(3)當(dāng)|MA|·|MB|取最小值時(shí)，直線l的方程；
(4)當(dāng)|MA|2＋|MB|2取得最小值時(shí)，直線l的方程．
[解析] 設(shè)直線的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
則eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
(1)∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))?eq \f(1,2)ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，即a＝4，b＝2時(shí)，△AOB面積S＝eq \f(1,2)ab有最小值為4.此時(shí)，直線l的方程是eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1.即x＋2y－4＝0.
(2)a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq \r(2).故a＋b的最小值為3＋2eq \r(2)，此時(shí)eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)，求得b＝eq \r(2)＋1，a＝2＋eq \r(2).此時(shí)，直線l的方程為eq \f(x,2＋\r(2))＋eq \f(y,\r(2)＋1)＝1.即x＋eq \r(2)y－2－eq \r(2)＝0.
(3)解法一：設(shè)∠BAO＝θ，則sin θ＝eq \f(1,|MA|)，cs θ＝eq \f(2,|MB|)，∴|MA|·|MB|＝eq \f(2,sin θcs θ)＝eq \f(4,sin 2θ)，顯然當(dāng)θ＝eq \f(π,4)時(shí)，|MA|·|MB|取得最小值4，此時(shí)kl＝－1，所求直線的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
解法二：|MA|·|MB|＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2a＋b－5＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，∴|MA|·|MB|的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
解法三：若設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，則Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)＋?－k?))≥4，當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－eq \f(1,k)，即k＝－1時(shí)，取等號(hào)．故|MA|·|MB|的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
(4)同(3)|MA|＝eq \f(1,sin θ)，|MB|＝eq \f(2,cs θ)，
∴|MA|2＋|MB|2＝eq \f(1,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)
＝(sin2θ＋cs2θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin2θ)＋\f(4,cs2θ)))
＝5＋eq \f(cs2θ,sin2θ)＋eq \f(4sin2θ,cs2θ)≥9.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(當(dāng)且僅當(dāng)cs2θ＝2sin2θ，即tan2θ＝\f(1,2)時(shí)取等號(hào)))
∴|MA|2＋|MB|2的最小值為9，
此時(shí)直線的斜率k＝－eq \f(\r(2),2)，
故所求直線的方程為y－1＝－eq \f(\r(2),2)(x－2)，
即eq \r(2)x＋2y－2(eq \r(2)＋1)＝0.
注：本題也可設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)(k0，b>0.
∵直線過(guò)點(diǎn)(1,2)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1，
∴|OA|＋2|OB|＝a＋2b＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)即a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，
∴此時(shí)直線l：x＋y－3＝0，
故|OA|＋2|OB|的最小值為9，此時(shí)直線l的方程x＋y－3＝0.

相關(guān)試卷

2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第1講直線的傾斜角斜率與直線的方程提能訓(xùn)練：

這是一份2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第1講直線的傾斜角斜率與直線的方程提能訓(xùn)練，共7頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)素養(yǎng)練習(xí) 第9章 第1講　直線的傾斜角與斜率、直線方程 (含解析)：

這是一份(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)素養(yǎng)練習(xí) 第9章 第1講　直線的傾斜角與斜率、直線方程 (含解析)，共14頁(yè)。試卷主要包含了知識(shí)梳理，教材衍化等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)高考1 第1講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程　新題培優(yōu)練：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考1 第1講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程　新題培優(yōu)練，共6頁(yè)。試卷主要包含了已知直線l等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第44講《直線的傾斜角、斜率與直線的方程》（講）（解析版）

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第44講《直線的傾斜角、斜率與直線的方程》（講）（解析版）
2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精選用卷 第七章 平面解析幾何 考點(diǎn)38 直線的傾斜角與斜率、直線的方程+答案解析

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精選用卷 第七章 平面解析幾何 考點(diǎn)38 直線的傾斜角與斜率、直線的方程+答案解析
第44講 直線的傾斜角、斜率與直線的方程（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）

第44講 直線的傾斜角、斜率與直線的方程（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）
考點(diǎn)42 直線的傾斜角、斜率和直線方程（考點(diǎn)專練）-備戰(zhàn)2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題

考點(diǎn)42 直線的傾斜角、斜率和直線方程（考點(diǎn)專練）-備戰(zhàn)2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部