值,可利用基本不等式求|PF1||PF2|的最值;利用|PF1|+|PF2|=2a變形或轉化,借助三角形性質求最值.
對點訓練3已知橢圓C: =1的左焦點為F,點M在橢圓C上,點N在圓E:(x-2)2+y2=1上,則|MF|+|MN|的最小值為( )A.4B.5C.7D.8
解析 由題可知圓心E為橢圓的右焦點,且a=3,b= ,c=2,所以|MF|+|ME|=2a=6,所以|MF|=6-|ME|,所以|MF|+|MN|=6-|ME|+|MN|=6-(|ME|-|MN|).要求|MF|+|MN|的最小值,只需求|ME|-|MN|的最大值,顯然M,N,E三點共線時|ME|-|MN|取最大值,且最大值為1,所以|MF|+|MN|的最小值為6-1=5.故選B.
名師點析求橢圓方程的方法與步驟
滿足|PF1|+|PF2|=4,則橢圓C的方程為 .?(3)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若該方程表示橢圓方程,則實數(shù)k的取值范圍是 .?
(2)由|PF1|+|PF2|=4,得2a=4,解得a=2.
考向1.橢圓的長軸、短軸、焦距典例突破
B.|AF1|+|BF1|為定值C.C的焦距是短軸長的2倍D.存在點A,使得AF1⊥AF2
名師點析求解與橢圓幾何性質有關的問題時,要理清頂點、焦點、長軸長、短軸長、焦距等基本量的內在聯(lián)系.
對點訓練5已知點A(3,0),橢圓C: =1(a>0)的右焦點為F,若線段AF的中點恰好在橢圓C上,則橢圓C的長軸長為 .?
考向2.求橢圓的離心率典例突破
答案 (1)D (2)C
解析 (1)設F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0),
∵a2=b2+c2,∴3b2-10bc+3c2=0,
方法總結求橢圓離心率(或其取值范圍)的兩種常用方法
答案 (1)C (2)C
(2)對直線x-2y+2=0,令y=0,解得x=-2,令x=0,解得y=1.故F(-2,0),M(0,1),則
考向3.與橢圓幾何性質有關的最值(范圍)問題典例突破
名師點析與橢圓有關的最值或范圍問題的求解策略
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