1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義. 2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.
ZHISHIZHENDUANZICE
3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝______________，此公式為全概率公式.
2.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為(　　)A.互斥B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等
解析　事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生，故事件A與事件B既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故A，B均錯(cuò)誤；事件A與事件B相互獨(dú)立，故選C.
4.(選修三P48T3改編)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，則他在第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為_(kāi)_______.
解析　設(shè)A＝“甲第一次拿到白球”，B＝“甲第二次拿到紅球”，
KAODIANJUJIAOTUPO
考點(diǎn)一　相互獨(dú)立事件的概率
例1 (1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(　　)A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立
事件甲與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯(cuò)誤；
解析　由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類(lèi)：
求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積.(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.
訓(xùn)練1 (1)(2024·錦州調(diào)研)分別拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件M＝“至少有2枚正面朝上”，則與事件M相互獨(dú)立的事件是(　　)A.3枚硬幣都正面朝上B.有正面朝上的，也有反面朝上的C.恰好有1枚反面朝上D.至多有2枚正面朝上
解析　分別拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，則樣本空間Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8個(gè)樣本點(diǎn)，事件M＝“至少有2枚正面朝上”，
設(shè)事件C＝“恰好有1枚反面朝上”，則C＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，
設(shè)事件D＝“至多有2枚正面朝上”，則D＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，
解析　甲獲勝的情況分三類(lèi)：
解析　法一　設(shè)男生甲被選中為事件A，男生乙和女生丙至少一人被選中為事件B，
解析　設(shè)事件A為系統(tǒng)正常工作，事件B為只有K和A1正常工作，因?yàn)椴⒙?lián)元件A1，A2能正常工作的概率為
訓(xùn)練2 (1)(2023·全國(guó)甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰，50%的同學(xué)愛(ài)好滑雪，70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為(　　)A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4
解析　令事件A，B分別表示該學(xué)生愛(ài)好滑冰、該學(xué)生愛(ài)好滑雪，事件C表示該學(xué)生愛(ài)好滑雪的條件下也愛(ài)好滑冰，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，
考點(diǎn)三　全概率公式的應(yīng)用
解析　設(shè)事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”，事件B＝“去了‘一眼望三國(guó)’景點(diǎn)”，
(2)(2023·天津卷)甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_(kāi)_______；將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)_______.
解析　法一　設(shè)A＝“從甲盒子中取一個(gè)球是黑球”，B＝“從乙盒子中取一個(gè)球是黑球”，C＝“從丙盒子中取一個(gè)球是黑球”，
利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i=1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算.
解析　設(shè)事件A表示“小胡答對(duì)”，事件B表示“小胡選到有思路的題”.
(2)(2024·安慶模擬)設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%，35%，20%，甲、乙車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為2%和3%.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為2.95%，則推測(cè)丙車(chē)間的次品率為_(kāi)_______.
解析　令A(yù)表示“取到的是一件次品”，B1，B2，B3分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車(chē)間生產(chǎn)的，且有P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，P(B3)＝0.2.由于P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03，設(shè)P(A|B3)＝m，由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.45＋0.03×0.35＋m×0.2.又P(A)＝2.95%，故m＝5%.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.小明上學(xué)可以乘坐公共汽車(chē)，也可以乘坐地鐵.已知小明上學(xué)乘坐公共汽車(chē)的概率為0.4，乘坐地鐵的概率為0.6，且乘坐公共汽車(chē)與地鐵時(shí)，小明遲到的概率分別為0.05和0.04，則小明沒(méi)有遲到的概率為(　　)
解析　由題意，小明沒(méi)有遲到的概率為0.4×(1－0.05)＋0.6×(1－0.04)＝0.956.
4.(2024·婁底五校聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將代表高一年級(jí)參加校運(yùn)會(huì)4×100米接力賽，教練組根據(jù)訓(xùn)練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，假設(shè)三次交接棒相互獨(dú)立，則此次比賽中該組合交接棒沒(méi)有失誤的概率是(　　)A.p1p2p3B.1－p1p2p3C.(1－p1)(1－p2)(1－p3)D.1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)
解析　∵三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失誤的概率分別是1－p1，1－p2，1－p3.∵三次交接棒相互獨(dú)立，∴此次比賽中該組合交接棒沒(méi)有失誤的概率是(1－p1)(1－p2)(1－p3).
5.根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)可知，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.2.則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為(　　)A.0.8C.0.5D.0.1
解析　設(shè)“發(fā)生中度霧霾”為事件A，“刮四級(jí)以上大風(fēng)”為事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為
解析　對(duì)于A，因?yàn)閤＋y＝7，所以x與y必是一奇一偶，又當(dāng)xy為奇數(shù)時(shí)，x與y都是奇數(shù)，所以事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即A與B互斥，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭录嗀和B不能同時(shí)發(fā)生，但它們可以同時(shí)不發(fā)生，如x＝1，y＝2，即A與B不對(duì)立，故B不正確；
解析　設(shè)Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到紅球”.
解析　若A，B互斥，則m＝P(AB)＝0，
9.某醫(yī)生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的條件下，他在周三晚上值班的概率為_(kāi)_______.
解析　設(shè)事件A為“周二晚上值班”，事件B為“周三晚上值班”，
解析　設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A＋的事件分別為A，B，C.
11.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如右的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；
解　法一　由于患者的年齡位于區(qū)間[20，70)是由患者的年齡位于區(qū)間[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)組成的，且相互獨(dú)立，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.法二　由于患者的年齡位于區(qū)間[20，70)是由患者的年齡位于區(qū)間[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)組成的，且相互獨(dú)立，所以所求概率P＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝0.89.
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.000 1)
解　設(shè)從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間[40，50)為事件A，患這種疾病為事件B，則P(A)＝16%.由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間[40，50)的概率為0.023×10＝0.23，結(jié)合該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.000 23，所以從該地區(qū)任選一人，若年齡位于區(qū)間[40，50)，則此人患這種疾病的概率為
13.(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0

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