考生注意：
1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知等比數(shù)列的首項，公比為q，記（），則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
2．已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．函數(shù)的最大值是（ ）
A．B．C．D．4
4．已知為橢圓上的點，分別為橢圓的左?右焦點，橢圓的離心率為，的平分線交線段于點，則（ ）
A．2B．C．D．
5．已知分別為橢圓的左頂點和左焦點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的點，若直線交線段于，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．在三棱錐中，，，是的中點，滿足，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙、丙、丁、戊5名同學進行校園廚藝總決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍.”對乙說：“你和甲的名次相鄰.”從這兩個回答分析，5人的名次排列情況種數(shù)為（ ）
A．54B．48C．42D．36
8．下列命題中，真命題的是（ ）
A．若回歸方程，則變量與正相關(guān)
B．線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好
C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為18
D．若，則
二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且點到平面的距離為，則（ ）
A．該圓錐的體積為B．直線與平面所成的角為
C．二面角為D．直線與所成的角為
10．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．在上單調(diào)遞增
D．若函數(shù)在上沒有零點，則
11．如圖，在四棱柱中，底面是正方形，，且，則（ ）
A．B．
C．D．直線與平面所成的角為
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12．設(shè)函數(shù) ，則滿足的的取值范圍為 .
13．已知是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，為坐標原點.當時，，則 .
14．位于坐標原點的一個點按下述規(guī)則移動：每次只能向下或向左移動一個單位長度，且向左移動的概率為.那么移動5次后位于點的概率是 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）已知函數(shù)，在時最大值為1，最小值為0.設(shè).
(1)求實數(shù)m，n的值；
(2)若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.
16．（15分）平面直角坐標系 中，單位圓與 軸正半軸交于點 ，角 的終邊與單位圓的交點 位于第二象限.
(1)若弧的長為，寫出的坐標，并計算扇形 的面積；
(2)角的終邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn) 后恰與角的終邊重合，若，求 的值.
17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面為的中點，．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
18．（17分）已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若斜率為的直線經(jīng)過右焦點，與雙曲線的右支相交于，兩點，雙曲線的左焦點為，求的周長.
19．（17分）在2019中國北京世界園藝博覽會期間，某工廠生產(chǎn)三種紀念品，每一種紀念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表:（單位:個）
現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀念品中抽取200個，其中種紀念品有40個.
(1)求的值；
(2)用分層抽樣的方法在種紀念品中抽取一個容量為5的樣木，從樣本中任取2個紀念品，求至少有1個精品型紀念品的概率；
(3)從種精品型紀念品中抽取5個，其某種指標的數(shù)據(jù)分別如下：，把這5個數(shù)據(jù)看作一個總體，其均值為10，方差為2，求的值.
參考答案
一、單項選擇題
1．【答案】C
【解析】由題意，，
，當時，對于不一定恒成立，例如；當為遞減數(shù)列時，且對于恒成立，
又因為，所以得，
因此“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件，
故選：C.
2．【答案】B
【解析】因為函數(shù)有兩個零點，令，可得，
即與的圖象有兩個交點，
由可得，或.
①當時，函數(shù)的圖象如圖所示，
此時存在使得與有兩個交點，滿足題意，故滿足題意；
②當時，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不符合題意；
③當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意；
④當時，單調(diào)遞增，故不符合題意；
⑤當時，函數(shù)的圖象如圖所示，此時存在使得與有兩個交點.
綜上可得，或.
故選：B.
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
3．【答案】B
【解析】由，解得，故的定義域為.
設(shè)，
則，
其中，，
∵，則，
∴當，即時，
取最大值，即函數(shù)的最大值是.
故選：B.
4．【答案】A
【解析】因為的平分線交線段于點，所以，
由正弦定理得，，.
又因為，，
所以，即.
不妨設(shè)，則，解得，
所以.
故選：A.
5．【答案】B
【解析】
由題意得，設(shè)，又，
所以，即，解得，
即，又由三點共線得.
所以，整理得，所以.
故選：B.
6．【答案】D
【解析】解：三棱錐中，由于，，則三棱錐可以補在長方體，
則設(shè)長方體的長寬高分別為，則，
解得，如圖以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
所以，則，，
所以，
則異面直線，所成角的余弦值為.
故選：D.
7．【答案】C
【解析】由題意，第一種情況：乙是冠軍，則甲在第二位，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況；
第二種情況：先從丙、丁、戊中選1人為冠軍，再排甲，乙兩人，再把甲和乙捆綁與其他人排列，共有種；
綜上可得共有種不同的情況.
故選：C.
8．【答案】D
【解析】因為，所以變量與負相關(guān)，故A錯誤；
在線性回歸分析中越大，則模型擬合效果越好，故B選項錯誤；
若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故C選項錯誤；
因為，所以，所以，所以，故D正確.
故選：D
二、多項選擇題
9．【答案】BCD
【解析】取線段的中點，連接，過作，垂足為，
易知，又，面，
所以面，又面，
所以，又，且，面，
所以面，所以線段的長為點到平面的距離，
即，
對于A：在等腰三角形中，，，
所以，
所以該圓錐的體積為，A錯誤；
對于B：由面可得直線與平面所成的角為，
在直角三角形中，，所以，B正確；
對于C：由面可得二面角的平面角為，
在直角三角形中，，所以，C正確；
對于D：取線段的中點，連接 ，
明顯有，
則直線與所成的角為或其補角，
因為，則，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，，
所以，D正確.
故選：BCD.
10．【答案】BD
【解析】依題意，可得，又，則，所以，
結(jié)合五點法作圖，可得，則，所以，
對于A，，顯然是偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；
對于C，當時，，函數(shù)取得最大值，
所以在上不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯誤；
對于D，因為，則，
因為，當時，，
因為在上沒有零點，
可得，解得，故D正確，
故選：BD.
11．【答案】BD
【解析】對于選項A: 在四棱柱中，
易得,，
所以，故選項A錯誤；
對于選項B:因為,所以
所以，即,故選項B正確；
對于選項C: 由,
所以
所以,故選項C錯誤；
對于選項D:取的交點,連接,
因為底面是正方形，且，
所以,所以，
所以,
因為,
所以,
所以，即.
因為面，
所以面.
所以為在面的投影，即為直線與平面所成的角.
在中，易得，所以,故選項D正確.
故選：BD.
三、填空題
12．【答案】
【解析】，則 的定義域為 ；
又，故為偶函數(shù)；
當時，，
又在上都是單調(diào)增函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
因為，所以，解得，
故的取值范圍為.
故答案為：.
13．【答案】
【解析】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，
過作準線的垂線，過作的垂線，垂足分別為．如圖所示，
由題意知，因為，易知，
又點到準線的距離為：，解得，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，
故答案為：.
14．【答案】
【解析】因為向左移動的概率為，所以向下移動的概率為，
由題意得必須向左移動4次，向下移動1次，
所以所求的概率為.
故答案為：
四、解答題
15．（13分）【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由可知，函數(shù)關(guān)于對稱，又，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
可得，即，
解得，.
（2）易知，
所以即為，
可化為，
令，即；
則關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解等價為于關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，，
需滿足，解得；
所以實數(shù)a的取值范圍為.
16．（15分）【答案】(1)，，
(2)
【解析】（1）的長為，，解得，
若點位于第二象限，且在單位圓上，設(shè)，扇形的面積為，
故有，，故，
結(jié)合扇形面積公式得，
（2）易知角的終邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后恰與角的終邊重合，
故，即.
17．（15分）【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）連接交于，連接，
側(cè)面為平行四邊形，
為的中點，
又為的中點，
,
平面平面，
所以平面；
（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，
，
設(shè)平面的法向量為，則即，
取，則，
，
到平面的距離.
18．（17分）【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）拋物線的焦點坐標為，則雙曲線的半焦距，由，得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，直線的方程為，設(shè)，，
由，得，顯然，
則，，，
因此，
所以的周長為.
19．（17分）【答案】(1)400
(2)
(3)4
【解析】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的紀念品數(shù)為
現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀念品中抽取200個，其中種紀念品有40個，
則，解得
（2）設(shè)所抽取的樣本中有個精品型紀念品，則，解得
所以，容量為5的樣本中，有2個精品型紀念品，3個普通型紀念品.
因此，至少有1個精品型紀念品的概率為
（3）由題意可得，得
由于總體的方差為2，則，可得
所以，紀念品
紀念品
紀念品
精品型
100
150
普通型
300
450
600

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