注意事項：
1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，若，則點的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示計算即可.
【詳解】由題意可知的坐標(biāo)為.
故選：A
2. 一個三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物8本，英語類讀物9本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（ ）
A. 3種B. 504種C. 24種D. 12種
【答案】C
【解析】
【分析】由分類加法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】從書架上取一本書，由分類加法計數(shù)原理可知，不同取法共有種.
故選：C.
3. 已知表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查條件概率定義.
詳解】根據(jù)條件概率定義，所以D正確.
故選：D.
4. 若隨機變量，則（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】由二項分布的方差公式即可求解.
【詳解】由題意可得.
故選：B.
5. 已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可，
【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，，
所以.
故選：A.
6 已知直線和圓，則直線l與圓C（ ）
A. 相切B. 相離
C. 相交D. 相交且過圓心
【答案】A
【解析】
【分析】計算直線到圓心的距離，將這個距離和半徑比較即可.
【詳解】由圓，可得圓心，半徑，
則圓心到直線的距離為，即，
所以直線與圓相切.
故選：A.
7. 甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（ ）
A. 12種B. 24種C. 36種D. 48種
【答案】B
【解析】
【分析】分別考慮甲站在排頭或排尾再結(jié)合捆綁法，求解即可.
【詳解】若甲站在排頭，則丙和丁相鄰，則共有種方法，
若甲站在排尾，則丙和丁相鄰，則共有種方法，
則共有：種方法.
故選：B.
8. 如圖，某顆人工智能衛(wèi)星的運行軌道近似可看作以地心為一個焦點且離心率為的橢圓，地球可看作半徑為R的球體，近地點離地面的距離為r，則遠(yuǎn)地點離地面的距離l為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓離心率以及衛(wèi)星近地點離地面的距離列方程,求解得出橢圓的長半軸和半焦距，即可求得答案.
【詳解】由題意，不妨以橢圓中心為坐標(biāo)原點，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則橢圓方程為，
則，且，解得，，
故該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點離地面的距離為，
又，所以.
故選：D.
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的性質(zhì)與計算公式一一判定即可.
詳解】根據(jù)組合數(shù)公式可知，顯然兩式相等，故A正確；
根據(jù)排列數(shù)公式可知，故B正確；
易知，顯然兩式不等，故C錯誤；
，顯然兩式相等，故D正確.
故選：ABD
10. 已知雙曲線的焦距為，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確的有（ ）
A. C的離心率為
B. C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C. C的漸近線方程為
D. C的虛半軸長為
【答案】BC
【解析】
【分析】由雙曲線的焦距可求出，再由兩條漸近線的夾角可得，然后依次判斷個選項即可.
【詳解】由題意知，焦距，，又因為雙曲線的漸近線方程為，且兩條漸近線的夾角為，所以，又，所以，
所以雙曲線C的離心率為，故A錯誤；
雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B正確；
雙曲線C的漸近線方程為，故C正確；虛半軸長，故D錯誤；
故選：BC.
11. 設(shè)兩條不同直線的方向向量分別是，平面的法向量是，則（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用空間向量研究空間位置關(guān)系一一判定選項即可.
【詳解】對于A項，由，為不同的直線，可知，且，
則，故A錯誤；
對于B項，若，則且，
又為不同的直線，所以，故B正確；
對于C項，若，則且，又，所以，故C正確；
對于D項，若，則，所以，故D正確.
故選：BCD
12. 在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，發(fā)送0時，收到1的概率為0.1，收到0的概率為0.9；發(fā)送1時，收到0的概率為0.2，收到1的概率為0.8．下列說法正確的有（ ）
A. 若在信道內(nèi)依次發(fā)送信號1，0，則收到的信號為1，0的概率為0.02
B. 若在信道內(nèi)依次發(fā)送信號1，0，則收到的信號為0，0的概率為0.18
C. 若在信道內(nèi)依次發(fā)送信號0，1，則收到的信號為1，0的概率為0.02
D. 若收到的信號為1，1，則在信道內(nèi)依次發(fā)送的信號為1，0的概率為0.09
【答案】BC
【解析】
【分析】由獨立乘法公式即可判斷ABC，由條件概率即可判斷D.
【詳解】對于A，所求概率為，故A錯誤；對于B，所求概率為，故B正確；
對于C，所求概率為，故C正確；對于D，所求概率為，故D錯誤.
故選：BC.
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 圓的半徑為________．
【答案】
【解析】
【分析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出答案.
【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得：
.
所以圓的半徑為.
故答案為：.
14. 二項式的展開式中，項的系數(shù)是______．
【答案】80
【解析】
【分析】根據(jù)二項式定理，寫出通項，根據(jù)展開項的概念，建立方程，可得答案.
【詳解】展開式的通項公式為，．
令，解得，則項的系數(shù)是．
故答案為：.
15. 如圖，在四面體OABC中，點M、N分別為線段OA、BC的中點，若，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的基底表示，再借助空間向量基本定理求解即得.
【詳解】在四面體中，由分別為線段的中點，
得，
而，由空間向量基本定理得：，
所以.
故答案為：.
16. 過拋物線的焦點F分別作兩條相互垂直的直線，，若直線與拋物線C交于，兩點，直線與拋物線C交于，兩點，且，則四邊形ADBE的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出兩直線的方程，求出、，表示出四邊形面積，即可得出答案.
【詳解】拋物線的焦點，
因為和的橫坐標(biāo)相同且在拋物線上，易知關(guān)于x軸對稱且夾角為，
所以直線的斜率為，則直線的斜率為，顯然直線和的斜率都存在，
則設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消元得，則，
即，同理，
所以四邊形的面積為：，
故答案為：.
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知兩點．
（1）求直線的斜率和傾斜角；
（2）求直線在軸上的截距．
【答案】（1），
（2）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由直線的斜率公式計算可得的值，進而分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論求出直線的方程，據(jù)此分析可得答案．
【小問1詳解】
根據(jù)題意，直線的斜率為，傾斜角為，
由兩點，得斜率，
則，即．
【小問2詳解】
由（1）知，直線的斜率，則其方程為，
即，令，則直線在軸上的截距為1．
18. 為了檢測產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)從甲、乙兩條生產(chǎn)線上分別抽取200件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標(biāo)值，質(zhì)量指標(biāo)值的范圍為．根據(jù)該產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的產(chǎn)品為“優(yōu)等品”，否則為“非優(yōu)等品”．抽樣統(tǒng)計后得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）將下面的列聯(lián)表補充完整；
（2）根據(jù)獨立性檢驗的思想，判斷能否有99%的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關(guān)．
附：，其中．
【答案】（1）列聯(lián)表見解析；
（2）沒有99%的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關(guān).
【解析】
【分析】（1）由題中信息容易完善列聯(lián)表；
（2）根據(jù)，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
依題意可列聯(lián)表如下表所示：
【小問2詳解】
由（1）知，
所以沒有99%的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關(guān).
19. 某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．
（1）求進行3局比賽決出冠亞軍的概率；
（2）若甲以領(lǐng)先乙時，記表示比賽結(jié)束時還需要進行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】
【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結(jié)果；
（2）利用分布列步驟求解并求得期望.
【小問1詳解】
甲3局全勝的概率為,
乙3局全勝的概率為，
進行3局比賽決出冠亞軍的概率為
【小問2詳解】
的可能取值為1，2，
，
，
故的分布列為：
故．
20. 某地區(qū)響應(yīng)“節(jié)能減排，低碳生活”的號召，開展系列的措施控制碳排放．環(huán)保部門收集到近5年內(nèi)新增碳排放數(shù)量，如下表所示，其中x為年份代號，y（單位：萬噸）代表新增碳排放量．
（1）請計算并用相關(guān)系數(shù)的數(shù)值說明與間具有較強的線性相關(guān)性（若，則線性相關(guān)程度較高）；
（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此估計該地區(qū)年的新增碳排放．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，，．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為，，．
【答案】（1），線性相關(guān)程度較高
（2），估計該地區(qū)年的新增碳排放萬噸
【解析】
【分析】（1）通過計算相關(guān)系數(shù)來確定正確答案.
（2）根據(jù)回歸方程的求法求得回歸方程，并由此作出預(yù)測.
【小問1詳解】
依題意，
，
所以，所以線性相關(guān)程度較高.
【小問2詳解】
，
，
所以，
當(dāng)時，萬噸.
21. 如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面.（2）分別取中點，連接，以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法計算即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：
取中點，連接，
因為正三棱柱，
所以，且，
因為為線段的中點，
所以且.
所以且，
因為為中點，所以.
所以且.
所以四邊形是平行四邊形.
所以.
又因為平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
解：
分別取中點，連接，
因為是正三棱柱，
所以，平面，.
所以平面.
所以，.
以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則.
所以.
設(shè)平面的法向量為，
所以，即，
令，解得，所以.
設(shè)直線與平面所成角為，，
則，
所以.
即直線與平面所成角為.
22. 已知橢圓的離心率為，右焦點為，斜率不為0的直線l與C交于A，B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過點（點A在點B，Q之間），直線BF與C的另一個交點為D，求證：點A，D關(guān)于x軸對稱．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，即可證明.
【小問1詳解】
由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
證明：要證點A，D關(guān)于x軸對稱，需證，即證，
不妨設(shè)直線方程為，，
聯(lián)立，消去可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
因為
，
所以，故點A，D關(guān)于x軸對稱.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了直線與橢圓相交問題，難度較大，解得本題的關(guān)鍵在于合理設(shè)出直線的方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理代入計算.
質(zhì)量指標(biāo)值
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
4
9
15
32
76
64
乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
6
7
22
45
67
53
優(yōu)等品
非優(yōu)等品
合計
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
合計
0.050
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
優(yōu)等品
非優(yōu)等品
合計
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
140
60
200
乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
120
80
200
合計
260
140
400
1
2
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代號
1
2
3
4
5
新增碳排放萬噸
6.1
5.2
4.9
4
3.8

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