[解析] 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x＋2)2＋y2＝36，圓心B(－2,0)，r＝6，設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，動圓與已知圓的切點為C.
則|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，
∴|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝6>4＝|AB|，
∴點M的軌跡是以點B(－2,0)，A(2,0)為焦點、線段AB中點O為中心的橢圓，且a＝3，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5，
∴所求軌跡方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.
2．已知F1、F2分別是橢圓5x2＋9y2＝45的左、右焦點，P是橢圓上的動點，則|PF1|·|PF2|的最大值為 9 ，若A(1,1)，則|PA|＋|PF1|的取值范圍為 [6－eq \r(2)，6＋eq \r(2)] .
[解析] 由橢圓的方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1知，a＝3，c＝2，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝3時取等號，
∴|PF1|·|PF2|的最大值為9.
∴|PA|＋|PF1|＝|PA|－|PF2|＋6.
由橢圓方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1知c＝eq \r(9－5)＝2，
∴F2(2,0)，∴|AF2|＝eq \r(2).
利用－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|(當(dāng)P、A、F1共線時等號成立)．
∴|PA|＋|PF1|≤6＋eq \r(2)，|PA|＋|PF1|≥6－eq \r(2).
故|PA|＋|PF1|的最大值為6＋eq \r(2)，最小值為6－eq \r(2).
3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面積為3eq \r(3)，則b＝ 3 .
[解析] |PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)b2，
又因為S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)b2＝3eq \r(3)，所以b＝3.故填3.
[引申]本例2中，若將“A(1,1)”改為“A(2,2)”，則|PF1|－|PA|的最大值為 4 ，|PF1|＋|PA|的最大值為 8 .
[解析] ∵|PF2|＋|PA|≥|AF2|＝2(P在線段AF2上時取等號)，∴|PF1|－|PA|＝6－(|PF2|＋|PA|)≤4，
∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(當(dāng)P在AF2延長線上時取等號)，∴|PF1|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8.
名師點撥：
1．橢圓定義的應(yīng)用范圍
(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓．
(2)解決與焦點有關(guān)的距離問題．
2．焦點三角形的應(yīng)用
橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等．
注：S△PF1F2＝b2taneq \f(∠F1PF2,2).
【變式訓(xùn)練】
(2024·江蘇淮安淮陰中學(xué)期中)已知F為橢圓C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦點，P為C上一點，Q為圓M：x2＋(y－3)2＝1上一點，則|PQ|＋|PF|的最大值為( D )
A．3 B．6
C．4＋2eq \r(3) D．5＋2eq \r(3)
[解析] 圓M：x2＋(y－3)2＝1的圓心為M(0,3)，r＝1，設(shè)橢圓的左焦點為F1，如圖，由橢圓的定義知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋1＋|PF|＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)1三點在一條直線上時取等號，M(0,3)，F(xiàn)1(－eq \r(3)，0)，|MF1|＝2eq \r(3)，(|PQ|＋|PF|)max＝5＋2eq \r(3).故選D.

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