（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，可得，，
可得，所以.故選：C.
2．橢圓的離心率為，則（ ）
A．2B．1C．D．2或
【答案】D
【解析】由于橢圓方程為，
當(dāng)時(shí)，則，其離心率為：，解得，
當(dāng)時(shí)，則，其離心率為：，解得，
綜上，的值為2或.故選：D.
3．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因?yàn)?，故兩式相減得：，
即，則，
又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，故，即，故選：B
4．已知直線m，n與平面，、，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，，則
【答案】B
【解析】對(duì)于A，若，，則可能相交或平行，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，過(guò)m作平面γ和平面交于n，則，
而，故，又，故，B正確；
對(duì)于C，若，，則，又，則可能有，也可能有，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，，，則可能或或相交，D錯(cuò)誤；故選：B
5．將甲?乙?丙?丁4個(gè)人全部分配到三個(gè)地區(qū)工作，每個(gè)地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為（ ）
A．36種B．24種C．18種D．16種
【答案】A
【解析】依題意，三個(gè)地區(qū)中必有一個(gè)地區(qū)有2人，
先在甲?乙?丙?丁4個(gè)人中選2個(gè)人有種組合，將這兩個(gè)人捆綁在一起看作一個(gè)元素，
與其他2個(gè)人一起分配到三個(gè)地區(qū)，共有種.故選：A
6．已知是圓外的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)到圓心的距離為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
則，
，
，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)到圓心的距離為.故選：A.
7．已知，則（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】由
或（舍去）.
所以.故選：B
8．已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，，所以，則，
又因?yàn)楹瘮?shù)也是偶函數(shù)，所以，得，
因?yàn)闉闇p函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，
令，得，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集為.故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后到函數(shù)的圖象（如圖所示），則（ ）
A．
B．在上為增函數(shù)
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
D．是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸
【答案】BCD
【解析】根據(jù)平移性質(zhì)，可設(shè)，
由圖象可得，即，解得，
所以，又，所以，即，
對(duì)于A，則，即，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
由正弦函數(shù)單調(diào)性知，在上為增函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?，顯然能取到，不能取到，
所以函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故D正確.故選：BCD
10．已知，，是方程的三個(gè)互不相等的復(fù)數(shù)根，則（ ）
A．可能為純虛數(shù)
B．，，的虛部之積為
C．
D．，，的實(shí)部之和為2
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，其三個(gè)不同的復(fù)數(shù)根為：，，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)為純虛數(shù)，故A正確；
因?yàn)槿齻€(gè)根的虛部分別為1，，，三個(gè)虛部乘積為，故B正確；
根據(jù)模長(zhǎng)定義，，故C不正確；
因?yàn)槿齻€(gè)根的實(shí)部分別為0，1，1，三個(gè)實(shí)部之和為2，故D正確.故選：ABD.
11．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（ ）
A．B．的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱
C．D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)A：令，則有，即，故A正確；
對(duì)B：令，則有，又，故，
令，，則有，故，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：令，則有，即，
則
，故C正確；
對(duì)D：令，則有，即，
則，即，
又，故，
則，故D正確.故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．的展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）
【答案】80
【解析】可看作5個(gè)相乘，有2個(gè)括號(hào)提供，還有3個(gè)括號(hào)都是，
則，系數(shù)為80.
13．在三棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)M在該三棱錐的外接球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則三棱錐的體積最大值為
【答案】
【解析】該三棱錐的外接球O為的中點(diǎn)，下證：
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，所以，
又，即，所以，
即三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn)，球半徑.
點(diǎn)M在該三棱錐的外接球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，
在△中，由正弦定理可得△的外接圓的半徑為，
球心到平面的距離為，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，
，
要使三棱錐的體積最大，只需△的面積最大即可.
在△中由余弦定理可得：，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積取到最大值.
14．已知點(diǎn)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，連接作且與軸交于點(diǎn)，若則的漸近線方程為 ．
【答案】
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，
由，得，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，解得（舍去），所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即，
所以，所以，
所以的漸近線方程為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（13分）
已知函數(shù)．
（1）求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，?br>故所求切線方程為，即．
（2）由（1）知，．
令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．
又，，
因?yàn)?，所以，即在上的值域?yàn)椋?br>16．（15分）
2023年是全面貫徹落實(shí)黨的二十大精神的開(kāi)局之年，也是實(shí)施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵之年，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn)的可喜現(xiàn)象.某省為做好刺梨產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，項(xiàng)目組統(tǒng)計(jì)了全省近5年刺梨產(chǎn)業(yè)綜合產(chǎn)值如下：
年份代碼，綜合產(chǎn)值（單位：億元）
（1）請(qǐng)通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)，推斷與之間的相關(guān)程度；
（若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱.）
（2）求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值.
參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為.
參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）線性相關(guān)性程度很強(qiáng)，理由見(jiàn)解析；（2），2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值為億元.
【解析】（1），，
故
，
故線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；
（2）由（1）可得，
故，
所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，
17．（15分）
如圖所示，半圓柱的軸截面為平面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為一條母線，為的中點(diǎn)，且.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）
【解析】（1）由是直徑可知，則是等腰直角三角形，故，
由圓柱的特征可知平面，又平面，所以，
因?yàn)?，平面，則平面，
而平面，則，
因?yàn)?，則，
所以，，
，所以，
因?yàn)?，，，平面?br>所以平面，又平面，故.
（2）由題意及（1）易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，所以，，，
由（1）知平面，故平面的一個(gè)法向量是，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則有，取，可得
設(shè)平面與平面夾角為，
所以，
則平面與平面夾角的余弦值為.
18．（17分）
已知平面上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求的方程；
（2）點(diǎn)為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若恰好為平行四邊形的其中三個(gè)頂點(diǎn)，且該平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上，記平行四邊形的面積為，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】（1）解法一：設(shè)，易知，
根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)得，所以的方程為.
解法二：因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小，
所以點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，
由拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以的方程為.
（2）證明：設(shè)，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，
因?yàn)槠叫兴倪呅蜯ANB對(duì)角線的交點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上，
所以線段的中點(diǎn)在直線上，
設(shè)，所以，所以，
又，所以，即.
設(shè)直線的方程為，即，
聯(lián)立整理得，
所以，解得，，
則
.
又點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
記，
因?yàn)?，所以，所?
令，則，
令，可得，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，
即，所以.
19．（17分）
設(shè)集合，其中．若對(duì)任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．
（1）設(shè)，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；
（ii）若（c為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）是“集”;不是“集”，理由見(jiàn)解析；（2）（i）；（ii）
【解析】（1）是“集”;不是“集”.
理由：當(dāng)或時(shí)，只要橫縱坐標(biāo)相等即可，則滿足，
當(dāng)，則；當(dāng)，則；
當(dāng)，則；當(dāng)，則；
綜上是“集”.
對(duì)于向量，若存在，使得.
則，故中必有一個(gè)為，此時(shí)另一個(gè)為或，顯然不符合，則不是“集”.
（2）(i)因?yàn)橹械脑赜尚〉酱笈帕谐傻炔顢?shù)列，則該等差數(shù)列的首項(xiàng)為，
公差為2，故.
則向量的坐標(biāo)中必含，設(shè)另一坐標(biāo)為，
則或.
所以或，
故或，
所以或，所以或，
所以或即.
此時(shí)，不滿足;
或，滿足;
所以只可能為.
經(jīng)檢驗(yàn)是“集”，所以.
(ii)設(shè).
由，得，由條件可變形為.
設(shè)集合
設(shè)集合則是“集”當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
因?yàn)槭侵形ㄒ回?fù)數(shù)，共個(gè)數(shù)，
所以也只有個(gè)數(shù).
由于，所以，已有個(gè)數(shù).
對(duì)以下三角數(shù)陣：
注意到，所以.
又為常數(shù))，故有窮數(shù)列為等比數(shù)列，
且通項(xiàng)公式.年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼
1
2
3
4
5
綜合產(chǎn)值
1.5
2
3.5
8
15

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