注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】充分性：若，則；
必要性：若則，
則，得，或，故不滿足必要性
綜上“”是“”充分不必要條件，
故選：A
2．已知，，則集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，所以.
故選：B.
3．2023年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長(zhǎng)假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游．除常見的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國(guó)，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（ ）
A．1800B．1080C．720D．360
【答案】B
【解析】①恰有2個(gè)部門所選的旅游地相同，
第一步，先將選相同的2個(gè)部門取出，有種；
第二步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有種，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有種；
②4個(gè)部門所選的旅游地都不相同的方法有種，
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有種．
故選：B
4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，即，即或，
顯然函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且當(dāng)時(shí)，有，從而有，
當(dāng)時(shí)，有，但，
所以，即，
所以.
故選：D.
5．已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】顯然離心率，解得，即，
分別為C的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，則，，
于是，而，
即，又，因此聯(lián)立解得，
所以橢圓的方程為.
故選：B
6．函數(shù)在區(qū)間的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所作切線斜率為，則，
當(dāng)時(shí)，，故不存在；
當(dāng)時(shí)，滿足：.
所以：.
故選：C.
7．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以平方得，，，
即，，
兩式相加可得，
即，
故，
.
故選：D.
8．在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橛形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，且為偶函數(shù)，
則，可得，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.
又，
令，則為奇函數(shù)，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
由題意得，
則，
∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其中，
則，假設(shè)，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞增，
所以，
∵，
∴，與已知矛盾，故不成立；
假設(shè)，同理可得，與已知矛盾，故不成立；
綜上，．
故選：A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．山東東阿盛產(chǎn)阿膠，阿膠與人參、鹿茸并稱“中藥三寶”．阿膠的主要原料是驢皮，配以冰糖、紹酒、豆油等十幾種輔料，用東阿特有的含多種礦物質(zhì)的井水、采取傳統(tǒng)的制作工藝熬制而成．已知每盒某阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，．（ ）
A．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1盒，則這盒阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量大于的概率為0.75
B．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1盒，則這盒阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量在內(nèi)的概率為0.15
C．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，則質(zhì)量大于的盒數(shù)的方差為47.5
D．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，則質(zhì)量在內(nèi)的盒數(shù)的數(shù)學(xué)期望為200
【答案】ACD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，A正確．
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?br>，
所以，B錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以?br>若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，則質(zhì)量大于的盒數(shù)，
所以，C正確．
對(duì)于選項(xiàng)D，，若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，
則質(zhì)量在內(nèi)的盒數(shù)，所以，D正確．
故選:ACD
10．如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則（ ）

A．三棱錐的體積為定值
B．的最小值為
C．平面
D．當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的平面截正三棱柱所得圖形的面積為
【答案】AC
【解析】由題意可知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
易知平面平面，
所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到線段的距離，
又，所以，
所以，為定值，
故A正確；
將沿展開與正方形在同一個(gè)平面內(nèi)，
記此時(shí)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，
，
故的最小值為，故B錯(cuò)誤；
由點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，得，
又平面平面，
所以平面，故C正確；
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
則過點(diǎn)的平面截正三棱柱所得截面圖形為，
因?yàn)?，平面平面?br>平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，
取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
所以，所以，
所以，所以，
故，故D錯(cuò)誤．
故選：
11．用于加熱水和食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過拋物線對(duì)稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則（ ）

A．C的準(zhǔn)線方程為
B．
C．若點(diǎn)，則
D．設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N，則點(diǎn)N在直線上
【答案】AD
【解析】由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以A正確；
由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)F，且斜率不為0，
設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，
可得，所以，所以B錯(cuò)誤；
若點(diǎn)，則，所以，所以，，
所以，所以C錯(cuò)誤；
又由直線，聯(lián)立方程組，解得，
由，得，所以，所以點(diǎn)N在直線上，所以D正確.
故選：AD.
12．關(guān)于x的不等式在上恒成立，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由，
可得，
即．
記，，
令，，則，
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增且，所以當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即如下圖所示：
又，，且，從而為與在處的公切線時(shí)，才能使原不等式恒成立，
，，則在處的切線方程為，即，
得，．
故選：BC.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br>則，，
則與的夾角為．
故答案為：.
14．我國(guó)古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問：斬高幾何？”大致意思是：“有一個(gè)正四棱錐的下底面邊長(zhǎng)為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺(tái)，且正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正四棱臺(tái)的體積為 立方尺（注：1丈尺）
【答案】3892
【解析】按如圖所示方式取截正四棱錐，
分別為上、下底面正方形的中心，分別為的中點(diǎn)，
正四棱錐的下底邊長(zhǎng)為二丈，即尺，
高三丈，即尺；
截去一段后，得正四棱臺(tái)，且上底邊長(zhǎng)為尺，
所以，
所以由可知，有，
解得，
所以該正四棱臺(tái)的體積是（立方尺）．
故答案為：3892.
15．已知，又P點(diǎn)為圓O：上任意一點(diǎn)且滿足 ，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則，且P點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值，
所以 ，
所以，
所以，解得，
因?yàn)?，所?br>故答案為：．
16．在中，角的對(duì)邊分別為為邊中點(diǎn)，若，則面積的最大值為 .
【答案】
【解析】由于為邊中點(diǎn),所以,平方,
因此,
由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，
由于在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最小，且為鈍角，
,
由于在單調(diào)遞增，故當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)面積最大，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，進(jìn)而最小，故面積最大，
由可得，故面積的最大值為，
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
17．（12分）
已知函數(shù)的最小正周期為．
(1)求的值，并寫出的對(duì)稱軸方程；
(2)在中角的對(duì)邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）
．
，．
故
令，解得，
故對(duì)稱軸方程為：
（2）由得，
．
，，,．
，，
，
18．（12分）
若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有.
【解析】（1）證明：由，當(dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，，所以，
∴時(shí)，，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
∴，∴.
（2）證明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因?yàn)?，所以，所以即成立?br>所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有得證.
19．（12分）
手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序A，工序，工序.經(jīng)過試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.
(1)若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.
【解析】（1）記事件M為“小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員成功完成三道工序”，
當(dāng)技術(shù)員完成工序A時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,
當(dāng)技術(shù)員完成工序B時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,
當(dāng)技術(shù)員完成工序C時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,
當(dāng)技術(shù)員沒參與補(bǔ)救時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：，
故小李成功完成三道工序的概率為；
（2）設(shè)小李最終收益為X，小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員參與比賽，
有如下幾種情況：
兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救但仍未成功完成三道工序，此時(shí)，；
兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救并成功完成三道工序，此時(shí)，；
只有一位技術(shù)員參與補(bǔ)救后成功完成三道工序，此時(shí)，;
技術(shù)員最終未參與補(bǔ)救仍成功完成三道工序，此時(shí)，；
故.
20．（12分）
如圖1，在矩形中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，且．現(xiàn)將沿著折起，到達(dá)的位置，使得，如圖2所示．過棱的中點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)若，求線段的長(zhǎng)；
(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求的值．
【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕?br>因?yàn)?，，平面?br>所以平面，平面，
所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以．
因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以．
又，，平面，
所以平面，平面，所以．
因?yàn)椋裕?br>所以，
即線段的長(zhǎng)為．
（2）由（1）可知兩兩垂直，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以．
由（1）可知，是平面的一個(gè)法向量，
是平面的一個(gè)法向量．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，解得，
所以當(dāng)平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，的值為2．
21．（12分）
已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)是軸上兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.
【解析】（1）因?yàn)榈碾x心率為，所以，
所以，漸近線方程，
因?yàn)辄c(diǎn)到一條漸近線距離為，所以，解得，
所以的方程為.
（2）直線與圓相交，理由如下：
設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，
所以，
即，
由（1）得，直線方程為：與雙曲線方程聯(lián)立，
消去得，，因?yàn)橹本€與都有除以外的公共點(diǎn)，
所以，所以，即，
同理當(dāng)，.
，
所以直線方程為：，
令得，，
即直線經(jīng)過定點(diǎn).
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.
22．（12分）
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>則在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以切線方程為，即.
由得，即.
因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋苑匠逃蟹橇銓?shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，即，且，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，所以，即無實(shí)根，
所以當(dāng)時(shí)，無實(shí)根，
因?yàn)椋词桥己瘮?shù)，所以在上無實(shí)根.
，
記則，.
①當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，滿足在上無實(shí)根.
②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，不合題意，舍去.
③當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，滿足在上無實(shí)根.
④當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，，
則存在唯一的，使，列表得
所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，則，
又因?yàn)?，且在上連續(xù)，
所以在上有實(shí)根，不合題意.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
-
0
+
↘
極小值
↗

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