（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．設(shè)全集，集合，，則（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化簡(jiǎn)集合集合，從而利用集合交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：C
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再計(jì)算模長(zhǎng)即可．
【詳解】復(fù)數(shù)，有
故選：D
3．已知向量，，且與方向相反，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的共線求得m的值，結(jié)合與方向相反確定m，根據(jù)向量的投影向量的定義即可求得答案.
【詳解】由題意知向量，共線，
故，解得或，
又因?yàn)榍遗c方向相反，故，
所以，而，
則在方向上的投影向量是，
即在方向上的投影向量的坐標(biāo)是，
故選：B
4．按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，31，37，m，42，49；乙組：24，n，33，44，48，52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則（ ）
A．60B．65C．70D．71
【答案】D
【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)榧捉M：27，31，37，m，42，49；乙組：24，n，33，44，48，52，
由，得第30百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)，故,
由，得第50百分位數(shù)是第3與4個(gè)數(shù)據(jù)平均值，解得．
所以.
故選：D．
5．已知，，．若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分析可得，利用兩角和差公式結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得，
因?yàn)?，，則，
可得，即，
則，
令，
則，整理得，解得或（舍去），
即，解得．
故選：B．
6．定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意都有，若，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造，確在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，得到，解得答案.
【詳解】，，則，
設(shè)，故，在上單調(diào)遞減，
為奇函數(shù)，則，為奇函數(shù)，
在上單調(diào)遞減，，，
，即，故，
故選：C.
7．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯所著的八冊(cè)《圓錐曲線論（Cnics）》中，首次提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，其中之一的內(nèi)容為：“若點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線平分外角”.根據(jù)此信息回答下列問(wèn)題：已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是點(diǎn)處的切線，過(guò)左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，分析可知，則為的中點(diǎn)，且，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的的定義可求得的值.
【詳解】如下圖所示：

延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由題意可知，
又因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，且，
所以，，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則.
故選：A.
8．已知點(diǎn)在棱長(zhǎng)為2的正方體表面上運(yùn)動(dòng)，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（ ）
A．-2B．-8C．-1D．0
【答案】A
【分析】通過(guò)基底法，得到，再通過(guò)立體圖得到的值以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.
【詳解】如圖為棱長(zhǎng)為2的正方體外接球的一條直徑，為球心，為正方體表面上的任一點(diǎn)，
則球心也就是正方體的中心，
所以正方體的中心到正方體表面任一點(diǎn)的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑，
它等于棱長(zhǎng)的一半，即長(zhǎng)度為1，的長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，為，
我們將三角形單獨(dú)抽取出來(lái)如下圖所示：
，所以的最小值為.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．
B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．函數(shù)在的值域?yàn)?br>D．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位
【答案】ACD
【分析】先由圖象信息求出表達(dá)式，從而即可判斷A；注意到是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對(duì)比即可判斷.
【詳解】如圖所示：

由圖可知，又，
所以，所以，
又函數(shù)圖象最高點(diǎn)為，
所以，即，
所以，解得，
由題意，所以只能，故A選項(xiàng)正確；
由A選項(xiàng)分析可知，而是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，
但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)正確；
若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，
則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
10．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，且平面平面是線段上的一點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線平面
D．若，則直線與平面所成角的余弦值為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，由線面垂直的判斷定理即可判斷AB，由線面平行的判定定理即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可判斷D.
【詳解】連接，
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，又為正三角形，為的中點(diǎn)，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故B正確；
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又為的中點(diǎn)，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確；
因?yàn)槠矫嫫矫?，為正三角形，為中點(diǎn)，所以，平面平面，平面，所以平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，顯然與平面不垂直，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置時(shí)，才有，故A錯(cuò)誤；
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
又，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面的夾角為，則，則，所以直線與平面所成角的余弦值為，故D正確；
故選：BCD
11．下列式子中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】對(duì)于ABC：利用基本不等式運(yùn)算求解；對(duì)于D：取特值代入檢驗(yàn).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
但，所以的最小值不為4，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為4，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C成立；
對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得，
所以4不是的最小值，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
12．已知拋物線，過(guò)其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．拋物線的方程為B．
C．直線的斜率為D．直線的方程為
【答案】BCD
【分析】由準(zhǔn)線所過(guò)點(diǎn)求得得拋物線方程，判斷A，設(shè)直線，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理判斷B，設(shè)，，利用選項(xiàng)B中斜率表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算斜率判斷C，利用韋達(dá)定理得出線段中點(diǎn)坐標(biāo)得直線方程判斷D．
【詳解】因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，所以準(zhǔn)線方程為，所以，拋物線的方程為，故A錯(cuò)誤；
設(shè)直線，代入，得，
當(dāng)直線與相切時(shí)，，即，
設(shè)的斜率分別為，易知是上述方程的兩根，故，
所以，故B正確；
設(shè)，，則分別是方程的根，
所以，所以，故C正確；
，，
所以的中點(diǎn)為，直線的方程為，即，故D正確.
故選：BCD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則 ．
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的定義及單調(diào)性求解即得.
【詳解】由冪函數(shù)的定義知，，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，所以.
故答案為：
14．已知圓M的圓心在直線上，且過(guò)，，則圓M的方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)圓M的圓心在直線上，設(shè)圓心為，再根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)，，由求解.
【詳解】解：因?yàn)閳AM的圓心在直線上，且過(guò)，，
所以設(shè)圓心為，，
解得 ，則圓心為 ， ，
所以圓的方程為： ，
故答案為：
15．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，現(xiàn)從展開(kāi)式中任取2項(xiàng)，則取到的項(xiàng)都是有理項(xiàng)的概率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到展開(kāi)式的總項(xiàng)數(shù)為7項(xiàng)，，然后利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得到有理項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，再利用古典概型的概率求解.
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以展開(kāi)式的總項(xiàng)數(shù)為7項(xiàng)，故，
展開(kāi)式的通項(xiàng)，
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)該項(xiàng)為有理項(xiàng)，
時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)，共有4項(xiàng)，
所以所有項(xiàng)中任取2項(xiàng)，都是有理項(xiàng)的概率為.
故答案為：
16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)的性質(zhì)，作出的圖象．若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，通過(guò)分析可得有2個(gè)不等實(shí)根，且，數(shù)形結(jié)合即可建立關(guān)于的不等式組，即可求解．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
根據(jù)題意可作出的圖象如下：
若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
令，，則有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
故與都有2個(gè)交點(diǎn)，或者與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)與都有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；
當(dāng)與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，
則，當(dāng)時(shí)，，解得，
故，解得或，舍去；
故，
兩個(gè)實(shí)數(shù)根的范圍為，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，作出函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象得到與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，并通過(guò)分析得到．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。
17．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，有，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，利用可得，利用累乘法，結(jié)合驗(yàn)證首項(xiàng)，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法可求得，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意對(duì)任意正整數(shù)n，有，
則時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，則，
即，即，
故時(shí)，，
也適合上式，故；
（2）證明：由（1）可得，
故，
則，
故
，
故，由于，故，
故.
18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知
(1)求角；
(2)是的角平分線，若，，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系及已知得，即可得角；
（2）由余弦定理得，由及面積公式得，求得，進(jìn)而應(yīng)用面積公式求面積.
【詳解】（1）由，得：，即，
又，所以.
（2）在中，得：①，又，
得：，化簡(jiǎn)得：②，
由①②得：，所以
19．如圖，在直三棱柱中，，，M為AB的中點(diǎn)，D在上且.

(1)求證：平面平面；
(2)求直線CM與平面CBD所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）證明，推出平面，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線CM與平面CBD所成角的正弦值；
（3）利用向量法求二面角的余弦值.
【詳解】（1）直三棱柱中, ，M為AB的中點(diǎn)，
，平面，平面
，又，平面，
平面，又平面，
平面平面；
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，
設(shè)面的法向量，
則，取，得，
設(shè)直線CM與平面CBD所成角為，
；

（3）設(shè)面的法向量為，又，
，取得，
，
所以二面角的余弦值為.
20．后疫情時(shí)代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù)，國(guó)家先后出臺(tái)了多項(xiàng)減稅增效政策.某地區(qū)對(duì)在職員工進(jìn)行了個(gè)人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過(guò)分層隨機(jī)抽樣，獲得500位在職員工的個(gè)人所得稅(單位：百元)數(shù)據(jù)，按，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：假設(shè)每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的.

(1)求這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)(保留到小數(shù)點(diǎn)后一位)；
(2)從個(gè)人所得稅在三組內(nèi)的在職員工中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有在職員工中隨機(jī)抽取100名員工，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.
【答案】(1)百元
(2)分布列見(jiàn)解析，
(3)
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，利用中位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算即可.
（2）求得的所有可能取值和對(duì)應(yīng)的概率即可得到分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.
（3）由題意得，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)為，
則由頻率分布直方圖得，
解得，
所以這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)為百元.
（2）由題意抽取的10人中，年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，
年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，
年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，
若現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，
則的所有可能取值為，
所以，，
，，
所以的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望為：.
（3）由頻率分布直方圖可知年個(gè)稅在內(nèi)的概率為，
從該地區(qū)所有在職員工中隨機(jī)抽取100名員工，恰有個(gè)員工的年個(gè)稅在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，
由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式可得，
即的數(shù)學(xué)期望與方差分別為.
21．在中，已知點(diǎn)邊上的中線長(zhǎng)與邊上的中線長(zhǎng)之和為，記的重心G的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程；
(2)若圓，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與y軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得曲線的方程.
（2）直線為，通過(guò)聯(lián)立方程組等求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得面積的表達(dá)式，利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求得面積的最大值．
【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為S，的中點(diǎn)為T，所以，，
所以，所以，
所以G點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．所以，
所以，，所以曲線C的方程為．
.
（2）設(shè)直線為（不妨設(shè)），設(shè)，，

所以，，，
解得（舍去），則，
由于AB是單位圓的直徑，所以，
所以直線EN的斜率為，直線EN的方程為，
同理可求得，則，
由上述分析可知，，而，
所以
，
所以，令，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在圓錐曲線中，求解三角形面積最值、范圍等的有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)有兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是求得三角形面積的表達(dá)式，可考慮根與系數(shù)關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等等來(lái)進(jìn)行求解；第二點(diǎn)根據(jù)面積的表達(dá)式，使用基本不等式、二次函數(shù)等知識(shí)求得面積的最值或取值范圍.
22．已知函數(shù)的最小值為0，其中．
(1)求的值；
(2)若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
(3)證明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，已知最小值為0，可得極小值也為0，得，從而求出的值；
（2）由題意任意的，有成立，可以令先通過(guò)，大致確定取值范圍，再利用分類討論法求出的最值；
（3）由（2）知:令得:令得: ，累加即可的證.
【詳解】（1）由函數(shù)，則其定義域?yàn)椋?
由，得:，又由，得:，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
；
（2）設(shè)，
則在恒成立等價(jià)于，
注意到，又，
①當(dāng)時(shí)，由得.
在單減，單增，這與式矛盾；
②當(dāng)時(shí)，在恒成立，符合，
的最小值為；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
當(dāng)時(shí)，(1)；
當(dāng)時(shí)，，
，
，
將(1)(2)(3),,(n)式相加得：
不等式左邊：
；
不等式右邊：
；
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于含參函數(shù)的恒成立問(wèn)題的處理，常采用兩種方法：①參變分離求最值；②將左右兩邊移到一邊重新構(gòu)造一個(gè)含參函數(shù)，討論含參函數(shù)的單調(diào)性，確定哪一個(gè)點(diǎn)處取得最值.0
1
2
3

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