第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第二部分：典型例題剖析
題型一：相互獨立事件的概率
題型二：條件概率
題型三：全概率公式的應(yīng)用
第一部分：知 識 點 精 準(zhǔn) 記 憶
知識點一：相互獨立事件
對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立(mutually independent)，簡稱為獨立．
性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨立
性質(zhì)2：如果事件與相互獨立，則與，與，與也相互獨立
則：，，
知識點二：條件概率
1、定義：一般地，設(shè)，為兩個隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
2、乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
3、條件概率的性質(zhì)
條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)，則
①；
②如果和是兩個互斥事件，則；
③設(shè)和互為對立事件，則．
④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：.
知識點三：全概率公式
1、定義：一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直觀意義：某事件的發(fā)生有各種可能的原因（）,并且這些原因兩兩互斥不能同時發(fā)生，如果事件是由原因所引起的，且事件發(fā)生時，必同時發(fā)生，則與有關(guān)，且等于其總和 .
“全概率”的“全”就是總和的含義，若要求這個總和，需已知概率,或已知各原因發(fā)生的概率及在發(fā)生的條件下發(fā)生的概率.通俗地說，事件發(fā)生的可能性，就是其原因發(fā)生的可能性與已知在發(fā)生的條件下事件發(fā)生的可能性的乘積之和.
第二部分：典 型 例 題 剖 析
題型一：相互獨立事件的概率
典型例題
例題1．（2022·北京豐臺·高二期中）如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，設(shè)該數(shù)字為.若設(shè)事件“為奇數(shù)”，事件“為偶數(shù)”，事件“為3的倍數(shù)”，事件“”，其中是相互獨立事件的是（ ）
A．事件與事件B．事件與事件
C．事件與事件D．事件與事件
【答案】B
【詳解】由題意可得，3，5，，，4，6，，,，,
,
由古典概型概率公式可得：
,
所以，，,，
故ACD錯誤，B正確．
故選：B
例題2．（2022·湖北·應(yīng)城市第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的個白球，個黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事件“第次摸得白球”， 表示事件“第次摸得白球”，則與是（ ）
A．互斥事件B．相互獨立事件C．對立事件D．不相互獨立事件
【答案】D
【詳解】由題意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故與不相互獨立，同時與可以同時發(fā)生，也不對立，
故選：D
例題3．（2022·上海楊浦·高三期中）已知、是獨立事件，，則_________．
【答案】##0.15
【詳解】由于A、B是獨立事件,所以,
故答案為:0.15
例題4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）擲一枚骰子一次，判斷“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”是不是相互獨立事件．
【答案】事件A與B相互獨立．
【詳解】解：記A：出現(xiàn)偶數(shù)點，B：出現(xiàn)3點或6點，
則，，，
則，，，
所以，所以事件A與B相互獨立．
同類題型歸類練
1．（2022·河南·鄭州十九中高二開學(xué)考試）擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，事件C表示事件“點數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點數(shù)大于4”，有下列四個結(jié)論：①事件A與B是獨立事件；②事件B與C是互斥事件；③事件C與D是對立事件；④.其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】A
【詳解】擲一枚骰子，記事件表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，
事件表示事件“點數(shù)不超過3”，事件表示事件“點數(shù)大于4”，
對于①， ， ，，
，事件與是獨立事件，故①正確；
對于②，事件與事件不能同時發(fā)生，事件與事件是互斥事件，故②正確；
對于③，事件與事件不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥但不對立事件，故③錯誤；
對于④，，故④錯誤．
故選：A.
2．（2022·廣東江門·高一期末）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面向上”，事件“第二枚硬幣反面向上”，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．A與B為相互獨立事件B．A與B互為對立事件
C．A與B為互斥事件D．
【答案】A
【詳解】由相互獨立事件的定義知，A與B為相互獨立事件，A正確；
事件可以同時發(fā)生，則A與B不是互斥事件，也不是對立事件，B錯誤；C錯誤；
，D錯誤.
故選：A.
3．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））下列各對事件中，不互為相互獨立事件的是（ ）
A．?dāng)S一枚骰子一次，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件“出現(xiàn)3點或6點”
B．袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”
C．一個家庭中有兩個小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一個家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一個家庭中最多有一個女孩}
D．一個家庭中有三個小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一個家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一個家庭中最多有一個女孩}
【答案】C
【詳解】對于A：∵，，，
∴，
∴事件M與事件N是相互獨立事件，
對于B，由于抽取方法是“有放回”，所以是相互獨立事件.
對于C，，，
，所以不是相互獨立事件.
對于D，，，
，
∴，∴事件M與事件N是相互獨立事件，
故選：C.
4．（多選）（2022·全國·高二單元測試）擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，事件C表示事件“點數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點數(shù)大于4”，則（ ）
A．事件A與B是獨立事件B．事件B與C是互斥事件
C．事件C與D是對立事件D．
【答案】AB
【詳解】由題意知：，，，
∴事件與是獨立事件，A正確；
∵事件與不能同時發(fā)生，∴與是互斥事件，B正確；
點數(shù)為4時，既不屬于事件，也不屬于事件，∴事件與不是對立事件，C錯誤；
∵事件是“點數(shù)為5點”，∴，D錯誤.
故選：AB.
題型二：條件概率
典型例題
例題1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個數(shù)，事件“有一個數(shù)是奇數(shù)”，“另一個數(shù)也是奇數(shù)”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】任取兩個數(shù)，則一奇一偶共有種取法，兩個都是奇數(shù)共有，所以事件包含所取兩個數(shù)要么為一奇一偶，要么為兩個奇數(shù)，故,
則事件為所取兩個數(shù)均為奇數(shù)，故,故,
故選：A
例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由乘法公式，得.
故選：C．
例題3．（2022·北京豐臺·高二期末）同時拋擲一枚紅骰子和一枚藍(lán)骰子，觀察向上的點數(shù)，記“紅骰子向上的點數(shù)為1”為事件，“兩枚骰子的點數(shù)之和等于6”為事件，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】事件包含6種基本事件，事件包含1個基本事件，
所以.
故選：B
例題4．（2022·河南濮陽·高三階段練習(xí)（理））袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的3個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字4，5，6.每次從袋中隨機(jī)摸出1個球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.設(shè)事件為“三次記下的號碼之和是15”，事件為“三次記下的號碼不全相等”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：事件所包含的基本事件有，，，，，，共7個，事件所包含的基本事件有，，，，，共6個，
所以．
故選：A．
例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：因為甲罐中有3個紅球、2個黑球，所以，故選項A正確；
因為，所以，故選項B正確；
因為，故選項C錯誤；
因為，所以，故選項D正確.
故選：C.
同類題型歸類練
1．（2022·吉林油田第十一中學(xué)高二期末）某射擊隊員練習(xí)打靶，已知他連續(xù)兩次射中靶心的概率是0.4，單獨一次射中靶心的概率是0.8.在某場比賽中，該隊員第一次已經(jīng)中靶，則第二次也中靶的概率是（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】B
【詳解】記該隊員第二次射中靶心為事件，第一次射中靶心為事件，題目所求為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，即.
故選：B．
2．（2022·陜西·綏德中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：依題意；
故選：B
3．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）某科技公司聯(lián)歡會進(jìn)行抽獎活動，袋中裝有標(biāo)號為1，2，3的大小、質(zhì)地完全相同的3個小球，每次從袋中隨機(jī)摸出1個球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.規(guī)定“三次記下的號碼都是2”為一等獎.已知小張摸球“三次記下的號碼之和是6”，此時小張能得一等獎的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為所有基本事件的個數(shù)為，三次抽到的號碼之和為6，包括3次號碼都不一樣，分別是1，2，3，基本事件的個數(shù)為；號碼都一樣全是2，基本事件的個數(shù)為1，故事件包含的基本事件的個數(shù)為，事件包含的基本事件的個數(shù)為1，事件包含的基本事件個數(shù)為1，
所以，，
由條件概率公式可得，
故選：C．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準(zhǔn)備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機(jī)選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，則
事件“甲和乙選擇的飲品不同”，
則事件=“甲選擇農(nóng)夫山泉，乙選擇的是加多寶或者雪碧”
所以
所以，
故選：D
5．（2022·江西·蘆溪中學(xué)高二開學(xué)考試）有10件產(chǎn)品，其中4件是正品，其余都是次品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，則在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：設(shè)第一次抽到次品為事件A，第二次抽到次品為事件B，
則，
，
在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率．
故選：C
題型三：全概率公式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
【答案】B
【詳解】由甲乙兩廠所占比例及對應(yīng)的合格率可得，
故選：B
例題2．（2022·江蘇南京·高二階段練習(xí)）學(xué)校食堂分設(shè)有一?二餐廳，學(xué)生小吳第一天隨機(jī)選擇了某餐廳就餐，根據(jù)統(tǒng)計：第一天選擇一餐廳就餐第二天還選擇一餐廳就餐的概率為0.6，第一天選擇二餐廳就餐第二天選擇一餐廳就餐的概率為0.7，那么學(xué)生小吳第二天選擇一餐廳就餐的概率為（ ）
A．0.18B．0.28C．0.42D．0.65
【答案】D
【詳解】設(shè)為“第一天去一餐廳用餐”，為“第一天去二餐廳用餐”，為“第二天去一餐廳就餐”；
則,,,
由全概率公式可知
,
故選：D.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片， 現(xiàn)有 20 塊該規(guī)格的芯片， 其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為 12 塊， 8 塊， 且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為， 現(xiàn)從這 20 塊芯片中任取一塊芯片， 若取得芯片的次品率為， 則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，
甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為，
則，，，，
則由全概率公式得：，解得，
故選：B．
例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100％，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為______．
【答案】0.625##
【詳解】解：設(shè)“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確答案”為事件B，
則，，，
．
故答案為：0.625．
例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占30%，次品率為5%；第二批占70%，次品率為4%，將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件.則取到這件產(chǎn)品是合格品的概率為___________.
【答案】0.957##95.7%
【詳解】設(shè)=“取到合格品”，=“取到的產(chǎn)品來自第i批”（i=1，2），則，，
由全概率公式得：.
故答案為：0.957
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）有朋自遠(yuǎn)方來，乘火車、船、汽車、飛機(jī)來的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1，0．則他遲到的概率為（ ）
A．0.65B．0.075
C．0.145D．0
【答案】C
【詳解】設(shè)A1＝他乘火車來，A2＝他乘船來，A3＝他乘汽車來，A4＝他乘飛機(jī)來，B＝他遲到．
易見：A1，A2，A3，A4構(gòu)成一個完備事件組，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145．
故選：C
2．（2022·福建·廈門海滄實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知P(B|A)=，P(A)=，則P(AB)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意，知
故選：C
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（ ）
A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2
【答案】A
【詳解】以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，
B表示取得的X光片為次品，
P=，P=，P=，
P=，P=，P=；
則由全概率公式，
所求概率為P=P+P+P
=×+×+×=0.08.
故選：A
4．（2022·湖南·郴州一中高三階段練習(xí)）某種疾病的患病率為5%，通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者中有2%的人診斷為陰性隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗血，則其診斷結(jié)果為陽性的概率為（ ）
A．0.46B．0.046C．0.68D．0.068
【答案】D
【詳解】由題意得：
，
故選：．
5．（2022·全國·高二單元測試）小李計劃周六去北京參加會議，有飛機(jī)和火車兩種交通工具可供選擇，它們能準(zhǔn)時到達(dá)的概率分別為0.8，0.95，若當(dāng)天天晴則乘飛機(jī)，否則乘火車．天氣預(yù)報顯示當(dāng)天天睛的概率為0.7，則小李能準(zhǔn)時到達(dá)的概率為______．
【答案】0.845####84.5%
【詳解】解：小李能準(zhǔn)時到達(dá)的概率，
故答案為：0.845

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