?專題13 有理數(shù)的乘方

1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義.
2.會(huì)求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪.
3.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算（含乘方）順序和法則.
4.感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

1. 有理數(shù)的乘方
1） 乘方的概念：求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．
一般地，個(gè)相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；
在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當(dāng)看作的次方的結(jié)果時(shí)，讀作的次冪．
注意：
①乘方運(yùn)算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；
②乘方運(yùn)算，代表的是多個(gè)相同因數(shù)相乘，要與乘法運(yùn)算區(qū)分開來；
③在運(yùn)算時(shí)要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；
如：，其底數(shù)為，；
，其底數(shù)為，；
，其底數(shù)為，；，其底數(shù)為，；
，帶分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運(yùn)算．
2．有理數(shù)指數(shù)冪的符號(hào)規(guī)律：
1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．
注意:除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1.


【題型一】有理數(shù)乘方的概念
【解題技巧】有理數(shù)乘方的概念
求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．
即有：.在中，叫做底數(shù)， n叫做指數(shù).
【典題1】（2021·天津市靜海區(qū)七年級(jí)期中）的底數(shù)是____;指數(shù)是 _______;結(jié)果是 ______.
【答案】???? -3???? 3???? ﹣27
【分析】根據(jù)乘方的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
∴底數(shù)為-3，指數(shù)為3，結(jié)果為﹣27，故答案為-3，3，﹣27．
【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的意義，一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，即a·a·a·…·a計(jì)作an，這種求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．
【典題2】（2021·興化市七年級(jí)期中）對(duì)于與，下列說法正確的是???
A．它們的意義相同 B．它們的結(jié)果相等
C．它們的意義相同，結(jié)果相等 D．它們的意義不同，結(jié)果不相等
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方表示的意義，根據(jù)有理數(shù)的乘方表示的意義，即可求得答案．
【詳解】解：表示的相反數(shù)，結(jié)果是，表示的4次方，結(jié)果是，
因此二者意義不同，結(jié)果也不相同，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
【變式練習(xí)】
1. （2021·浙江七年級(jí)單元測(cè)試）下列說法正確的是（ ）
A．的底數(shù)是 B．讀作：2的3次方 C．27的指數(shù)是0 D．負(fù)數(shù)的任何次冪都是負(fù)數(shù)
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義解答．
【詳解】解：A、-23的底數(shù)是2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、23讀作：2的3次方，故本選項(xiàng)正確；
C、27的指數(shù)是1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，要知道，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)．
2．（2021·湖南常德·七年級(jí)期中）表示的意義是（???????）
A．個(gè)相乘的積 B．個(gè)相乘的積 C．乘以 D．個(gè)相加
【答案】B
【分析】根據(jù)乘方的意義即可求解；
【詳解】解：表示的意義表示個(gè)相乘的積，故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考察有理數(shù)乘方的意義：，熟練掌握乘方的意義的解題的關(guān)鍵
3．（2021·浙江寧波·七年級(jí)期中）對(duì)于（﹣4）3和﹣43，下列說法正確的是（　?。?br /> A．底數(shù)相同，指數(shù)相同 B．底數(shù)不同，指數(shù)不同
C．底數(shù)相同，運(yùn)算結(jié)果不同 D．底數(shù)不同，運(yùn)算結(jié)果相同
【答案】D
【分析】根據(jù)冪的性質(zhì)判斷即可；
【詳解】由（﹣4）3和﹣43可知：指數(shù)相同，底數(shù)不同，
，，運(yùn)算結(jié)果相同；故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．

【題型二】有理數(shù)乘方的運(yùn)算
【解題技巧】有理數(shù)乘方的運(yùn)算
（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；
（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；
（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值．
【典題1】（2021·湖北襄陽市·九年級(jí)二模）的倒數(shù)是（ ）
A．－4 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方和倒數(shù)定義計(jì)算即可．
【詳解】解：，的倒數(shù)為－4；故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方和倒數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是明確倒數(shù)的定義，熟練運(yùn)用相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算．
【典題2】（2022·河北邯鄲·三模）計(jì)算：（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和乘方運(yùn)算求解即可．
【詳解】解：=2m+3n．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的乘方，數(shù)學(xué)常識(shí)，注意分辯．
【變式練習(xí)】
1．（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，即可求得
【詳解】解：，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算法則．
2.（2021·山東德州市·七年級(jí)期中）計(jì)算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；
【詳解】，故答案選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的定義，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

【題型三】乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律
【解題技巧】乘方的符號(hào)規(guī)律：
1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．
【典題1】（2021·江蘇蘇州市·七年級(jí)月考）互為相反數(shù)，下列各數(shù)中，一定互為相反數(shù)的一組為（ ）
A．與 B．與 C．與（為正整數(shù)） D．與（為正整數(shù)）
【答案】D
【分析】依據(jù)相反數(shù)的定義以及有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、a，b互為相反數(shù)，則a2＝b2，故A錯(cuò)誤；
B、a，b互為相反數(shù)，則a3＝?b3，故a3與b5不一定互為相反數(shù)，故B錯(cuò)誤；
C、a，b互為相反數(shù)，則a2n＝b2n，故C錯(cuò)誤；
D、a，b互為相反數(shù)，由于2n＋1是奇數(shù)，則a2n＋1與b2n＋1互為相反數(shù)，故D正確；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)和乘方的意義，明確只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，還要熟練掌握互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的偶數(shù)次方相等，奇次方還是互為相反數(shù)．
【典題2】（2021·浙江寧波·七年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，結(jié)果相等的是（???????）
A．52與25 B．﹣22與（﹣2）2 C．﹣34與（﹣3）4 D．（﹣1）2與（﹣1）20
【答案】D
【分析】A、根據(jù)冪的定義化簡(jiǎn)即可判定；B、根據(jù)冪的定義化簡(jiǎn)即可判定；C、根據(jù)冪的定義計(jì)算即可判定；D、根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可判定．
【詳解】解：A. 52=25，25=32，故不符合題意；B. ﹣22=-4，（﹣2）2=4，故不符合題意；???????
C. ﹣34=-81，（﹣3）4=81，故不符合題意；?D. （﹣1）2=1，（﹣1）20=1，故符合題意．故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的定義和有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)的定義和法則是解題的關(guān)鍵．
【變式練習(xí)】
1. （2021·平山縣外國語中學(xué)七年級(jí)期末）當(dāng)a＜0時(shí)，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)即可解答．
【詳解】解：當(dāng)a＜0時(shí)，a2021是負(fù)數(shù)，故①正確；
(-a)2021＝-a2021， a2021=-(-a)2021，故②正確，④錯(cuò)誤；
a2020=(-a)2020，故③正確；綜上所述，①②③正確．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律：一個(gè)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．
2．（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個(gè)數(shù)為（???????）
①與；②與；③與；④與
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義逐一解答．
【詳解】解：a，b互為相反數(shù)，則，即與不互為相反數(shù)；
a，b互為相反數(shù)，則，故，即與互為相反數(shù)：
a，b互為相反數(shù)，則，，即與互為相反數(shù)，與不互為相反數(shù)，
則互為相反數(shù)的有②③故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)的意義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

【題型四】 有理數(shù)乘方的簡(jiǎn)算
【解題技巧】性質(zhì)：
【典題1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語學(xué)校期中）計(jì)算的結(jié)果是（　?。?br /> A．9 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：原式=故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)乘方的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【典題2】（2021·湖南株洲市·七年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)乘方的意義進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，再根據(jù)有理數(shù)乘法計(jì)算即可．
【詳解】解：，==，
=，=，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練依據(jù)乘方的意義進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．
【變式練習(xí)】
1．（2021·山東淄博·期中）等于（???????）
A． B．8 C．0.125 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：．故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·七年級(jí)）計(jì)算的結(jié)果是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將改寫成，再根據(jù)有理數(shù)乘方與乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：原式



．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

【題型五】含乘方的混合運(yùn)算
【解題技巧】有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．
【典題1】（2022·全國七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：
（1）????（2）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．
【答案】（1）28.（2）-12
【分析】（1）先乘方，再加減即可；（2）先乘方，再計(jì)算中括號(hào)，最后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可.
【詳解】(1)



(2)



【典題2】（2022·全國·七年級(jí)）計(jì)算：
(1)； (2)﹣23÷8﹣×（﹣2）2；
(3)﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2； (4)[（﹣2）3+]÷4+（﹣）．
【答案】(1)1；(2)﹣2；(3)﹣2；(4)
【分析】（1）運(yùn)用乘法分配律，計(jì)算求值即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加減；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加減；（4）先算乘方，再算中括號(hào)里的，再算除法，再算加法.
(1)解：原式=
＝6+9﹣14
＝1；
(2)解：原式=
＝﹣1﹣1
＝﹣2；
(3)解：原式=﹣16+（﹣4）2﹣2×1
＝﹣16+16﹣2
＝﹣2；
(4)解：原式=
＝
＝
＝.
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算法則：先乘方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左往右進(jìn)行；如果有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．
【變式練習(xí)】
1．（2021·廣東梅州·七年級(jí)期末）計(jì)算：
【答案】17
【分析】首先計(jì)算乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可．
【詳解】解：
＝﹣1＋1＋9－（﹣8）
＝﹣1＋1＋9＋8
＝17
【點(diǎn)睛】此題主要考查了乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇七年級(jí)月考）計(jì)算：
（1）， （2），
（3）， （4）
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）按照有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先算括號(hào)內(nèi)的，然后在進(jìn)行加減混合運(yùn)算即可；
（3）先算除法和乘方，然后按照有理數(shù)加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（4）先利用乘法分配律，然后根據(jù)有理數(shù)加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】（1）原式=
（2）原式=
=
=
（3）原式=
=
=
（4）原式=
=
=
【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算，乘法運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算法則是本題的關(guān)鍵．

【題型六】有理數(shù)乘方的應(yīng)用（二進(jìn)制與末位數(shù)字問題）
【解題技巧】此類題型通常乘方運(yùn)算種的冪比較大，且無簡(jiǎn)單計(jì)算方法，直接計(jì)算幾乎無法進(jìn)行。但此類題型也并非需要求解出最終的結(jié)果，往往只需要求解這組數(shù)的末尾數(shù)字。因此，在解這類時(shí)，我們只需要關(guān)注末位數(shù)字，通過多計(jì)算幾組末尾數(shù)字，找出末尾數(shù)字的變化規(guī)律。最后依舊變化規(guī)律，分析出最終結(jié)果。
【典題1】（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．請(qǐng)根據(jù)圖，計(jì)算孩子自出生后的天數(shù)是______天．

【答案】109
【分析】類比于現(xiàn)在我們的十進(jìn)制“滿十進(jìn)一”計(jì)算．
【詳解】解：，
故答案為：109．
【點(diǎn)睛】本題是以古代“結(jié)繩計(jì)數(shù)”為背景，按滿七進(jìn)一計(jì)算自孩子出生后的天數(shù)，運(yùn)用了類比的方法，考查有理數(shù)乘方應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中的點(diǎn)列式計(jì)算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面也考查了學(xué)生的思維能力．
【典題2】（2022·全國·七年級(jí)單元測(cè)試）觀察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32021的個(gè)位數(shù)字是（　　）
A．3 B．9 C．7 D．1
【答案】A
【分析】從運(yùn)算的結(jié)果可以看出尾數(shù)以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字一循環(huán)，用2019除以4，余數(shù)是幾就和第幾個(gè)數(shù)字相同，由此解決問題即可．
【詳解】解：已知31=3，末位數(shù)字為3，?32=9，末位數(shù)字為9，??33=27，末位數(shù)字為7，????????????????????
34=81，末位數(shù)字為1，35=243，末位數(shù)字為3，?36=729，末位數(shù)字為9，??
37=2187，末位數(shù)字為7，???38=6561，末位數(shù)字為1，????…????????????????????
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，????????????????????
又2021÷4=505…1， 所以32019的末位數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是3．???故選:A．
【點(diǎn)睛】此題考查尾數(shù)特征及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式練習(xí)】
1．（2022·山東聊城·七年級(jí)期末）生活中常用的十進(jìn)制是用0~9這十個(gè)數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：，；計(jì)算機(jī)也常用十六進(jìn)制來表示字符代碼，它是用0~F來表示0~15，滿十六進(jìn)一，它與十進(jìn)制對(duì)應(yīng)的數(shù)如表：
十進(jìn)制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六進(jìn)制
0
1
2
…
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
…
例：十六進(jìn)制2B對(duì)應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，10C對(duì)應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，那么十六進(jìn)制中14E對(duì)應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為（???????）
A．328 B．362 C．338 D．334
【答案】D
【分析】根據(jù)題干十六進(jìn)制與十進(jìn)制的運(yùn)算方法求解．
【詳解】解：由題意得．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是正確理解十六進(jìn)制與十進(jìn)制的關(guān)系．
2.（2021·山東濰坊市·七年級(jí)期末）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是__________．
【答案】8
【分析】先根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字是以為一循環(huán)，再根據(jù)即可得．
【詳解】因?yàn)?，，，，，，…?br /> 所以個(gè)位數(shù)字是以為一循環(huán)，且，
又因?yàn)椋?br /> 所以的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是8，故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的規(guī)律型問題，根據(jù)已知等式正確發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．

【題型七】 有理數(shù)乘方的應(yīng)用（實(shí)際問題）
【解題技巧】此類題型的難點(diǎn)在于分析問題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果。
【典題1】（2021·河南許昌·七年級(jí)期中）一根1m長(zhǎng)的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此第九次后剩下的繩子的長(zhǎng)度為（???????）
A．??????? B． C．??????????????????????????? D．
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的意義即可得出答案．
【詳解】解：一根1m長(zhǎng)的繩子，第1次剪去一半后剩下的是m，
第2次剪去剩下的一半后剩下的長(zhǎng)度是1×（）2（m），
第3次剪去剩下的一半后剩下的長(zhǎng)度是1×（）3（m），依此類推，
第9次剪去剩下的一半后剩下的長(zhǎng)度是1×（）9=（）9（m），故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方的計(jì)算，正確根據(jù)實(shí)際條件表示出第9次后剩下的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵．
【典題2】（2022·湖北黃岡·九年級(jí)）假期里王老師有一個(gè)緊急通知，要用電話盡快通知給50個(gè)同學(xué)，假設(shè)每通知一個(gè)同學(xué)需要1分鐘時(shí)間，同學(xué)接到電話后也可以相互通知，那么要使所有同學(xué)都接到通知最快需要的時(shí)間為（　?。?br /> A．8分鐘 B．7分鐘 C．6分鐘 D．5分鐘
【答案】C
【詳解】第一分鐘通知到1個(gè)學(xué)生；第二分鐘最多可通知到1+2＝3個(gè)學(xué)生；第三分鐘最多可通知到3+4＝7個(gè)學(xué)生；第四分鐘最多可通知到7+8＝15個(gè)學(xué)生；第五分鐘最多可通知到15+16＝31個(gè)學(xué)生；第六分鐘最多可通知到31+32＝63個(gè)學(xué)生，即可得到至少需要的時(shí)間為6分鐘．
【解答】解：第一分鐘通知到1個(gè)學(xué)生；第二分鐘最多可通知到1+2＝3個(gè)學(xué)生；
第三分鐘最多可通知到3+4＝7個(gè)學(xué)生；第四分鐘最多可通知到7+8＝15個(gè)學(xué)生；
第五分鐘最多可通知到15+16＝31個(gè)學(xué)生；第六分鐘最多可通知到31+32＝63個(gè)學(xué)生；
答：至少用6分鐘．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方，解決本題的關(guān)鍵是得到每一分鐘后，即知道消息的總?cè)藬?shù)．
【變式練習(xí)】
1．（2021·浙江湖州·七年級(jí)期中）小王在word文檔中設(shè)計(jì)好一張A4規(guī)格的表格根據(jù)要求，這種規(guī)格的表格需要設(shè)計(jì)1000張，小王欲使用“復(fù)制一粘貼”（用鼠標(biāo)選中表格，右鍵點(diǎn)擊“復(fù)制”，然后在本word文檔中“粘貼”）的辦法滿足要求．請(qǐng)問：小王需要使用“復(fù)制一粘貼”的次數(shù)至少為（　?。?br /> A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得出第一次復(fù)制得2張，第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，即可得出規(guī)律，第九次復(fù)制最多得29=512張，第十次復(fù)制最多得210=1024張，問題得解．
【詳解】解：由題意得第一次復(fù)制得2張，第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，
第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，第四次復(fù)制最多得2×2×2×2=24=16張，……，
第九次復(fù)制最多得29=512張，第十次復(fù)制最多得210=1024張，
1024＞1000，所以至少需要10次．故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)題意得到乘方運(yùn)算規(guī)律，并正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇南通·七年級(jí)階段練習(xí)）某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每半小時(shí)分裂一次（由一個(gè)分裂成兩個(gè)），經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，這種細(xì)菌由兩個(gè)分裂成________個(gè)．
【答案】32
【分析】根據(jù)題意求出這種細(xì)菌分裂的周期，然后用2除以周期得到細(xì)菌分裂的次數(shù)，然后利用乘方即2的4次方即可求出經(jīng)過2小時(shí)細(xì)菌分裂的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：解：由細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每半小時(shí)分裂一次（由一個(gè)分裂為兩個(gè)），
得到細(xì)菌分裂的周期為半小時(shí)即0.5小時(shí)，∴經(jīng)過兩小時(shí)，這種細(xì)菌分裂了4次，
故經(jīng)過兩小時(shí)，這種細(xì)菌由兩個(gè)可分裂繁殖成2×24=32個(gè)．故答案為：32．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，細(xì)菌分裂1次，細(xì)菌個(gè)數(shù)為21；分裂2次，細(xì)菌個(gè)數(shù)為22；…；分裂n次，細(xì)菌個(gè)數(shù)為2n．學(xué)生做題時(shí)總結(jié)出此規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．










1．（2021·河北九年級(jí)二模）表示的意義是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根據(jù)乘方的意義解答即可．
【詳解】解：表示的意義是，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的意義，一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，即a·a·a·…·a計(jì)作an，這種求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．
2．（2020·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）a，b互為相反數(shù)，，n為自然數(shù)，則下列敘述正確的有（ ）個(gè)
①互為相反數(shù) ②互為相反數(shù)
③互為相反數(shù) ④互為相反數(shù)
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義，負(fù)數(shù)的偶次方為正，奇次方為負(fù)，正數(shù)的任意次方都為正，再根據(jù)相反數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】解：∵a，b互為相反數(shù)，a≠0，n為自然數(shù)，∴-a，-b互為相反數(shù)，故①說法正確；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an與bn互為相反數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an與bn相等，故②說法錯(cuò)誤；
a2n與b2n相等，故③說法錯(cuò)誤；a2n+1，b2n+1互為相反數(shù)，故④說法正確；所以敘述正確的有2個(gè)．故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了相反數(shù)以及有理數(shù)的乘方，用到的知識(shí)點(diǎn)是正數(shù)的任何次是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)．
3．（2021·浙江金華市·七年級(jí)期中）所得的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算將原式化為，進(jìn)一步即可求出答案．
【詳解】===，故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·甘肅白銀市·七年級(jí)期末）觀察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出22020的末位數(shù)字是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】觀察算式可知：末位數(shù)字每4個(gè)算式是一個(gè)周期，用2020除以4，正好整除，即可求出22020的末位數(shù)字．
【詳解】解：由題意可知，末位數(shù)字每4個(gè)算式是一個(gè)周期，末位數(shù)字分別為2、4、8、6，
∵2020÷4＝505，∴22020的末位數(shù)字與24的末位數(shù)字相同，為6．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律問題，根據(jù)題意找出末位數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
5．（2021·江蘇省初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均為正整數(shù)，如果將 mn 進(jìn)行如圖所示的“分解”，那么下列四個(gè)敘述中正確的有（ ）

①在 25 的“分解”結(jié)果是 15和17兩個(gè)數(shù)．②在 42 的“分解”結(jié)果中最大的數(shù)是9．
③若 m3 的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是 23，則 m＝5．④若 3n 的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是 79，則 n＝5．
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)所給的例子的分解方法中找出分解的規(guī)律,其中最小的數(shù)是,從而可判斷出②④正確.
【解析】①在25的“分解”中最大的數(shù)是+1=17，所以這個(gè)敘述正確；
②在43的“分解”中最小的數(shù)是；所以這個(gè)正確；
③若53的“分解”中最小的數(shù)是21，所以這個(gè)敘述是錯(cuò)誤的 ；

④若3n的“分解”中最小的數(shù)是-2=79 ,解得n=5，故這個(gè)是正確的.
綜上所述，共有兩個(gè)正確的結(jié)論.故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算和規(guī)律總結(jié)，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
6．（2021·福建省初一期中）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄采集到的野果數(shù)量，由圖可知，她一共采集到的野果個(gè)數(shù)為（　　）

A．3123 B．3214 C．3258 D．3236
【答案】D
【分析】從右到左表示滿七進(jìn)一的數(shù)為：第5位上的數(shù)×74+第4位上的數(shù)×73+第3位上的數(shù)×72+第2位上的數(shù)×7+第1位上的數(shù)．
【解析】她一共采集到的野果個(gè)數(shù)為1×74+2×73+3×72+0×7+2＝3236，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)字表示事件和有理數(shù)的運(yùn)算．本題是以古代“結(jié)繩計(jì)數(shù)”為背景，按滿七進(jìn)一計(jì)算自采集到的野果數(shù)量，運(yùn)用了類比的方法，根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)列式計(jì)算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面也考查了學(xué)生的思維能力．
7. （2021·西安同仁中學(xué)初三模擬）利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別.某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.將第一行數(shù)字從左到右依次記為，，，，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為.如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號(hào)為，表示該生為5班學(xué)生.表示6班學(xué)生的識(shí)別圖案是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)班級(jí)序號(hào)的計(jì)算方法一一進(jìn)行計(jì)算即可.
【解析】A. 第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，1，0,序號(hào)為，表示該生為10班學(xué)生.
B. 第一行數(shù)字從左到右依次為0，1， 1，0，序號(hào)，表示該生為6班學(xué)生.
C. 第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，序號(hào)，表示該生為9班學(xué)生.
D. 第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，1，序號(hào)為，表示該生為7班學(xué)生. 故選B.
【點(diǎn)睛】屬于新定義題目，讀懂題目中班級(jí)序號(hào)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.
8．（2021·湖北荊州·七年級(jí)期中）計(jì)算＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)乘方的意義求解即可
【詳解】根據(jù)乘方的意義，分子為，分母為，即故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的意義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵．
9．（2021·江蘇蘇州市·七年級(jí)月考）計(jì)算等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原式利用同底數(shù)冪的乘法，以及積的乘方逆運(yùn)算法則變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：原式=（0.25×4）2007×（-4）=-4．故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
10．（2022·福建三明·七年級(jí)期末）“幻方”最早記載于春秋時(shí)期的《大戴禮》中，現(xiàn)將1、2、3、4、5、7、8、9這8個(gè)數(shù)字填入如圖1所示的“幻方”中，使得每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等．現(xiàn)有如圖2所示的“幻方”，則的值是（???????）

A． B． C．8 D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)：每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，可得：x+2=y+（-1），m+（-1）=n+2，據(jù)此分別求出x-y，m-n的值各是多少，即可求出（x-y）m-n的值是多少．
【詳解】解：根據(jù)題意，可得：x+2=y+（-1），m+（-1）=n+2，
∴x-y=-3，m-n=3，∴（x-y）m-n=（-3）3=-27．故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)加法和有理數(shù)乘方的運(yùn)算方法，以及幻方的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．
11．（2021·山西晉中·七年級(jí)期中）蟑螂對(duì)我們來說是非常熟悉的，它之所以被稱為是打不死的小強(qiáng)，是因?yàn)樗姆敝乘俣确浅ｓ@人．某種蟑螂繁衍后代的數(shù)量為上一代數(shù)量的11倍，也就是說，如果它的始祖（第一代）有11只，則下一代就會(huì)有121只，以此類推，這種蟑螂第10代的只數(shù)是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答即可；
【詳解】∵第一代有11只，則下一代就會(huì)有121只，
以此類推，可知蟑螂第10代的只數(shù)是；故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，利用乘方的定義計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算，經(jīng)過有限次的步驟，必然進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．如果對(duì)于正整數(shù)m，經(jīng)過n步變換，第一次到達(dá)1，就稱為n步“雹程”．如取，由上述運(yùn)算法則得出：，共需經(jīng)過7個(gè)步驟變成1，得．則下列命題錯(cuò)誤的是（???????）
A．當(dāng)時(shí)， B．若，則m只能是5
C．若，則m只能是4 D．隨著m的增大，n不一定也增大
【答案】B
【分析】根據(jù)“冰雹猜想”進(jìn)行推理即可得到答案．
【詳解】解∶A．當(dāng)時(shí)，則7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，
∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．若，則m→16→8→4→2→1，∴m既可能是32，也可能是5，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
C．若，則m→2→1，∴m只能是4，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
D．當(dāng)m=3時(shí)，n=7；當(dāng)m=4時(shí)，n=2，∴隨著m的增大，n不一定也增大故選∶B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理，審清題意，理解“冰雹猜想”的概念是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·上海·位育中學(xué)期中）的底數(shù)是 ____________ ．
【答案】6
【分析】根據(jù)冪的定義解答即可：在中，a叫底數(shù)，n叫做指數(shù)；
【詳解】解：的底數(shù)是6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了與兩者的區(qū)別：的底數(shù)是-a，表示n個(gè)-a相乘的積；底數(shù)是a，表示n個(gè)a相乘的積的相反數(shù)．
14．（2021·河南省初一期中）一質(zhì)點(diǎn)P從距原點(diǎn)1個(gè)單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)處，第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到O的中點(diǎn)處，第三次從點(diǎn)跳動(dòng)到O的中點(diǎn)處，如此不斷跳動(dòng)下去，則第5次跳動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為_____________.

【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可得：每次跳動(dòng)后，到原點(diǎn)O的距離為跳動(dòng)前的一半．
【解析】依題意可知，第n次跳動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為，
∴第5次跳動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為.故答案為．
【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分
發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．
18．（2021·廣西柳州市·九年級(jí)三模）計(jì)算：（﹣3）2×（）3﹣（﹣9＋3）．
【答案】 ．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法和加減法解答本題即可．
【詳解】解：原式===
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
19．（2021·廣西南寧市·南寧二中九年級(jí)三模）計(jì)算：．
【答案】-36
【分析】先計(jì)算乘方、絕對(duì)值、乘法運(yùn)算，再計(jì)算加減運(yùn)算，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：
＝
＝
＝-30-6
=-36
【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
15．（2021·湖南廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)）計(jì)算：0.252019×42020＝_____．
【答案】4
【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可，積的乘方，等于每個(gè)因式乘方的積．
【詳解】解：0.252019×42020＝0.252019×42019×4＝（0.25×4）2019×4＝12019×4＝4．故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方法則逆用，熟練掌握積的乘方法則是解答本題的關(guān)鍵.積的乘方等于各因數(shù)乘方的積，即(ab)m=ambm（m為正整數(shù)）.?特別注意運(yùn)算過程中指數(shù)的變化規(guī)律,靈活運(yùn)用法則的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)．
16．（2021·浙江溫州市·七年級(jí)期中）如圖所示的計(jì)算流程圖中，輸入的x值為整數(shù)，若要使輸出結(jié)果最小，則應(yīng)輸入x的值為_____．

【答案】-6
【分析】先將3x2+x+1配方得原式=3（x+）2+，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得要使輸出結(jié)果最小，應(yīng)輸入x的值．
【詳解】解：3x2+x+1＝3（x+）2+，∵輸入的x值為整數(shù)，要使輸出結(jié)果最小，
∴3（x+）2+＞100，即（x+）2＞＝33，
∴應(yīng)輸入x的值為﹣6．故答案為：﹣6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方的非負(fù)性，利用配方法將式子轉(zhuǎn)化為平方的形式，然后利用平方的非負(fù)性的到式子的最小值，進(jìn)一步判斷x的取值．
17．（2021·蘇州新草橋中學(xué)七年級(jí)月考）大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如，若分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是75，則的值是____．
【答案】9
【分析】根據(jù)底數(shù)是相應(yīng)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)，然后求出75是從3開始的奇數(shù)的序數(shù)為37，再求出第37個(gè)奇數(shù)的底數(shù)即可得解．
【詳解】解：23有3、5共2個(gè)奇數(shù)，33有7、9、11共3個(gè)奇數(shù)，43有13、15、17、19共4個(gè)奇數(shù)，
∵2×37+1=75，∴75是從3開始的第37個(gè)奇數(shù)，
∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
∴m3“分裂”后，其中有一個(gè)奇數(shù)是75，則m的值9．故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，判斷出底數(shù)是相應(yīng)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
20．（2021·山東聊城市·七年級(jí)月考）計(jì)算：
（1）； （2）；
【答案】（1）1；（2）6．
【分析】（1）先計(jì)算有理數(shù)的平方，去絕對(duì)值，再將除法改為乘法，約分，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
（2）利用乘法分配律展開，約分，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】（1）



．
（2）


．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
21．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)期末）計(jì)算：
（1）． （2）．
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）直接約分計(jì)算即可；（2）將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計(jì)算；
（3）先算乘方和括號(hào)，再算乘除，最后算加減；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加減．
【詳解】解：（1）
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=；
（4）
=
=
=
=
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．

22．（2021·漣水金城外國語學(xué)校初一期中）規(guī)定兩數(shù)之間的一種運(yùn)算，記作：如果， 那么．例如：因?yàn)椋?所以．
（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：，小明給出了如下的證明：
設(shè)，則，即，所以，即，所以，
請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：
【答案】（1）3；2；3；（2）見解析
【分析】（1）分別計(jì)算左邊與右邊式子，即可做出判斷；
（2）設(shè)（3，4）=x，（3，5）=y，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．
【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2，
（-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案為：3；2；3；
（2）設(shè)（3，4）=x，（3，5）=y， 則3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x?3y=20，
∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．
23．（2020·浙江七年級(jí)開學(xué)考試）我們平時(shí)用的是十進(jìn)制數(shù)，例如，，表示十進(jìn)制數(shù)要用個(gè)數(shù)字：，，，…，．在電子計(jì)算機(jī)中使用的是二進(jìn)制，只用兩個(gè)數(shù)字：，．例如：在二進(jìn)制中，等于十進(jìn)制的，，等于十進(jìn)制的．請(qǐng)你計(jì)算一下：
（1）二進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)多少？
（2）仿照二進(jìn)制的說明與算法，請(qǐng)你計(jì)算一下，八進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】根據(jù)十進(jìn)制中的數(shù)與二進(jìn)制中的數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的方法計(jì)算．
【詳解】解：（1）．
答：二進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)是．
（2）．
答：八進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)是．
【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵在于閱讀材料，明確十進(jìn)制與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)化．
24. （2021·重慶市大坪中學(xué)校七年級(jí)月考）閱讀材料，解決問題：由，，，，，，，，．．．．．．不難發(fā)現(xiàn)3的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以3、9、7、1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得到：因?yàn)?，所以個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為1；因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3．
（1）請(qǐng)你仿照材料，分析求出的個(gè)位數(shù)字及的個(gè)位數(shù)字；
（2）請(qǐng)?zhí)剿鞒龅膫€(gè)位數(shù)字；
（3）請(qǐng)直接寫出的個(gè)位數(shù)字．
【答案】（1）2；（2）3；（3）1；
【分析】（1）仿照材料內(nèi)容，得到規(guī)律，7的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以7、9、3、1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，8的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以8、4、2、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得出；
（2）仿照材料內(nèi)容，得到規(guī)律，發(fā)現(xiàn)2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字以2、4、8、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，即可求得；（3）仿照材料內(nèi)容，82018個(gè)位數(shù)字是4，22018的個(gè)位數(shù)字是4，32018的個(gè)位數(shù)字是9，即可求得；
【詳解】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807…
發(fā)現(xiàn)7的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以7、9、3、1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得出：
∵799＝74×24+3∴799的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3
由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…發(fā)現(xiàn)8的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以8、4、2、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得出：
∵899＝84×24+3∴899的個(gè)位數(shù)字與83的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為2
（2）由于21=2，22=4，23=8，24=16，25=32…，發(fā)現(xiàn)2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字以2、4、8、6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可知22019=2504×4+3與23的個(gè)位數(shù)子相同，22019的個(gè)位數(shù)字是8 , 根據(jù)（1）可知72019的個(gè)位數(shù)字是3, 82019的個(gè)位數(shù)字是2 ∴22019＋72019＋82019的個(gè)位數(shù)字是3；
(3) 據(jù)前面的分析可知82018=8504×4+2與82的個(gè)位數(shù)字相同，82018個(gè)位數(shù)字是4；
22018=2504×4+2與22的個(gè)位數(shù)字相同，22018的個(gè)位數(shù)字是4；
32018=3504×4+2與22的個(gè)位數(shù)字相同，32018的個(gè)位數(shù)字是9；
∴ 82018－22018－32018的個(gè)位數(shù)字是14-4-9==1．
【點(diǎn)睛】本題為仿照材料找規(guī)律的題目，主要考查了理解和觀察能力．
25．（2021·湖北孝感市·七年級(jí)期末）閱讀材料：求的值.
解：設(shè)
將等式兩邊同時(shí)乘以2，得

將下式減去上式，得
即
請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)M=，將等式兩邊同時(shí)乘以3，然后按照材料中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；（2）設(shè)N=，將等式兩邊同時(shí)乘以5，然后按照材料中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.
【詳解】解：（1）根據(jù)材料，設(shè)M=①，
∴將等式兩邊同時(shí)乘以3，則3M=②，
由②①，得：，∴；
∴.
（2）根據(jù)材料，設(shè)N=③，
∴將等式兩邊同時(shí)乘以5，④，
由④③，得：，∴；
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是明確題意，運(yùn)用題目中的解題方法，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想解答問題．
26．（2021·湖北孝感市·七年級(jí)期末）閱讀材料：求的值.
解：設(shè)
將等式兩邊同時(shí)乘以2，得

將下式減去上式，得
即
請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)M=，將等式兩邊同時(shí)乘以3，然后按照材料中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；（2）設(shè)N=，將等式兩邊同時(shí)乘以5，然后按照材料中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.
【詳解】解：（1）根據(jù)材料，設(shè)M=①，
∴將等式兩邊同時(shí)乘以3，則3M=②，
由②①，得：，∴；
∴.
（2）根據(jù)材料，設(shè)N=③，
∴將等式兩邊同時(shí)乘以5，④，
由④③，得：，∴；
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是明確題意，運(yùn)用題目中的解題方法，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想解答問題．



相關(guān)試卷

專題10 有理數(shù)的減法-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）：

這是一份專題10 有理數(shù)的減法-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版），文件包含專題10有理數(shù)的減法解析版docx、專題10有理數(shù)的減法原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共47頁， 歡迎下載使用。

專題08 絕對(duì)值-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）：

這是一份專題08 絕對(duì)值-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版），文件包含專題08絕對(duì)值解析版docx、專題08絕對(duì)值原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共34頁， 歡迎下載使用。

專題07 相反數(shù)-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）：

這是一份專題07 相反數(shù)-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版），文件包含專題07相反數(shù)解析版docx、專題07相反數(shù)原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共27頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題06 有理數(shù)的分類與數(shù)軸-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）

專題06 有理數(shù)的分類與數(shù)軸-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）
專題05 正數(shù)和負(fù)數(shù)-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）

專題05 正數(shù)和負(fù)數(shù)-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）
專題02 式與方程-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）

專題02 式與方程-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）
專題01 運(yùn)算技巧-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）

專題01 運(yùn)算技巧-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
小升初專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部