2．已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
[解析] (1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．
因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
[引申]本例1中若|PO1|＝2|PO2|，則P點(diǎn)的軌跡方程為 x2＋y2－eq \f(20,3)x＋4＝0 .
[解析] 同例1解析建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，化簡(jiǎn)得P點(diǎn)的軌跡方程與x2＋y2－eq \f(20,3)x＋4＝0.
名師點(diǎn)撥：求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法
【變式訓(xùn)練】
已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．則：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為 (x－1)2＋y2＝4(y≠0) ；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程為 (x－2)2＋y2＝1(y≠0) .
[解析] (1)解法一：設(shè)C(x，y)，
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.
因?yàn)锳C⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.
由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，
M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).

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