【二輪復(fù)習(xí)】2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷（新高考Ⅱ卷專用）.zip

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（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合,，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，得，所以，
函數(shù)中，，即，所以，
，所以.
故選：B
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．笵三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，易得該點(diǎn)在第四象限.
故選：D.
3．設(shè)非零向量，滿足，，則向量的夾角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等式，兩邊平方得：，
則，且，所以.
，即.
故選：B.
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
由可得：.
因?yàn)椋?br>所以.
所以.
故選：C.
5．翼云機(jī)場(chǎng)將于2025年通航，初期將開通向北至沈陽(yáng)?哈爾濱；向南至昆明?深圳；向西至蘭州?銀川的六條航線.甲?乙?丙?丁?戊?已6人各選擇一條不同航線體驗(yàn).已知甲不去沈陽(yáng)?哈爾濱，乙和丙乘坐同一方向的航班.則不同的體驗(yàn)方案有（ ）
A．56種B．72種C．96種D．144種
【答案】C
【解析】由題意，
共6個(gè)城市，3個(gè)方向，
甲不去沈陽(yáng)?哈爾濱，有種方案，
乙和丙乘坐同一方向的航班，有種方案，
剩余3人有種方案，
故不同的體驗(yàn)方案有：，
故選：C.
6．如圖，一個(gè)直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長(zhǎng).當(dāng)側(cè)面ABCD水平放置時(shí)，液面與棱的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】取底面梯形兩腰的中點(diǎn)為，如下圖所示：
由可得，
所以四邊形與四邊形的面積之比為，
即可知容器中水的體積占整個(gè)容器體積的；
當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，可知液面高為直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)的,
即可得液面高為.
故選：C
7．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，
所以，
，
則，則，可得，則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故選：D.
8．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為（ ）
A．3.5B．4
C．4.5D．5
【答案】C
【解析】易判斷函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，上的最大值.
當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以在上遞增，在上也是遞增，
所以；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，
所以或，
若，則；
若，則;
當(dāng)時(shí)，，（因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以.
綜上可知：的最小值為.
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知圓，，則（ ）
A．直線的方程為
B．過(guò)點(diǎn)作圓的切線有且僅有條
C．兩圓相交，且公共弦長(zhǎng)為
D．圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有個(gè)
【答案】AB
【解析】由題知，，
則直線的方程為，所以A正確；
因?yàn)椋瑘A半徑為，
過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，所以B正確；
又，
公共弦所在直線為，
圓心到的距離為，
所以公共弦長(zhǎng)為，所以C錯(cuò)誤；
圓心到直線的距離為，
所以圓上到直線距離為的點(diǎn)有個(gè)，所以D錯(cuò)誤．
故選：AB
10．某校有在校學(xué)生900人，其中男生400人，女生500人，為了解該校學(xué)生對(duì)學(xué)校課后延時(shí)服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生．每位被調(diào)查的學(xué)生都對(duì)學(xué)校的課后延時(shí)服務(wù)給出了滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，統(tǒng)計(jì)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)隨機(jī)從這90人中抽取一人，此人評(píng)價(jià)為滿意的概率為．在制定列聯(lián)表時(shí)，由于某些因素缺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，而獲得如下列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是（ ）
參考公式與臨界值表，其中．
A．滿意度的調(diào)查過(guò)程采用了分層抽樣的抽樣方法
B．50名女生中對(duì)課后延時(shí)服務(wù)滿意的人數(shù)為20
C．的觀測(cè)值為9
D．根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以認(rèn)為“對(duì)課后延時(shí)服務(wù)的滿意度與性別有關(guān)系”
【答案】AD
【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)樵谛W(xué)生中有400名男生，500名女生，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生，
男女比例始終是4：5，所以采用了分層抽樣的方法，故A正確；
B選項(xiàng)，調(diào)查的90人中，對(duì)學(xué)校課后延時(shí)服務(wù)滿意的人數(shù)為，
其中男生滿意的人數(shù)為，所以女生滿意的人數(shù)為30，女生不滿意的人數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)的分析，補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
由列聯(lián)表可得，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，：對(duì)課后延時(shí)服務(wù)的滿意度與性別無(wú)關(guān)，由，
根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充足的證據(jù)推斷不成立，
即不能認(rèn)為“對(duì)課后延時(shí)服務(wù)的滿意度與性別有關(guān)系”，故D正確．
故選：AD．
11．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象
D．函數(shù)的最大值為
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：將代入，得，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
對(duì)于B選項(xiàng)：在，令，則，
因?yàn)椋裕?br>根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,
可得到故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：,
結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
12．已知的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，且，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于對(duì)稱D．
【答案】ABD
【解析】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
，
所以是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期.
，
，В正確；
是偶函數(shù)，A正確；
因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其中為奇數(shù)，得不到C；
對(duì)任意的，且，都有，即時(shí)，，
所以在是單調(diào)遞增，
，
，故D正確.
故選：ABD.
第二部分（非選擇題 共110分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，若則的最小值等于 .
【答案】/
【解析】由可得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為，
故答案為：
14．已知直線是曲線的一條切線，則 .
【答案】2
【解析】，
當(dāng)時(shí)，，，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，故切線斜率不可能為，舍去，
當(dāng)時(shí)，，，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，令，
解得，則切點(diǎn)為，
將代入中得，，解得.
故答案為：2
15．，分別為雙曲線（，）左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率e的最大值是 ．
【答案】3
【解析】，是左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，所以，
代入得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，
又點(diǎn)P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以，即，即.
故答案為：3
16．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為 ，四棱錐的總曲率為 .
【答案】 /
【解析】根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為；
由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，
因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，
所以任意四棱錐的總曲率為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
17．（10分）
設(shè)數(shù)列滿足，，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【解析】（1）由，
則，
所以，
由，，則
故數(shù)列為等比數(shù)列.
（2）由（1）可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比，
故，，
則；；
.
由累加法可得：，
由，則.
18．（12分）
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若點(diǎn)D在邊AC上，BD平分，，求BD長(zhǎng)的最大值.
【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br>由得，
所以，即.
因?yàn)?，所?又，
所以.因?yàn)?，所?
（2）
由，
得，
所以，在中，由余弦定理得，
所以，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).
則，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則長(zhǎng)的最大值為3.
19．（12分）
隨著芯片技術(shù)的不斷發(fā)展，手機(jī)的性能越來(lái)越強(qiáng)大，為用戶體驗(yàn)帶來(lái)了極大的提升．某科技公司開發(fā)了一款學(xué)習(xí)類的闖關(guān)益智游戲，每一關(guān)的難度分別有“容易”“適中”“困難”三個(gè)檔次，并且下一關(guān)的難度與上一關(guān)的難度有關(guān)，若上一關(guān)的難度是“容易”或者“適中”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，若上一關(guān)的難度是“困難”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，已知第1關(guān)的難度為“容易”．
(1)求第3關(guān)的難度為“困難”的概率；
(2)用表示第關(guān)的難度為“困難”的概率，求．
【解析】（1）已知第1關(guān)的難度為“容易”，則第 2關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，
故第3關(guān)的難度是“困難”的概率為；
（2）由題意可得，表示第關(guān)的難度為“困難”的概率，表示第關(guān)的難度為“困難”的概率，
則，整理可得：，
根據(jù)題意得，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即.
20．（12分）
如圖，三棱錐的平面展開圖中，，，，，為的中點(diǎn)．
(1)在三棱錐中，證明：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【解析】（1）
由，得，且為的中點(diǎn)，
所以，
取中點(diǎn)為，連接，，
可得，
在中，，
在中，，
所以，
所以
因?yàn)?，，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
以，，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，
在中，可得點(diǎn)到距離為，
故可得，
，，
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，，
平面與平面的夾角為，
由,取，
所以，
由,取，
所以，
所以
所以兩平面的夾角的余弦值為.
21．（12分）
已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓的離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由可得：①因，則即：，
又因直線與圓相切，則，化簡(jiǎn)得：②，
聯(lián)立①②，可解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）
如圖，因直線與軸不重合，橢圓焦點(diǎn)為，故可設(shè)，
由，消去整理得：，
易得：，不妨設(shè)，則有
設(shè)中點(diǎn)為，則：,，
即：，
因，則為直線的中垂線.
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，故直線的中垂線的斜率為，
于是，因，則有：，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線，點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，若，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
若，則,可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22．（12分）
已知函數(shù)（），為的導(dǎo)函數(shù)，.
(1)若，求在上的最大值；
(2)設(shè)，，其中.若直線的斜率為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）若，可得，則，
即，可得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又由，所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即函數(shù)的最大值為.
（2）由，可得，
因?yàn)椋?br>所以對(duì)任意且，都有，
因?yàn)?，可得，則，
對(duì)任意且，令，
則
對(duì)于恒成立，
由
則對(duì)于恒成立，
記，
可得，
①若，則，在單調(diào)遞增，所以，符合題意；
②若，則，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意（舍去），
綜上可得，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為
滿意
不滿意
合計(jì)
男
10
女
合計(jì)
90
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
滿意
不滿意
合計(jì)
男
30
10
40
女
30
20
50
合計(jì)
60
30
90