（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（ ）
A．極差B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．方差
【答案】C
【解析】樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、，
去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，
假設(shè)從小到大就是從到，極差可能變化，故A錯；
平均數(shù)為，可能變，故B錯；
中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故C正確；
方差為，有可能變，故D錯.故選：C
2．已知，，若，則λ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，，所以，
所以，
所以，則，
故，解得（正值舍去）.故選：D．
3．已知等差數(shù)列的前項和為.若，則（ ）
A．1012B．1013C．2024D．2025
【答案】A
【解析】由等差數(shù)列的通項公式可得：，且，
所以.故選：A.
4．設(shè)，為不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，，則與異面
D．若，，，則與相交
【答案】A
【解析】對于A，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得A正確；
對于B，若，，，則，或與異面，故B錯誤；
對于C，若，，則，或與異面，故C錯誤；
對于D，若，，，則，或與異面，或與相交，故D錯誤．故選：A.
5．一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實數(shù)3的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有（ ）
A．22B．28C．26D．24
【答案】D
【解析】經(jīng)過4次飛行，停在位于數(shù)軸上實數(shù)3的點處，
設(shè)向右飛行1個單位為事件，向右飛行2個單位為事件，
情況一，滿足要求，此時只需安排好，故不同的飛行方式為種，
情況二，滿足要求，此時只需安排好，故不同的飛行方式為種，
綜上，小蜜蜂不同的飛行方式有種.故選：D
6．在△ABC中，已知，，，D為垂足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，可得，，
由正弦定理得，即，
因為，所以，
又因為
，
所以，整理得，
因為，所以，所以，
即，解得，則，即，
因為為銳角，，
所以，
在直角中，，所以.故選：B.
7．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，
得到，又，所以，
所以，故選：B.
8．已知點在雙曲線上，過點P作雙曲線的漸近線的垂線，垂足分別為A，B，若，，則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】如圖，直線的方程為：，
由，解得，；
直線的方程為：，，
解得，，
，，
故，解得：.故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．的圖象關(guān)于點對稱D．在上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【解析】設(shè)的最小正周期為，由圖象可得到，故，
因為，所以，解得，故A正確；
將代入，得，
則，解得，
因為，所以當(dāng)時，，所以，故B錯誤；
因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；
當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD
10．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限
C．若，則
D．若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則直線（為原點）斜率的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】對于A，設(shè)，則，若，則，
則，所以，故A正確；
對于B，若，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點
在第四象限，故B錯誤；
對于C，設(shè)，由，可得，
則，即，則，故C正確；
對于D，設(shè)，則，若，
則，即點在以為圓心，為半徑的圓上，
設(shè)過原點與圓相切的直線為，即，
則圓心到切線的距離，解得，
所以直線（為原點）斜率的取值范圍為，故D正確.故選：ACD
11．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點中心對稱B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由題意可得，兩式相減可得①，
所以的圖象關(guān)于點中心對稱，A錯誤；
由②，②式兩邊對求導(dǎo)可得，可知是偶函數(shù)，
以替換①中的可得，
可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，B正確；
因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，
兩邊求導(dǎo)可得，所以，C正確；
因為，令，則，即，
又因為是偶函數(shù)，所以，
又因為是周期為4的周期函數(shù)，則，
由可得，所以，D正確.故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知集合，，那么 ．
【答案】
【解析】要使得有意義，則，解得，即集合，
若有意義，則，且，
而且，所以且，
所以或，從而，.
13．展開式中的常數(shù)項為 .
【答案】
【解析】表示個相乘，
則常數(shù)項，應(yīng)為個，個，個，個相乘，
所以展開式中的常數(shù)項為.
14．已知點在拋物線上運動，過點的兩直線與圓相切，切點分別為，當(dāng)取最小值時，直線的方程為 .
【答案】
【解析】如圖，設(shè)，設(shè)與交于，
由題意知，，
中，，
而，則，
當(dāng)最小時，取最小值.
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，此時，，，
則以為圓心，為半徑的圓的方程為：，
與圓的方程相減，可得的直線方程為：，即，
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：
（2）若直線與的圖象相切，求a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）記在上單調(diào)遞減，
對恒成立，
，而，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
所以當(dāng)時，取得最小值為.
，所以a的取值范圍為
（2）設(shè)直線與的圖象相切于，
，
由題意可知，
代入，
，左邊式子關(guān)于單調(diào)遞減且時，左邊
16．（15分）
如圖，已知為等腰梯形，點為以為直徑的半圓弧上一點，平面平面，為的中點，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）取的中點，連接，，則且，
又且，且．
為平行四邊形，．
又平面，平面，平面．
（2）取中點為，連接，因為為等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
過點作直線的垂線交于點，
分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
為直徑，，，，．
在等腰梯形中，，，所以，
，，，，，
，，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，，
令則，．，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
設(shè)平面與平面所成的角為，
則，
平面與平面所成角的余弦值為．
17．（15分）
在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié)．每次信號只發(fā)送0和1中的某個數(shù)字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為，；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為．假設(shè)每次信號的傳輸相互獨立．
（1）當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為，求的最小值；
（2）當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量（中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令），若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為
【解析】（1）由題可知，
因為，所以當(dāng)時，的最小值為．
（2）由題設(shè)知，的可能取值為1，2，3，4．
①當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0101或1010．
因此，，
②當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為
0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此，，
③當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0000，或1111．
因此，．
所以的分布列為
因此，的數(shù)學(xué)期望．
18．（17分）
已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點與右頂點且與圓相切．
（1）求的方程．
（2）過上一點作圓的兩條切線，（均不與坐標(biāo)軸垂直），，與的另一個交點分別為，．證明：
①直線，的斜率之積為定值；
②．
【答案】（1）；（2）① 證明見解析；②證明見解析
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．依題意，離心率，則，①．
直線，即，由題可知②．
聯(lián)立①②，解得，，故的方程為．
（2）（i）設(shè)過點且與圓相切的直線的方程為，
則，整理得，
記直線，的斜率分別為，，
則，為定值．
（ii）由（i）的過程可知直線，
聯(lián)立方程得
則有，故．
直線，同理可得．
故
，
則．
19．（17分）
已知數(shù)列滿足，．
（1）已知，
①若，求；
②若關(guān)于m的不等式的解集為M，集合M中的最小元素為8，求的取值范圍；
（2）若，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）①或2或3或4 ；②；（2）存在；
【解析】（1）①，∴或2，
而．若，∴或2．
若，∴或4，經(jīng)檢驗均符合．∴或2或3或4．
②由條件知，
∴，∴，
或，或或或
或，，，…，，
…
或，…，，或，…或
∴．
（2）或，，…，，，
令，，，∴，
當(dāng)時，不是自然數(shù)，
所以當(dāng)時，，，
∴存在這樣的k，．1
2
3
4

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