?第6節(jié)　事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式
考試要求　1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.


1.相互獨(dú)立事件
(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.
(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與__，與B，與也都相互獨(dú)立.
2.條件概率
(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.
(2)兩個(gè)公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝，我們稱上面的公式為全概率公式.

1.計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).
2.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題.

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝1.(　　)
(2)全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，是求最后結(jié)果的概率.(　　)
(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|).(　　)
(4)P(A)＝P(BA)＋P(B).(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝0；
(3)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；
(4)P(B)＝P(BA)＋P(B).
2.(易錯(cuò)題)某電視臺(tái)的夏日水上闖關(guān)節(jié)目一共有三關(guān)，第一關(guān)與第二關(guān)的過關(guān)率分別為，.只有通過前一關(guān)才能進(jìn)入下一關(guān)，每一關(guān)都有兩次闖關(guān)機(jī)會(huì)，且是否通過每關(guān)相互獨(dú)立.一選手參加該節(jié)目，則該選手能進(jìn)入第三關(guān)的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　設(shè)Ai＝“第i次通過第一關(guān)”，Bi＝“第i次通過第二關(guān)”，其中i＝1，2；
由題意得，選手能進(jìn)入第三關(guān)的事件為A1B1＋A2B1＋A1B2＋A2B2，
所求概率為P(A1B1＋A2B1＋A1B2＋A2B2)＝×＋××＋××＋×××＝.
3.(易錯(cuò)題)(2021·滁州期末)根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為，則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　設(shè)事件A表示某地四月份吹東風(fēng)，事件B表示四月份下雨.
根據(jù)條件概率計(jì)算公式可得在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為P(B|A)＝＝.
4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(　　)
A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立
C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立
答案　B
解析　事件甲發(fā)生的概率P(甲)＝，事件乙發(fā)生的概率P(乙)＝，事件丙發(fā)生的概率P(丙)＝＝，事件丁發(fā)生的概率P(丁)＝＝.事件甲與事件丙是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故A錯(cuò)誤；事件甲與事件丁同時(shí)發(fā)生的概率為＝，
P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為＝，
P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯(cuò)誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤.
5.(2022·青島檢測(cè))質(zhì)監(jiān)部門對(duì)某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)此建筑構(gòu)件實(shí)施兩次打擊，若沒有受損，則認(rèn)為該構(gòu)件通過質(zhì)檢.若第一次打擊后該構(gòu)件沒有受損的概率為0.85，當(dāng)?shù)谝淮螞]有受損時(shí)第二次實(shí)施打擊也沒有受損的概率為0.80，則該構(gòu)件通過質(zhì)檢的概率為(　　)
A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17
答案　C
解析　設(shè)Ai表示第i次打擊后該構(gòu)件沒有受損，i＝1，2，則由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即該構(gòu)件通過質(zhì)檢的概率是0.68.
6.(2021·天津卷)甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為________，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為________.
答案　　
解析　由題意可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為×＝；在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為C××＋＝.

　考點(diǎn)一　相互獨(dú)立事件的概率
例1 (2020·全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：
累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.
經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.
(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；
(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；
(3)求丙最終獲勝的概率.
解　(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為.
(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.
比賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種情況：
甲連勝四場(chǎng)的概率為；乙連勝四場(chǎng)的概率為；
丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為.
所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為
1－－－＝.
(3)丙最終獲勝，有兩種情況：
比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為；
比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為，，.
因此丙最終獲勝的概率為
＋＋＋＝.
感悟提升　求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法
(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.
訓(xùn)練1 在生活小常識(shí)有獎(jiǎng)問答競(jìng)賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)生活小常識(shí)的問題，已知甲答對(duì)這道題的概率是，甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.設(shè)每人回答問題正確與否相互獨(dú)立.
(1)求乙答對(duì)這道題的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率.
解　(1)記“甲答對(duì)這道題”“乙答對(duì)這道題”“丙答對(duì)這道題”分別為事件A，B，C，設(shè)乙答對(duì)這道題的概率P(B)＝x，由于每人回答問題正確與否相互獨(dú)立，因此A，B，C是相互獨(dú)立事件.
由題意可知，P(A)＝，P()＝P()P()＝×(1－x)＝，解得x＝，所以乙答對(duì)這道題的概率為P(B)＝.
(2)設(shè)“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題”為事件M，丙答對(duì)這道題的概率P(C)＝y(tǒng)，由題意可知，P(BC)＝P(B)·P(C)＝×y＝，解得y＝.
甲、乙、丙三人都回答錯(cuò)誤的概率為P()＝P()P()P()＝××＝.
所以甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率為P(M)＝1－P()＝.
　考點(diǎn)二　條件概率
例2 (1)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　設(shè)“第一次拿到白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，依題意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
(2)對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　記A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由題意知，
P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，
則P(B|A)＝＝＝.
感悟提升　求條件概率的常用方法
(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝.
訓(xùn)練2 (1)某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　設(shè)該選手某次擊中10環(huán)為事件A，隨后一次擊中10環(huán)為事件B，則P(A)＝，P(AB)＝，
∴某次擊中10環(huán)，隨后一次擊中10環(huán)的概率是P(B|A)＝＝＝.
(2)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為________.
答案　0.72
解析　設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件B(發(fā)芽又成活為幼苗).
依題意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根據(jù)條件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.
　考點(diǎn)三　全概率公式的應(yīng)用
例3 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊， 三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中， 飛機(jī)必定被擊落， 求飛機(jī)被擊落的概率.
解　設(shè)B＝“飛機(jī)被擊落”，Ai＝“飛機(jī)被i人擊中”，i＝1，2，3，則B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).
為求P(Ai)，設(shè)Hi＝{飛機(jī)被第i人擊中}，
i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互獨(dú)立，
則P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，
故P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)
＝P(H1)P(2)P(3)＋P(1)P(H2)·P(3)＋P(1)P(2)P(H3)＝0.36，
P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(3)＋P(H1)P(2)P(H3)＋P(1)P(H2)P(H3)＝0.41，
P(A3)＝P(H1H2H3)
＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.
于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，
即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.
感悟提升　利用全概率公式的思路
(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計(jì)算.
訓(xùn)練3 某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%，且四條流水線的產(chǎn)品不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問抽到不合格品的概率是多少？
解　設(shè)A＝“任取一件這種產(chǎn)品，抽到不合格品”，
Bi＝“任取一件這種產(chǎn)品，結(jié)果是第i條流水線的產(chǎn)品”(i＝1，2，3，4)，則Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4兩兩互斥，根據(jù)題意
P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02，
由全概率公式，得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.031 5，
故從該廠產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.031 5.


1.甲、乙兩個(gè)袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)球，則取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意知，“從甲袋中取出紅球”和“乙袋中取出紅球”兩個(gè)事件相互獨(dú)立，
從甲袋中取出紅球的概率為＝，
從乙袋中取出紅球的概率為，
故所求事件的概率為×＝.
2.(2022·廣州調(diào)研)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲獎(jiǎng)乙沒獲獎(jiǎng)或甲沒獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)，
則所求概率是×＋×＝.
3.設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，則P(B|A)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　P(B|A)＝＝＝.
4.已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，則P(A)＝(　　)
A. B. C.0.33 D.0.1
答案　A
解析　由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，可得0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，解得P(A)＝.
5.(多選)下列各對(duì)事件中，M，N是相互獨(dú)立事件的有(　　)
A.擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件N＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”
B.袋中有5個(gè)紅球，5個(gè)黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件M＝“第1次摸到紅球”，事件N＝“第2次摸到紅球”
C.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M＝“第1枚為正面”，事件N＝“兩枚結(jié)果相同”
D.一枚硬幣擲兩次，事件M＝“第一次為正面”，事件N＝“第二次為反面”
答案　CD
解析　在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互獨(dú)立；
在B中，M，N不是相互獨(dú)立事件；
在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互獨(dú)立事件；
在D中，第一次為正面對(duì)第二次的結(jié)果不影響，因此M，N是相互獨(dú)立事件.
6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢、交通宣傳等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件A為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”，則P(A|B)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知得P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
所以P(A|B)＝＝.
7.開元通寶是我國(guó)唐代的一種貨幣，向開元通寶上任意投擲一粒芝麻，第一次投進(jìn)方空的概率約為0.5，在第一次投到開元通寶上的條件下第二次也投進(jìn)方空的概率約為0.3，則這樣連續(xù)兩次都可把芝麻投進(jìn)方空的概率是________.
答案　0.15
解析　設(shè)Ai表示第i次把芝麻投進(jìn)方空，i＝1，2，則由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15，
即連續(xù)兩次都可把芝麻投進(jìn)方空的概率是0.15.
8.一個(gè)盒子里裝有3種顏色，大小形狀質(zhì)地都一樣的12個(gè)球，其中黃球5個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，綠球3個(gè)，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件A＝“取出的兩個(gè)球顏色不同”，事件B＝“取出一個(gè)黃球，一個(gè)藍(lán)球”，則P(B|A)＝________.
答案　
解析　因?yàn)镻(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
9.甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分.已知甲、乙兩人射擊互不影響，且命中率分別為和p.若甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為，則p的值為________.
答案　
解析　設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，則“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，則P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p.依題意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.
10.(2022·濟(jì)寧模擬)甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在A處投中的概率都是，在B處投中的概率都是，且在A，B兩處投中與否相互獨(dú)立，規(guī)定甲、乙兩人先在A處各投籃一次，然后在B處各投籃一次，總得分高者獲勝.
(1)求甲投籃總得分ξ的分布列；
(2)求甲獲勝的概率.
解　(1)設(shè)“甲在A點(diǎn)投中”為事件A，“甲在B點(diǎn)投中”為事件B.
根據(jù)題意，ξ的所有可能取值為0，2，3，5，則
P(ξ＝0)＝P()＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(A)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(B)＝×＝，
P(ξ＝5)＝P(AB)＝×＝，
所以ξ的分布列為
ξ
0
2
3
5
P




(2)同(1)，乙的總得分η的分布列為
η
0
2
3
5
P




甲獲勝包括甲得2分、乙得0分，甲得3分、乙得0分或2分，甲得5分、乙得0分或2分或3分，共三種情形，這三種情形之間相互獨(dú)立，
因此所求概率為P＝P(ξ＝2)×P(η＝0)＋P(ξ＝3)×P(η＜3)＋P(ξ＝5)×P(η＜5)＝×＋×＋×＝.
11.現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求
(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.
解　設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.
(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)，總的事件數(shù)n(Ω)＝A＝30.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因?yàn)閚(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率
P(B|A)＝＝＝.
法二　因?yàn)閚(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.

12.(多選)(2021·青島調(diào)研)甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.P(B)＝
B.P(B|A1)＝
C.事件B與事件A1相互獨(dú)立
D.A1，A2，A3是兩兩互斥的事件
答案　BD
解析　易知A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，
所以P(B|A1)＝＝＝，
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝.
因?yàn)镻(BA1)≠P(B)P(A1)，所以事件B與事件A1不相互獨(dú)立.
13.三支球隊(duì)中，甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.4，乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為0.5，丙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為0.6，比賽順序是：第一局是甲隊(duì)對(duì)乙隊(duì)，第二局是第一局的勝者對(duì)丙隊(duì)，第三局是第二局的勝者對(duì)第一局的敗者，第四局是第三局的勝者對(duì)第二局的敗者，則乙隊(duì)連勝四局的概率為________.
答案　0.09
解析　設(shè)乙隊(duì)連勝四局為事件A，有下列情況：
第一局中乙勝甲(A1)，其概率為1－0.4＝0.6；
第二局中乙勝丙(A2)，其概率為0.5；
第三局中乙勝甲(A3)，其概率為0.6；
第四局中乙勝丙(A4)，其概率為0.5.
因各局比賽中的事件相互獨(dú)立，故乙隊(duì)連勝四局的概率為P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.
14.播種用的一等品種子中混合2.0%的二等種子，1.5%的三等種子，1.0%的四等種子，用一等、二等、三等、四等種子長(zhǎng)出優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求從這批種子中任選一顆長(zhǎng)出優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率.
解　設(shè)A＝“在這批種子中任選一顆，長(zhǎng)出優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”，
Bi＝“從這批種子中任選一顆是第i等種子”(i＝1，2，3，4)，則Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4兩兩互斥.
則P(B1)＝95.5%，P(B2)＝2%，P(B3)＝1.5%，P(B4)＝1.0%，P(A|B1)＝0.5，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.1，P(A|B4)＝0.05.
由全概率公式P(A)＝P(Bi)·P(A|Bi)
＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5，
所以從這批種子中任選一顆，長(zhǎng)出優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率是0.482 5.

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