（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】，，
，又，
.
故選：B.
2．已知（，為虛數(shù)單位），若是實數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】因為是實數(shù)，
所以，
故選：A
3．已知一個古典概型，其樣本空間中共有12個樣本點，其中事件有6個樣本點，事件有4個樣本點，事件有8個樣本點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依題意計算可得，，，再由概率的加法公式計算即可得.
【詳解】根據(jù)概率公式計算可得，，；
由概率的加法公式可知，代入計算可得
故選：D
4．若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同值函數(shù)”，給出下面四個函數(shù)，其中能夠被用來構造“同值函數(shù)”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】要想能夠被用來構造“同值函數(shù)”，則要函數(shù)不單調，
ABC選項，在R上單調遞減，在R上單調遞增，
在上單調遞增，ABC錯誤；
D選項，在上單調遞減，在上單調遞增，
不妨設，與函數(shù)，，兩者的值域相同，為同值函數(shù)，D正確.
故選：D
5．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在拋物線上，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)拋物線，得:，
因為：，得三點共線，所以直線過點且斜率不為，故設直線的方程為：，
與拋物線方程聯(lián)立得：，化簡得：，
設，此時，根據(jù)根與系數(shù)的關系得：．
由，知，即，化簡得：，
又因為點在拋物線上，所以：，
所以：，所以（舍去負值）．
由，得：，即：，
所以：，所以：，所以：.
故選：A
6．設，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，
所以，
所以，
即．
又，，
所以，即
或，即（舍去）．
故選：
7．已知數(shù)列滿足，且，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，則是等差數(shù)列
C．若，則是等比數(shù)列
D．若，則是等比數(shù)列
【答案】B
【詳解】對于A項：，得：，
因為：，所以得：，
所以：為等差數(shù)列，故A項正確；
對于B項：，，所以：，，
不滿足等差數(shù)列，故B項錯誤；
對于C項：，，所以：，故：，
數(shù)列為等比數(shù)列，故C項正確
對于D項：，得：，
因為：，所以：，即：，
所以：為等比數(shù)列，故D項正確.
故選：B.
8．設，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意可得，，，
設，，則，
故當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
因為，，，且，
可得，，所以.
故選：D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．若圓與直線相切，且與圓相切于點，則圓的半徑為（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】BD
【分析】由已知得圓心在軸，設圓心為，然后由圓與直線相切及過點列方程組求得圓心后再求得半徑．
【詳解】圓的圓心為，半徑為1，
圓與圓相切于點，則圓心在軸，設圓心為，
則由題意，解得或，
時，半徑為，時，半徑為，
故選：BD．
10．《黃帝內經》中十二時辰養(yǎng)生法認為：子時的睡眠對一天至關重要（子時是指23點到次日凌晨1點）．相關數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計如圖，則下列說法錯誤的是（ ）
A．在睡眠指數(shù)的人群中，早睡人數(shù)多于晚睡人數(shù)
B．早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在
C．早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小
D．晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在
【答案】ACD
【詳解】由圖知，每一組中的早睡人群占比與晚睡人群占比都是以早睡與晚睡各自的總人數(shù)為基數(shù)的，
所以每一組中的早睡人數(shù)與晚睡人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故選項A錯誤；
早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在，晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在，選項B正確，選項D錯誤；
早睡人群睡眠指數(shù)的極差和晚睡人群睡眠指數(shù)的極差的大小無法確定，故選項C錯誤．
故選：ACD.
11．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點，是棱上的動點，則（ ）
A．
B．存在點，使平面
C．存在點，使直線與所成的角為
D．點到平面與平面的距離和為定值
【答案】ABD
【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
設，
，設，，
所以，所以，A選項正確.
點到平面與平面的距離和為為定值，D選項正確.
，，
設平面的法向量為，
則，故可設，
要使平面，平面，
則，
解得，所以存在點，使平面，B選項正確.
若直線與直線所成角為，
則，
，無解，所以C選項錯誤.
故選：ABD
12．定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，函數(shù)滿足，若與恰有2023個交點，則下列說法正確的是（ ）
A．B．為的對稱軸
C．D．
【答案】BCD
【分析】由，得函數(shù)圖象關于直線對稱，由是奇函數(shù)，得的圖象關于點對稱，從而得是周期函數(shù)，4是它的一個周期，由，得圖象關于點對稱，從而知與的圖象的交點關于點對稱，點是它們的一個公共點，由此可判斷各選項．
【詳解】，則函數(shù)圖象關于直線對稱，B正確；
是奇函數(shù)，即，，則的圖象關于點對稱，，，C正確；
所以，從而，所以是周期函數(shù)，4是它的一個周期，，A錯；
又，圖象關于點對稱，因此與的圖象的交點關于點對稱，點是它們的一個公共點，
，D正確．
故選：BCD．
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知向量，，則在上的投影向量的坐標為 ．
【答案】
【詳解】，，
則在上的投影向量為．
故答案為：
14．已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為 .
【答案】9
【詳解】的焦點坐標為，故，
故，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為9.
故答案為：9
15．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，且關于的不等式的解集為，，則正偶數(shù)a的最小值為 ．

【答案】4
【詳解】由題意得，所以，
而，，所以，
而，故，所以，
又過點，所以，即，
所以，則，
又，即，又，則，所以，
則，又，所以，則，
所以，
由，得，
所以，解得，
當時，在區(qū)間內不存在正偶數(shù)，
當時，在區(qū)間內存在1個正偶數(shù)4，所以正偶數(shù)a的最小值為．
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于利用五點法求得的解析式，從而解關于的不等式，從而得解.
16．已知函數(shù)若函數(shù)有4個零點．則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】當且時，，，
當且時，；當時，．
故在，上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得極小值，
時，；時，
由解析式可知，為奇函數(shù)．畫出圖象大致如下：
令得，設，
得關于的方程（*）
恒成立，設（*）式有兩個不等實根，，
當，時，即，滿足題意，
當或，滿足題意，
方法一：
令，則或，
故或，
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
方法二：
（*）式化為，令，
易知在，上單調遞增，
且，，，
其圖象大致如圖：
當或時，滿足或，
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：
導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理.通過構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
17．在中，角、、的對邊分別為、、，且，
(1)求角的大??；
(2)若，，求的值.
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：因為，由正弦定理可得，
所以，
，
因為、，所以，，則，故.
（2）解：因為，，，
由余弦定理可得，則，
由正弦定理可得，所以，.
18．某娛樂節(jié)目闖關游戲共有三關，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關，闖關成功可獲得的獎金分別為1000元、2000元、3000元.獎金可累加，若某關闖關成功，選手可以選擇結束闖關游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續(xù)闖關，若有任何一關闖關失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關游戲結束.選手小劉參加闖關游戲，已知他第一，二，三關闖關成功的概率分別為，，.第一關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，第二關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，且每關闖關成功與否互不影響.
(1)求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；
(2)設小劉所得獎金為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.
【答案】(1)； (2)分布列見解析，數(shù)學期望為元.
【詳解】（1）由題意，要使小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零，
選擇闖第二關且失敗，或選擇闖第二關且成功，又選擇闖第三關且失敗，
所以小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率.
（2）由題意，，且，
，，
，
X的分布列如下：
元.
19．在數(shù)列中，，是的前n項和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）由已知得，，
所以，①
當時，，②
，得，
也符合該式，
所以．
（2）由（1）得，
所以，③
，④
，得
．
故．
20．已知矩形ABCD中，點E在邊CD上，且．現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點D到點P的位置，構成如圖所示的四棱錐．

(1)若點F在線段AP上，且平面PBC，求的值；
(2)若，求銳二面角的余弦值．
【答案】(1)2 (2)
【詳解】（1）點為線段上靠近點的三等分點，滿足平面PBC，證明如下：
如圖，過點作交于點，連接，則，

又，，所以．因為，所以，
所以四邊形為平行四邊形，有，
又平面，平面，所以平面．
此時有.
（2），為等腰直角三角形，
，，，．
取的中點，以為坐標原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，，，，

則，，
因為，，所以，解得，
則，，，
設平面的法向量為， 則，
不妨取，則，，
設平面的一個法向量為，則，
則銳二面角的的余弦值為．
21．在中，已知點邊上的中線長與邊上的中線長之和為，記的重心G的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程；
(2)若圓，過坐標原點O且與y軸不重合的任意直線與圓相交于點，直線與曲線的另一個交點分別是點，求面積的最大值．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）設的中點為S，的中點為T，所以，，
所以，所以，
所以G點的軌跡是以為焦點，長軸長的橢圓．所以，
所以，，所以曲線C的方程為．
.
（2）設直線為（不妨設），設，，

所以，，，
解得（舍去），則，
由于AB是單位圓的直徑，所以，
所以直線EN的斜率為，直線EN的方程為，
同理可求得，則，
由上述分析可知，，而，
所以
，
所以，令，
當且僅當，時等號成立，
則，函數(shù)在上單調遞增，
所以當時，取得最小值為．
【點睛】關鍵點睛：在圓錐曲線中，求解三角形面積最值、范圍等的有關問題，關鍵點有兩點，第一點是求得三角形面積的表達式，可考慮根與系數(shù)關系、點到直線的距離公式等等來進行求解；第二點根據(jù)面積的表達式，使用基本不等式、二次函數(shù)等知識求得面積的最值或取值范圍.
22．已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若，都有，求的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：當時，，
因為，
所以，曲線在處的切線方程是，即．
（2）因為，都有，所以．
設，則．
記，設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以，所以在上單調遞減．
因為，當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，．
【點睛】方法點睛：對于，恒成立，則；對于，恒成立，則；對于，有解，則；對于，有解，則；0
1000
3000
6000

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