（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解不等式得，解不等式得，所以.故選：.
2．若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，所以由，得.故選：B.
3．已知點(diǎn)A，B，C，D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，即，即，
又，所以.故選：D．
4．已知是等比數(shù)列，，且，是方程兩根，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為是等比數(shù)列，所以，，又，所以，
又，是方程兩根，所以.故選：C
5．已知3名男同學(xué)、2名女同學(xué)和1名老師站成一排，女同學(xué)不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（ ）
A．336 種B．284種C．264 種D．186種
【答案】A
【解析】當(dāng)2名女生站在兩端時，3名男生和1名老師排在中間，共有種排法；
當(dāng)有1名女生排在一端，另一端排男生時，
共有種排法；
當(dāng)男生排在兩端時，共有種排法；
故不同的排法共有（種），故選：A
6．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】C
【解析】，由，故，又，故，，
由余弦定理可得：，即.故選：C.
7．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由條件等式可知，，整理為，則，
又，，
所以，，
所以.故選：D
8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】以為鄰邊作平行四邊形，
由可得四邊形為矩形，如下圖所示：
，
可得，解得，即，
即點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
易知，，
所以線段的長的取值范圍是.故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為17
B．一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5
C．用決定系數(shù)比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好
D．以模型 去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
【答案】BCD
【解析】對A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，
則數(shù)據(jù)的方差為，故A錯誤；
對B：，則其第80百分位數(shù)是，故B正確；
對C，根據(jù)決定系數(shù)的含義知越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；
對D，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)，
則，由題線性回歸方程為，則，
故的值分別是和2，故D正確.故選：BCD.
10．已知正方體的棱長為3，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是中點(diǎn)，則（ ）
A．該正方體外接球的表面積為
B．直線與所成角的余弦值為
C．平面截正方體所得截面為等腰梯形
D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】ABD
【解析】對A：棱長為3的正方體的體對角線長為：，
所以所求正方體的外接球表面積為：，故A正確；
對B：如圖
連接，∵，所以即為異面直線與所成的角，設(shè)為.
在中，，，，
所以，所以，故B正確；
對C：如圖：
取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，
所以平面截正方體所得截面為梯形.
由，所以.
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C錯誤；
對D：如圖：
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
而，，
所以：，故D正確.故選：ABD
11．已知定義在R上的函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時，，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)為減函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】ACD
【解析】對A：令，則有，故，故A正確；
對B：令，，則有，故，故B錯誤；
對C：令，則有，其中，，
令，，即有對、，當(dāng)時，恒成立，
即函數(shù)為減函數(shù)，故C正確；
對D：令，則有，又，
故，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確.故選：ACD.
第 = 2 \* ROMAN II卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．的展開式中x的系數(shù)為 .
【答案】
【解析】，的展開式為，
所以可得x的系數(shù)為.
13．若函數(shù)在上佮有5個零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】依題意，函數(shù)，由，得，
則或，
由，得，由在上恰有5個零點(diǎn)，
得，解得，
由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，即，且，解得，
所以正實數(shù)的取值范圍為.
14．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，且，于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 ．
【答案】
【解析】因為于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，即，
所以直線方程為，即，
設(shè)，
由得，
則，，
所以，
因為，所以，解得，
所以，
所以.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．
（1）若為等差數(shù)列，求；
（2）若，求的前項和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
因為為等差數(shù)列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，則，但這與矛盾，舍去，所以.
（2）因為，所以，
而當(dāng)時，，所以此時，
所以此時，
而也滿足上式，
綜上所述，的前項和.
16．（15分）某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎．
（1）求在1次游戲中，獲獎的概率；
（2）求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，.
【解析】（1）設(shè)“在1次游戲中摸出個紅球”為事件，
設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件，則，且互斥，
，，
所以在1次游戲中，獲獎的概率.
（2）依題意，所有可能取值為，由（1）知，
，，
，
，，
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
17．（15分）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．
（1）若，證明：平面；
（2）若二面角的正弦值為，求BQ的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）1．
【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接MP，MB．
在四棱臺中，四邊形是梯形，，，
又點(diǎn)M，P分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且．
在正方形ABCD中，，，又，所以．
從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．
又因為平面，平面，所以平面；
（2）在平面中，作于O．
因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．
以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．
因為四邊形是等腰梯形，，，所以，
又，所以．
易得，，，，，
所以，，．
法1：設(shè)，所以．
設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，
另取平面DCQ的一個法向量為．
設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．
又，所以，解得（舍負(fù)），
因此，．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．
法2：設(shè)，所以．
設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，
另取平面DCQ的一個法向量為．
設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．
又，
所以，解得或6（舍），因此．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．
法3：在平面中，作，垂足為H．
因為平面平面,平面平面,,平面，
所以平面，又平面，所以．
在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．
因為，，，PH，平面，
所以平面，又平面，所以．
因為，，所以是二面角的平面角．
在四棱臺中，四邊形是梯形，
，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，所以，．
設(shè)，則，，
在中，，從而．
因為二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，
且二面角的正弦值為，所以，從而．
所以在中，，解得或（舍）．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．
18．（17分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，滿足.
（1）求的平分線所在的直線的方程；
（2）在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異的兩點(diǎn)，若存在，請找出這兩點(diǎn)；若不存在請說明理由；
（3）已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線與橢圓相交于，若四邊形的面積最大時，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）；（2）不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點(diǎn)，理由見解析；（3）
【解析】（1）設(shè)的平分線與軸交于點(diǎn)，
由，則，由，有，故，
故，則，解得，故，
由角平分線的性質(zhì)可得，所以，解得，
故，則有，即直線的方程為；
（2）假設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，所以，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
得，則，
即，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因為的中點(diǎn)在直線，
所以，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
與點(diǎn)重合，矛盾，所以不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點(diǎn)；
（3）由題意知，，
設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)它們的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積記，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，因為，所以，
所以，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
19．（17分）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：
（1）試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
（2）計算：；
（3）證明：，.
【答案】（1）不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；（2）；（3）證明見解析
【解析】（1）設(shè)，
由于，所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價于，即證，
記，則，
所以，
即有對任意，均有，
所以，
因為，
所以，
所以，證畢!2
5
8

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