注意事項：
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1．（5分）（2023·全國·模擬預測）已知集合A=0,1,2,B={x∈Z|x20的左頂點與右焦點分別為A,F，動點P在Γ上（不與Γ左、右頂點重合），Q為平面內(nèi)一點，若PF=3QF，且∠PAF=∠QOF，則Γ的離心率為（ ）
A．12B．13C．14D．25
【解題思路】利用橢圓的方程與性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想即可求解．
【解答過程】如圖所示：
因為∠PAF=∠QOF，所以OQ//AP，
又PF=3QF，所以AOOF=PQQF=2，
所以AO=2OF，即a=2c，所以Γ的離心率e=ca=12．
故選：A．
7．（5分）（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖，直線y=1與函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ1，滿足題意，
代入f(x)=233sin23x+π3，可得f(0)=233×32=1，不符合題意，
故A正確C錯誤.
故選：A.
8．（5分）（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx滿足gx+g?x=0，且fx，gx在?∞,0單調(diào)遞減，則（ ）
A．fgx在0,+∞單調(diào)遞減B．ggx在?∞,0單調(diào)遞減
C．gfx在0,+∞單調(diào)遞淢D．ffx在?∞,0單調(diào)遞減
【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一一判定選項即可.
【解答過程】由題意知fx在0,+∞單調(diào)遞增，gx為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞減.
設0≤x10t1t2=?ba>0，c2+4ab>0ac0，且滿足a+2b=3，則a2+42a+2b2+b+22b+1的最小值為 72 ．
【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.
【解答過程】由于a>0，b>0，所以
a2+42a+2b2+b+22b+1=a2+2a+(2b+1)b+22b+1=a2+2a+12(2b+1)+22b+1?12
≥2a2×2a+212(2b+1)×22b+1?12=4?12=72，
當且僅當a2=2a122b+1=22b+1，即a=2，b=12時等號成立.
故答案為：72.
15．（5分）（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）設f′x為fx的導函數(shù)，若fx=xex?f′1x，則曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為 ex?y?e=0 .
【解題思路】對原函數(shù)求導并求得f′1=e，再由導數(shù)幾何意義寫出切線方程.
【解答過程】由題設f′x=(x+1)ex?f′1，則f′1=2e?f′1?f′1=e，
所以fx=x(ex?e)，則f1=0，
綜上，點1,f1處的切線方程為y=e(x?1)，即ex?y?e=0.
故答案為：ex?y?e=0.
16．（5分）（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習）在三棱錐S?ABC中，∠BAC=3∠SCA=90°，SA⊥AB，SB=13，AB=3，則三棱錐S?ABC外接球的體積為 1256π ．
【解題思路】找到外接球的球心，計算出外接球的半徑，從而求得外接球的體積.
【解答過程】依題意AB⊥SA,AB⊥AC,SA∩AC=A,SA,AC?平面SAC，所以AB⊥平面SAC，
由于AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SAC.
設D,E分別是BC,AC的中點，則DE//AB，所以DE⊥平面SAC.
設F是三角形SAC的外心，SA=13?9=2，
由正弦定理得FA=2sin30°×12=2，
過F作FO⊥平面SAC，過D作DO⊥平面ABC，F(xiàn)O∩DO=O，連接EF，
EF?平面SAC，則DE⊥EF，所以四邊形ODEF是矩形，
則O是三棱錐S?ABC外接球的球心.
由于AF?平面SAC，所以OF⊥AF，
在Rt△AFO中，AF=2,OF=OE=32，
所以OA=4+94=52，也即三棱錐S?ABC外接球的半徑為52，
所以外接球的體積為4π3×523=125π6.
故答案為：1256π.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，設角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，已知3c=3bcsA+asinB.
(1)求角B的大??；
(2)當a=22，b=23時，求邊長c和△ABC的面積S.
【解題思路】（1）借助正弦定理將邊化為角，結(jié)合C=π?A+B及兩角和的正弦公式計算化簡即可得；
（2）根據(jù)正弦定理即可計算出A，結(jié)合B可求出C，再試用正弦定理即可得到c，再使用面積公式即可得到面積.
【解答過程】（1）由正弦定理得3sinC=3sinBcsA+sinAsinB，
由于C=π?A+B，則3sinA+B=3sinBcsA+sinAsinB，
展開得3sinAcsB+3sinBcsA=3sinBcsA+sinAsinB，
化簡得3csB=sinB，
則tanB=3，
所以B=π3；
（2）由正弦定理，得23sinπ3=22sinA=csinC，即有sinA=22，
因為a0，所以an?an?1=2，
所以an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以an=1+2(n?1)=2n?1，n∈N?.
（2）由（1）可得，an=2n?1，
所以bn=an+2an?an+1=2n?1+2(2n?1)(2n+1)=2n?1+12n?1?12n+1，
所以Tn=n(1+2n?1)2+11?13+13?15+???+12n?1?12n+1
=n2+1?12n+1 =n2+2n2n+1.
19．（12分）（2023·全國·模擬預測）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受．針對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個月的帶貨金額：
(1)計算變量x，y的相關系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01）．
(2)求變量x，y之間的線性回歸方程，并據(jù)此預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額．
(3)該公司隨機抽取55人進行問卷調(diào)查，得到如下不完整的列聯(lián)表：
請?zhí)顚懮媳?，并判斷是否?0%的把握認為參加直播帶貨與性別有關．
參考數(shù)據(jù)：y=590，i=15xi?x2=10，i=15yi?y2=176400，
i=15xi?xyi?y=1320，441000≈664．
參考公式：相關系數(shù)r=i=1nxi?xyi?yi=1nxi?x2i=1nyi?y2，線性回歸方程的斜率b=i=1nxi?xyi?yi=1nxi?x2，截距a=y?bx．
附：K2=nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
【解題思路】（1）直接代入求相關系數(shù)即可；
（2）根據(jù)線性回歸方程求解回歸方程即可；
（3）零假設之后計算K2，再比較大小判斷零假設是否成立即可.
【解答過程】（1）r=i=15xi?xyi?yi=15xi?x2i=15yi?y2=132010×176400=13202×441000≈0.99
（2）因為x=15×1+2+3+4+5=3，y=590，i=15xi?x2=10，i=15xi?xyi?y=1320，
所以b=i=15xi?xyi?yi=15xi?x2=132010=132，a=590?132×3=194，
所以變量x，y之間的線性回歸方程為y=132x+194，
當x=7時，y=132×7+194=1118（萬元）．
所以預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬元．
（3）補全完整的列聯(lián)表如下．
零假設H0：參加直播帶貨與性別無關，
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到K2=55×25×10?5×15230×25×40×15≈3.743>2.706=x0.1，
根據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗我們推斷H0不成立，即參加直播帶貨與性別有關，該判斷犯錯誤的概率不超過10%.
20．（12分）（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=1．
(1)若AB=1，PC=3，求證：四面體P?ABC是鱉臑，并求該四面體的體積；
(2)若四面體P?ABC是鱉臑，當AC=aa>1時，求二面角A?BC?P的平面角的大?。?br>【解題思路】（1）借助線面垂直證明面面垂直，結(jié)合題目所給長度，運用勾股定理證明四面全為直角三角形即可，體積借助體積公式計算即可得；
（2）根據(jù)題意，會出現(xiàn)兩種情況，即∠ABC=π2或∠ACB=π2，分類討論計算即可得.
【解答過程】（1）∵PA⊥平面ABC，AB、AC?平面ABC，
∴PA⊥AB、PA⊥AC，
∴△PAC、△PAB為直角三角形，
∴在直角△PAC中，AC=PC2?PA2=2，
在直角△PAB中，PB=PA2+PB2=2，
∴在△ABC中，有AC2=AB2+BC2，
∴AB⊥BC，故△ABC為直角三角形，
在△PBC中，有PC2=PB2+BC2，
故PB⊥BC，故△PBC為直角三角形，
故四面體P?ABC四個面都是直角三角形，即四面體P?ABC是鱉臑，
VP?ABC=13S△ABC?PA=13×12×1×1×1=16；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
由AC=a>1=AB，
故∠BAC不可能是直角，
若∠ABC=π2，則有AB⊥BC，
又PA⊥BC，PA、AB?平面PAB，PA∩AB=A，
故BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
故BC⊥PB，
∴∠ABP是二面角A?BC?P的平面角，
∵AC=a，BC=1，∴AB=a2?1，∴tan∠PBA=1a2?1，
所以二面角A?BC?P的平面角的大小為arctana2?1a2?1．
若∠ACB=π2，
同理可得∠ACP是二面角A?BC?P的平面角，
所以tan∠ACP=APAC=1a，
所以二面角的平面角的大小為arctan1a，
綜上所述，二面角A?BC?P的平面角的大小為arctana2?1a2?1或arctan1a.
21．（12分）（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y2=2pxp>0的焦點為F，E的準線交x軸于點K，過K的直線l與拋物線E相切于點A，且交y軸正半軸于點P.已知△AKF的面積為2.
(1)求拋物線E的方程；
(2)過點P的直線交E于M，N兩點，過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點T，點H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點.
【解題思路】（1）根據(jù)題意假設得直線l：x=my?p2，聯(lián)立拋物線方程求得，Ap2,p，再利用三角形面積即可求得p=2，由此得解；
（2）根據(jù)題意設得MN：y=kx+1，聯(lián)立拋物線方程求得y1+y2=y1y2=4k，再依次求得T，H的坐標，從而求得直線HN的方程，化簡可得HN為y=y1+y2?4x1x2?x1，由此得證.
【解答過程】（1）由題可知，F(xiàn)p2,0，準線x=?p2，K?p2,0，
因為直線l的斜率存在且不為0，所以設l：x=my?p2，
聯(lián)立y2=2pxx=my?p2，消去x，得y2?2pmy+p2=0，
因為l與E相切，所以Δ=4p2m2?1=0，所以m=1或m=?1，
因為交y軸正半軸于點P，所以m=1,
因此y2?2py+p2=0，解得y=p，所以Ap2,p，
故AF⊥KF，所以S△AKF=12p2=2，所以p=2（負值舍去），
所以拋物線E的方程為y2=4x.
（2）由（1）知A1,2，又l：y=x+1，所以P0,1，
如圖所示：
因為過點P的直線交E于M，N兩點，所以MN斜率存在且不為零，
所以設MN：y=kx+1k≠0，Mx1,y1，Nx2,y2，
聯(lián)立y2=4xy=kx+1，消去x，得ky2?4y+4=0k≠0，
則Δ=161?k>0，所以k0，證fx2+12x2?12>0,alnx2+1+12x22?x2+12+12x2?12>0，alnx2+1+12x22?12x2>0,x22=1?a,a=1?x22.，(1+x2)ln(x2+1)?12x2>0,
令g(x)=(1+x)ln(x+1)?12x,x∈(0,1), ∵g′(x)=ln(x+1)+12>0,
∴g(x)在0,1上遞增，∴g(x)>g(0)=0,命題得證.月份x
1
2
3
4
5
帶貨金額y/萬元
350
440
580
700
880
參加過直播帶貨
未參加過直播帶貨
總計
女性
25
30
男性
10
總計
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
參加過直播帶貨
未參加過直播帶貨
總計
女性
25
5
30
男性
15
10
25
總計
40
15
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