河南省鄭州市宇華實驗學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知等比數(shù)列的首項，公比為q，記（），則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）
A 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式、充分性和必要性的定義進行判斷即可.
【詳解】由題意，，
，
當(dāng)時，對于不一定恒成立，例如；
當(dāng)為遞減數(shù)列時，且對于恒成立，
又因為，所以得，
因此“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件，
故選：C.
2. 已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，與的圖象有兩個交點，對實數(shù)的取值進行分類討論，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)有兩個零點，令，可得，
即與的圖象有兩個交點，
由可得，或.
①當(dāng)時，函數(shù)的圖象如圖所示，
此時存在使得與有兩個交點，滿足題意，故滿足題意；

②當(dāng)時，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不符合題意；
③當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意；

④當(dāng)時，單調(diào)遞增，故不符合題意；
⑤當(dāng)時，函數(shù)的圖象如圖所示，此時存在使得與有兩個交點.

綜上可得，或.
故選：B.
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
3. 函數(shù)的最大值是（）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由，解得，故的定義域為.
設(shè)，
則，
其中，，
∵，則，
∴當(dāng)，即時，
取最大值，即函數(shù)的最大值是.
故選：B.
4. 已知為橢圓上的點，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率為的平分線交線段于點，則（）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線定理及橢圓的的定義求解即可
【詳解】因為的平分線交線段于點，所以，
由正弦定理得，.
又因為，
所以，即.
不妨設(shè)，則，
則，解得，
所以.
故選：A.
5. 已知分別為橢圓的左頂點和左焦點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的點，若直線交線段于，則橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，由可得點的坐標(biāo)，由三點共線得建立關(guān)系即得.
【詳解】
由題意得，設(shè)，又，
所以，即，解得，
即，又由三點共線得.
所以，整理得，所以.
故選：B.
6. 在三棱錐中，，，是的中點，滿足，則異面直線，所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三棱錐的對棱相等可以補成長方體，計算長方體的長寬高，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算即可求得異面直線，所成角的余弦值.
【詳解】解：三棱錐中，由于，，則三棱錐可以補在長方體，
則設(shè)長方體的長寬高分別為，則，
解得，如圖以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，則，，
所以，
則異面直線，所成角的余弦值為.
故選：D.
7. 甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)進行校園廚藝總決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍.”對乙說：“你和甲的名次相鄰.”從這兩個回答分析，5人的名次排列情況種數(shù)為（）
A. 54B. 48C. 42D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：乙是冠軍，乙不是冠軍，再安排其他人，由加法計數(shù)原理可得答案.
【詳解】由題意，第一種情況：乙是冠軍，則甲在第二位，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況；
第二種情況：先從丙、丁、戊中選1人為冠軍，再排甲，乙兩人，再把甲和乙捆綁與其他人排列，共有種；
綜上可得共有種不同的情況.
故選：C.
8. 下列命題中，真命題的是（）
A. 若回歸方程，則變量與正相關(guān)
B. 線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好
C. 若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為18
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】A的系數(shù)為負，所以負相關(guān)；B中越大擬合效果越好；C用來計算；D結(jié)合條件概率公式來判斷.
【詳解】因為，所以變量與負相關(guān)，故A錯誤；
在線性回歸分析中越大，則模型擬合效果越好，故B選項錯誤；
若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故C選項錯誤；
因為，所以，所以，所以，故D正確.
故選：D
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9. 已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且點到平面的距離為，則（）
A. 該圓錐的體積為B. 直線與平面所成的角為
C. 二面角為D. 直線與所成的角為
【答案】BCD
【解析】
【分析】取線段的中點，連接，過作，垂足為，可證明面，即可得，對于A：求出底面圓半徑，然后用圓錐的體積公式求解；對于B：直線與平面所成的角為，在直角三角形中求解即可；對于C：二面角的平面角為，在直角三角形中求解即可；對于D：取線段的中點，連接，直線與所成的角為或其補角，求出的三邊，然后利用余弦定理求解.
【詳解】取線段的中點，連接，過作，垂足為，
易知，又，面，
所以面，又面，
所以，又，且，面，
所以面，所以線段的長為點到平面的距離，
即，

對于A：在等腰三角形中，，，
所以，
所以該圓錐的體積為，A錯誤；
對于B：由面可得直線與平面所成的角為，
在直角三角形中，，所以，B正確；
對于C：由面可得二面角的平面角為，
在直角三角形中，，所以，C正確；
對于D：取線段的中點，連接，
明顯有，
則直線與所成的角為或其補角，
因，則，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，，
所以，D正確.

故選：BCD.
10. 已知函數(shù)（其中，，）部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A. 為奇函數(shù)
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C. 上單調(diào)遞增
D. 若函數(shù)在上沒有零點，則
【答案】BD
【解析】
【分析】利用“五點法”，結(jié)合圖象求得，從而求得判斷A，利用代入檢驗法判斷B，利用檢驗最值點法判斷C，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，從而判斷D.
【詳解】依題意，可得，又，則，所以，
結(jié)合五點法作圖，可得，則，所以，
對于A，，顯然是偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；
對于C，當(dāng)時，，函數(shù)取得最大值，
所以在上不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯誤；
對于D，因為，則，
因為，當(dāng)時，，
因為在上沒有零點，
可得，解得，故D正確，
故選：BD.
11. 如圖，在四棱柱中，底面是正方形，，且，則（）
A. B.
C. D. 直線與平面所成的角為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運算，數(shù)量積以及模長公式可判斷A,B,C;先證明面，進而說明為直線與平面所成的角，計算即可.
【詳解】對于選項A: 在四棱柱中，
易得,，
所以，故選項A錯誤；
對于選項B:因為,所以
所以，即,故選項B正確；
對于選項C: 由,
所以
所以,故選項C錯誤；
對于選項D:取的交點,連接,
因為底面是正方形，且，
所以,所以，
所以,
因為,
所以,
所以，即.
因為面，
所以面.
所以為在面的投影，即為直線與平面所成的角.
在中，易得，所以,故選項D正確.
故選：BD.
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)函數(shù) ，則滿足的的取值范圍為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】判斷的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合函數(shù)定義域，進而求解不等式即可.
【詳解】，則的定義域為；
又，故為偶函數(shù)；
當(dāng)時，，
又在上都是單調(diào)增函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
因為，所以，解得，
故的取值范圍為.
故答案為：.
13. 已知是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點.當(dāng)時，，則________.
【答案】
【解析】
【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，過作的垂線，垂足分別為，結(jié)合條件及拋物線的定義可求得，在中，利用余弦定理即可求出結(jié)果.
【詳解】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，
過作準(zhǔn)線的垂線，過作的垂線，垂足分別為．如圖所示，
由題意知，，因為，易知，
又點到準(zhǔn)線的距離為：，解得，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，

故答案為：.
14. 位于坐標(biāo)原點的一個點按下述規(guī)則移動：每次只能向下或向左移動一個單位長度，且向左移動的概率為.那么移動5次后位于點的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】若移動5次后位于點，所以5次移動中需向左移動4次，向下移動1次，根據(jù)二項分布求解即可.
【詳解】因為向左移動的概率為，所以向下移動的概率為，
由題意得必須向左移動4次，向下移動1次，
所以所求的概率為.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)，在時最大值為1，最小值為0.設(shè).
（1）求實數(shù)m，n的值；
（2）若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可判斷函數(shù)在時的單調(diào)性，求得最值，由題意列方程即可求得實數(shù)m，n的值.
（2）將的解析式代入中求得的解析式，再代入中，令，化為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)題意即可求得實數(shù)a的取值范圍.
【小問1詳解】
由可知，函數(shù)關(guān)于對稱，
又，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
可得，即，
解得，.
【小問2詳解】
易知，
所以即為，
可化為，
令，即；
則關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解等價為于關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，，
需滿足，解得；
所以實數(shù)a的取值范圍為.
16. 平面直角坐標(biāo)系中，單位圓與軸正半軸交于點，角的終邊與單位圓的交點位于第二象限.
（1）若弧的長為，寫出的坐標(biāo)，并計算扇形的面積；
（2）角的終邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn) 后恰與角的終邊重合，若，求的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用弧長公式求出角，聯(lián)立求坐標(biāo)，再用扇形面積公式計算即可.
（2）依據(jù)角的旋轉(zhuǎn)關(guān)系結(jié)合兩角正切的和差公式求解即可.
【小問1詳解】
的長為，，解得，
若點位于第二象限，且在單位圓上，設(shè)，扇形的面積為，
故有，，故，
結(jié)合扇形面積公式得，
【小問2詳解】
易知角的終邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后恰與角的終邊重合，
故，即.
17. 如圖，在三棱柱中，平面為的中點，．

（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于，連接，可證，從而平面；
（2）利用空間向量點到平面的距離公式求解.
【小問1詳解】
連接交于，連接，
側(cè)面為平行四邊形，
為的中點，
又為的中點，
,
平面平面，
所以平面；
【小問2詳解】
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
設(shè)平面的法向量為，則即，
取，則，
，
到平面的距離.

18. 已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若斜率為的直線經(jīng)過右焦點，與雙曲線的右支相交于，兩點，雙曲線的左焦點為，求的周長.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標(biāo)得雙曲線半焦距c，再求出即可.
（2）求出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立求出弦長，再借助雙曲線定義求解即得.
【小問1詳解】
拋物線的焦點坐標(biāo)為，則雙曲線的半焦距，由，得，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，直線的方程為，設(shè)，，
由，得，顯然，
則，，，
因此，
所以的周長為.

19. 在2019中國北京世界園藝博覽會期間，某工廠生產(chǎn)三種紀(jì)念品，每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表:（單位:個）
現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取200個，其中種紀(jì)念品有40個.
（1）求的值;
（2）用分層抽樣的方法在種紀(jì)念品中抽取一個容量為5的樣木，從樣本中任取2個紀(jì)念品，求至少有1個精品型紀(jì)念品的概率;
（3）從種精品型紀(jì)念品中抽取5個，其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下：，把這5個數(shù)據(jù)看作一個總體，其均值為10，方差為2，求的值.
【答案】（1）400 （2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）由分層隨機抽樣的知識直接求解即可；
（2）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解；
（3）由均值和方差的公式得由題意可得、則，代入數(shù)據(jù)可得答案.
【小問1詳解】
由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的紀(jì)念品數(shù)為
現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取200個，其中種紀(jì)念品有40個，
則，解得
【小問2詳解】
設(shè)所抽取的樣本中有個精品型紀(jì)念品，則，解得
所以，容量為5的樣本中，有2個精品型紀(jì)念品，3個普通型紀(jì)念品.
因此，至少有1個精品型紀(jì)念品的概率為
【小問3詳解】
由題意可得，得
由于總體的方差為2，則，可得
所以，紀(jì)念品
紀(jì)念品
紀(jì)念品
精品型
100
150
普通型
300
450
600

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