(藝考基礎(chǔ))新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第05講橢圓 (高頻考點(diǎn)，精講）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：典型例題剖析
題型一：橢圓定義的應(yīng)用
角度1：利用橢圓定義求軌跡方程
角度2：利用橢圓定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
角度3：利用橢圓定義求最值
題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
角度1：橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距
角度2：求橢圓的離心率
角度3：與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題
第一部分：知識(shí) 點(diǎn) 精準(zhǔn) 記憶
知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義
平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的
軌跡叫橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.
說(shuō)明：
若，的軌跡為線段；
若，的軌跡無(wú)圖形
定義的集合語(yǔ)言表述
集合.

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
知識(shí)點(diǎn)三：常用結(jié)論
1、與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：
2、有相同離心率：（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）
3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
（4）橢圓通經(jīng)長(zhǎng)=
第二部分：典型例題剖析
題型一：橢圓定義的應(yīng)用
角度1：利用橢圓定義求軌跡方程
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】錯(cuò)解：
∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：D.
錯(cuò)因：
忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.
正解：
∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：B.
例題2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）
A．橢圓B．雙曲線C．線段D．不能確定
【答案】A
【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，
故選：A
例題3．（2022·四川·雙流中學(xué)高二期中（理））已知平面上動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_．
【答案】
【詳解】平面上動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和等于，
滿足橢圓的定義，可得，，則，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)定點(diǎn)，的距離是6，動(dòng)點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是6，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么？
【答案】線段.
【詳解】因，是兩個(gè)定點(diǎn)，且，而，即，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段.
2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D.則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為_(kāi)________________.
【答案】
【詳解】連接，由題意，，則，
由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，
故短半軸長(zhǎng)為1，故軌跡方程為：.
故答案為：.
角度2：利用橢圓定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·山西呂梁·高二期中）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）
A．8B．16C．D．
【答案】B
【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)
由橢圓的定義可知，
則的周長(zhǎng)為，
故選：B．
例題2．（2022·浙江·元濟(jì)高級(jí)中學(xué)高二期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，．若斜率為1，且過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【詳解】由橢圓：可得，
因?yàn)椋跈E圓上，根據(jù)橢圓的定義可得，
所以的周長(zhǎng)為，
故選：C
例題3．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由橢圓方程得..
故選：D.
例題4．（2022·黑龍江·高二期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，，若的面積為，則的短袖長(zhǎng)為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【詳解】由橢圓的定義知，所以，
又，即，
兩式相減，得，因?yàn)榈拿娣e為，
即，所以，解得，所以短軸長(zhǎng)為6．
故選:D．
同類題型歸類練
1．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高二期中）橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓M于點(diǎn)A，B.若的周長(zhǎng)為20，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為20，由橢圓定義可知：4a＝20，即a＝5，
又因?yàn)閏＝3，所以，
所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
2．（2022·福建·莆田第四中學(xué)高二期中）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)____________．
【答案】16
【詳解】解：由橢圓，
得，
因?yàn)镻是C上的點(diǎn)，所以，
所以的周長(zhǎng)為.
故答案為：.
3．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，⊥x軸，則的面積為_(kāi)________．
【答案】##
【詳解】由題意不妨設(shè)﹣，0)，，0)，
∵P⊥x軸，∴P(，±)，
∵△P的面積＝|P|||＝2＝，
故答案為：．
4．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是、，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積是______.
【答案】4
【詳解】由橢圓的定義可知，，
又，
聯(lián)立兩式，可得
又，
所以，
所以是以為直角邊的直角三角形，
所以的面積為.
故答案為：.
5．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且．若的面積為9，求實(shí)數(shù)b的值．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以為直角三角形，
，，
，
即，
，
所以，所以．所以；
綜上，b=3.
角度3：利用橢圓定義求最值
典型例題
例題1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【詳解】橢圓上的點(diǎn)P滿足，
當(dāng)點(diǎn)P為的延長(zhǎng)線與C的交點(diǎn)時(shí)，
達(dá)到最大值，最大值為．
故選：B
例題2．（多選）（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值和最小值分別為（）
A．最大值為25B．最小值為15C．最大值為D．最小值為
【答案】AB
【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，
可得，所以，
由橢圓的定義可知：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)依次共線，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)依次共線，
故選：AB
例題3．（2022·江蘇·泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】##
【詳解】解：橢圓：中，，所以，所以為橢圓的左焦點(diǎn)，
又點(diǎn)，則，所以點(diǎn)在橢圓外，
所以當(dāng)點(diǎn)為線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)最小，
其最小值為.
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知P為橢圓上的一點(diǎn)，M，N分別為圓（x＋3）2＋y2＝1和圓（x－3）2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為_(kāi)_______．
【答案】7
【詳解】由橢圓方程知a＝5，b＝4，c＝3.兩圓的圓心分別為橢圓的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，
設(shè)兩圓半徑分別為r1，r2，則r1＝1，r2＝2.
所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，
故|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.
故答案為：7
2．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知橢圓C的方程為，M為C上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】由題意，，，所以為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，
所，
當(dāng)且僅當(dāng)M?D?A共線時(shí)取等號(hào).
故答案為：.
題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．（5，7）B．（5，6） C．（6，7） D．（5，6）∪（6，7）
【答案】D
【詳解】錯(cuò)解：
由題意可知，解得 .
故選：A.
錯(cuò)因：
未考慮橢圓方程中分母不等的情況，
正解：
由題意可知解得且 .
故選：D.
例題2．（2022·山西太原·高二期中）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)其方程為：，顯然，，
則，故橢圓方程為.
故選：B.
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩頂點(diǎn)間的距離為6；
(2)以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn).
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為.
由，，得，，，
所以雙曲線的方程為.
（2）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.
設(shè)雙曲線的方程為，則，，，
所以雙曲線的方程為.
同類題型歸類練
1．（2022·河南安陽(yáng)·高二期中）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題知：表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
所以
，
解得，
故選：D.
2．（2022·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)高二期中）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】.
【詳解】設(shè)橢圓的方程為：，因該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，
于是得，解得，即有，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)，，焦點(diǎn)在x軸上；
(2)，，焦點(diǎn)在y軸上；
(3)，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
(1)
∵，，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
(2)
∵，，∴，
∵橢圓焦點(diǎn)在y軸上，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
(3)
∵，，∴，
因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)位置不確定，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.
題型三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
角度1：橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距
典型例題
例題1．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【詳解】由已知橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上，
則，，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為和
故選：D.
例題2．（2022·吉林·撫松縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）焦點(diǎn)在軸的橢圓的焦距是4，則的值為（）
A．8B．3C．5或3D．20
【答案】A
【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸，故，而焦距是4，故即，
故選：A.
例題3．（2022·四川成都·高二期中（理））焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距是8，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）
A．40B．C．D．20
【答案】B
【詳解】由題意得，則橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故選：B.
例題4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）橢圓的短軸長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】4
【詳解】解：因?yàn)闄E圓，
所以，
所以，
所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，
故答案為：4.
同類題型歸類練
1．（2022·遼寧葫蘆島·高二期中）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【詳解】解：由得
，
，
，
∴ 焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．
故選：C．
2．（2022·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)高二期中）已知橢圓的焦距是，則的值是____．
【答案】
【詳解】在橢圓中，，，
由已知可得，解得.
故答案為：.
3．（2022·四川成都·高二期中（理））橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】8
【詳解】解：由橢圓的幾何性質(zhì)可知，∴，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)。
故答案為：8．
角度2：求橢圓的離心率
典型例題
例題1．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二期中（理））數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若圓的蒙日?qǐng)A為，則該橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，，所以，
離心率為．
故選：A．
例題2．（2022·北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高二期中）已知為橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為1，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為18，
所以，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B.
例題3．（2022·甘肅·蘭州西北中學(xué)高三期中（理））已知橢圓與圓有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】橢圓與圓有四個(gè)交點(diǎn)，
則橢圓的焦點(diǎn)必在軸上，且必有
則橢圓C的離心率，又，
離心率的取值范圍是
故選：C
例題4．（2022·浙江·長(zhǎng)興縣教育研究中心高二期中）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：依題意可得，
設(shè)，由題意可得，
可得，，代入得，即，
即，
可得，解得（舍去）或，
因?yàn)?，所以，則．
故選：D．
例題5．（2022·山東青島·高二期中）設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為_(kāi)__________；
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
設(shè)橢圓的焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，
在中，，，
所以，，又，
所以，
所以橢圓的離心率為.
故答案為：.
例題6．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)高二期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且滿足的點(diǎn)均在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
所以點(diǎn)P的軌跡為以為直徑的圓，且該圓在橢圓C的內(nèi)部，
所以，所以，
所以，即，
所以．
故選：A．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇省海州高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為和，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為和，
所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，
所以橢圓的離心率為.
故選：C
2．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，若，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意可得，如下圖所示：
又因?yàn)?根據(jù)對(duì)稱性可得,
可得,解得.
故，故離心率為，
故選：C.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，如下所示：
設(shè)，則，
在△中，由余弦定理可得,整理可得：，即；
在△中，同理可得：，故，解得.
故選：.
4．（多選）（2022·新疆·烏市八中高二期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若橢圓與坐標(biāo)軸分別交于，四點(diǎn)，且從這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率的可能取值為（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【詳解】不妨設(shè)A,B為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C,D為短軸端點(diǎn)，已知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，相應(yīng)的三角形只取其中一個(gè)，
首先可能是等邊三角形，因?yàn)?，，不成立?br>為等邊三角形，則，；
為等邊三角形，則，，，；
為等邊三角形，則，，，
，．
故選：ABD．
5．（2022·新疆·烏魯木齊市第70中高二期中）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，則k的值為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】依題意，，解得，又橢圓離心率為，則有，解得，
所以k的值為.
故答案為：
6．（2022·天津河?xùn)|·高二期中）已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為_(kāi)_____．
【答案】##
【詳解】解：因?yàn)?，由橢圓的定義可得，可得，，
在中，由余弦定理可得：，而，
即，可得，
可得離心率，
故答案為：
7．（2022·遼寧省康平縣高級(jí)中學(xué)高二期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn)．為上一點(diǎn)，且軸．直線與軸交于點(diǎn)，若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_____
【答案】
【詳解】由題意得：，，，
將代入橢圓方程，，
解得：，不妨設(shè)，
則直線方程為，令得：，
故，
直線方程為，令得：，
故，
由題意得：，解得：，
所以.
故答案為：.
8．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知橢圓C：（）左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且傾斜角為60°的直線與過(guò)的直線交于A點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓上，且.則橢圓C的離心率__________.
【答案】##
【詳解】由與過(guò)的直線交于橢圓上A點(diǎn)，且，，
所以，而，故，，
所以，故.
故答案為：
角度3：與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為，則（）
A．1B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為，
即，又，所以，
由，所以；
故選：A
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是這個(gè)橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)是的外心，若存在實(shí)數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時(shí)，的最小值為( )
A．4B．C．D．
【答案】A
【詳解】由于外心在的垂直平分線上,故外心在軸上,
而方向朝著軸的負(fù)半軸,
故點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn),
此時(shí)三角形面積為.
所以,
故選:.
例題3．（2022·江西撫州·高二期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，則的值可以是______.（填寫(xiě)一個(gè)滿足條件的值即可）
【答案】14（在區(qū)間中的任意實(shí)數(shù)）
【詳解】依題意，，，由橢圓定義，，故，其中，故，由二次函數(shù)特征可知，時(shí)取到最大值16，或6時(shí)取到最小值12，故橫線上填寫(xiě)的數(shù)值在此范圍內(nèi)即可.
故答案為：14（在區(qū)間中的任意實(shí)數(shù)）.
例題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為_(kāi)_________．
【答案】
【詳解】解：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為，此時(shí)線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為0；
當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)過(guò)的直線為，設(shè)，
由，得，則，
所以線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，M的縱坐標(biāo)為0，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，的最大值為，
故答案為：
例題5．（2022·全國(guó)·高二）已知橢圓：，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線：，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點(diǎn)，求最小值.
【答案】(1)
(2)4
(1)
解：設(shè)，則，所以，即.
，則由橢圓定義，
，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)
解：由題意直線的斜率必定不為零，于是可設(shè)直線：，
聯(lián)立方程得，
設(shè)，，由題意，，
由韋達(dá)定理，，則，，
，，，
又，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意得，由,得，
則,
設(shè)()，由，得，
則，
又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
，
所以的最小值為.
故選：C.
2．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，為橢圓兩焦點(diǎn)，那么的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，則，
故選：B.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值是（）
A．6B．4C．D．
【答案】C
【詳解】由橢圓方程可知，，
因?yàn)槭窃摍E圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，
得，所以，
即求的最大值，，
所以.
故選：C.
4．（2022·北京·高二期末）橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，則的面積的最大值為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】在橢圓中，，，則，則，
由題意可知，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)、為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，且最大值為.
故答案為：.
5．（2022·黑龍江·齊齊哈爾三立高級(jí)中學(xué)有限公司高二期中）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)，則，即
，
因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在為減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為的最大值為.焦點(diǎn)位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程
（）
（）
圖象
焦點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
的關(guān)系
范圍
，
，
頂點(diǎn)
，，
，
軸長(zhǎng)
短軸長(zhǎng)＝，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝
焦點(diǎn)
焦距
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：軸、軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)
離心率
，

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