浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題卷規(guī)定的位置上.
2.答題時，請按照答題卷上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題卷相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，若，則的值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用等比數(shù)列求和公式求解即可.
【詳解】由等比數(shù)列求和公式得.
故選：D.
2. 己知向量，則的值是（）
A. B. C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】由于，
則，
于是.
故選：B
3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A. ,B. ,C. ,D. ,
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解.
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，由得，
即，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
故選：A.
4. 直線的傾斜角的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由直線方程得到斜率，再由斜率可得傾斜角的范圍.
【詳解】直線的斜率為，
由于，設(shè)傾斜角為，
則，，
所以.
故選：B.
5. 已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的命題是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】由空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：對于A：若，則或或與相交，故A錯誤；
對于B：要得到，則需要與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，只有得不到，故B錯誤；
對于C：若，則或與相交，故C錯誤；
對于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正確；
故選：D
6. 如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高分析可得新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，由此可得，由圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為，
新幾何體表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，
若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，
即
所以圓柱的側(cè)面積為.
故選：A.
7. 設(shè)橢圓與橢圓的離心率分別為，若，則（）
A. 的最小值為B. 的最小值為
C. 的最大值為D. 的最大值為
【答案】D
【解析】
【分析】由橢圓的離心率，結(jié)合橢圓的性質(zhì)及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解．
【詳解】已知橢圓與橢圓的離心率分別為，，
又，
則，，
則，
設(shè)，，
則根據(jù)對勾函數(shù)知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
則,，
則，
即的最大值為，無最小值．
故選：D．
8. 已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是.接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)，.且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么是（）
A 83B. 87C. 91D. 95
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意進(jìn)行分組，然后分組求和即可.
【詳解】根據(jù)題意將數(shù)列分組，第一組為第一項(xiàng)是，
第二組為為第二項(xiàng)和第三項(xiàng)是，，
依次類推，第組為，，，…，
第組含有項(xiàng)，
所以第組的和為：，
前組內(nèi)一共含有的項(xiàng)數(shù)為：，
所以前組內(nèi)的項(xiàng)數(shù)和為：，
若該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.，只需將消去即可；
若，則，，
不滿足；
若，則，，
不滿足；
若，則，，
滿足；
故滿足如條件的最小整數(shù)為95.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）
9. 已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）
A. 直線過定點(diǎn)B. 線段長的最大值為6
C. 線段長的最小值為4D. 面積的最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】由直線系方程求得直線恒過定點(diǎn)判斷A，當(dāng)直線過圓圓心時，線段最長，判斷B，當(dāng)直線AB與過原點(diǎn)和點(diǎn)的直線垂直時，弦長AB最短，判斷C，的面積取得最大值時，判斷D.
【詳解】直線即直線，
聯(lián)立，解得，，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)直線過圓圓心時，線段最長，為圓的直徑，等于6，故B正確；
當(dāng)直線AB與過原點(diǎn)和點(diǎn)的直線垂直時，弦長AB最短，
因?yàn)樵c(diǎn)C到點(diǎn)的距離為，
此時，故C正確；
因?yàn)?，所以的面積取得最大值時，
此時，故D錯誤.
故選：ABC.

10. 如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體，且該八面體的各棱長均相等，則（）
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 直線與平面所成角的正弦值是
D. 平面與平面夾角的余弦值是
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，需證平面CDE與平面CDE；取中點(diǎn)，所以為二面角的平面角，求出此二面角不是直二面角，可判斷B；同理為二面角的平面角，可判定D;對于C，先證平面BEDF，故即為直線AE與平面BDE所成的角，求解即可.
【詳解】連接AC交BD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，
由對稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面CDE，平面，所以平面，
同理平面，又，AF，平面，
所以平面平面，A正確；
取中點(diǎn)，連接，則，
所以為二面角平面角，
設(shè)該八面體的棱長為，則，
所以，
所以二面角不是直二面角，則平面與平面不垂直，
而平面平面，所以平面與平面也不垂直，B錯誤；
同理，取中點(diǎn)，連接，為二面角的平面角，
，所以平面與平面夾角的余弦值是，D正確；
由，，得，在正方形ABCD中，，
平面BEDF，平面BEDF，又，所以平面BEDF，
所以即為直線AE與平面BDE所成的角，
設(shè)該八面體的棱長為2，則，
所以，所以，C錯誤.
故選：AD.
11. 設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)（）
A. 當(dāng)時，直線的斜率為1
B. 當(dāng)時，線段的長為8
C. 當(dāng)時，符合條件的直線有兩條
D. 當(dāng)時，符合條件的直線有四條
【答案】BD
【解析】
【分析】由點(diǎn)差法得，由此判斷A、B正確；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r判斷是否符合要求，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，由直線與圓切于得必在直線上，根據(jù)給定的求出位置，根據(jù)是否在拋物線內(nèi)部判斷C、D是否正確.
【詳解】對A，如圖,設(shè),,
則,兩式相減得,.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r,，則有,
又,所以.
當(dāng)時，，故A錯誤；
對B，由，得,
即，因此，即必在直線上.
當(dāng)時，，點(diǎn)，直線的方程為，恰好過拋物線焦點(diǎn)，
故，故B正確；
對C，將代入,得，由在拋物線內(nèi)部得，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以,
當(dāng)時，，解得，與矛盾，
此時的斜率為的直線不存在，
如圖：

當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，符合條件的直線只有一條，為，故C錯誤；
對D，當(dāng)時，，解得，符合，

此時的斜率為的直線有兩條，為和，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r,符合條件的直線也有兩條，為和，故D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦問題，并結(jié)合直線與圓相切問題.
12. 生態(tài)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)種群數(shù)量較少時，種群近似呈指數(shù)增長，而當(dāng)種群增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學(xué)上提出了著名的邏輯斯諦模型：，其中是正數(shù)，表示初始時刻種群數(shù)量，r表示種群的內(nèi)秉增長率，K表示環(huán)境容納量，近似刻畫t時刻的種群數(shù)量.下面判斷正確的是（）
A. 如果，那么存在
B. 如果，那么對任意
C. 如果，那么存在在t點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
D. 如果，那么的導(dǎo)函數(shù)在上存在最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】解方程，求出，即可判斷A,利用作差法比較大小即可判斷B；
求導(dǎo)，結(jié)合，，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，即可判斷C；二次求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而得到極值和最值，進(jìn)而判斷D.
【詳解】由可得，
當(dāng)時，，
令，解得：，
因?yàn)闉榉N群的內(nèi)秉增長率，，所以，A正確；
，
因?yàn)椋?，所以?br>故對任意的，，B正確；
，
因?yàn)椋敲慈我獾?，在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)恒成立，故C錯誤；
令，
則，
因?yàn)椋?br>令得：，解得：，
令得：，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
那么的導(dǎo)函數(shù)在上存在極大值，也是最大值，D正確．
故選:ABD．
三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
13. 已知直線和，若，則_______.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行，則兩直線斜率相等，得到，解出即可.
【詳解】直線的斜率為，，
直線的斜率，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.
故答案為：2.
14. 己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_______.
【答案】28
【解析】
【分析】借助等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可得.
【詳解】.
故答案為：28.
15. 已知圓臺的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為6，圓臺的體積為，且它的兩個底面圓周都在球O的球面上，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知根據(jù)圓臺的體積公式，求出圓臺的高，再利用球的內(nèi)接圓臺構(gòu)造直角三角形利用勾股定理，建立方程，求出的長，從而求出的值.
【詳解】設(shè)圓臺的高為h，依題意，解得．
設(shè)，則，解得，
故．
故答案為：.
16. 已知三棱錐的體積為是空間中一點(diǎn)，，則三棱錐的體積是_______.
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算可得，再由空間向量基本定理可得，即可得到結(jié)果.
詳解】
因?yàn)?，則，
即，
即，所以，
因?yàn)椋煽臻g向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，
使得成立，即，
所以，即，則，
又三棱錐的體積為15，
則.
故答案為：10
17. 己知曲線和，點(diǎn)分別在曲線上，記點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，則的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線定義可得，其中，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，為的焦點(diǎn)，
點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，
則，
則，
又，
設(shè)，
則，令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
所以，
故
則，
即的最小值是.
故答案為：.
18. 如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標(biāo)平面的第一象限（每個圓與相鄰的圓外切或與坐標(biāo)軸相切），若斜率為3的直線將8個圓分成面積相等的兩部分，則直線的方程是_______.

【答案】
【解析】
【分析】過、的直線平分四個圓可實(shí)現(xiàn)兩個區(qū)域面積相等，由此可確定直線的方程.
【詳解】當(dāng)過的直線將圓與圓區(qū)域平分，過的直線將圓與圓區(qū)域平分時，
將8個圓劃分為面積相等的兩個區(qū)域且，
直線的方程為：，即直線。
故答案為：.

四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19. 已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.
（1）求圓的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）借助垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算可得點(diǎn)的坐標(biāo)，借助兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得半徑，即可得圓的方程；
（2）借助點(diǎn)斜式設(shè)出切線方程，結(jié)合切線定義計(jì)算即可得.
【小問1詳解】
線段的垂直平分線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，
由，解得，
圓的半徑，
圓的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)過點(diǎn)P的直線為，即，
圓心到直線的距離，解得或，
直線方程為或.
20. 己知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；
（2）若函數(shù)有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；
（2）由題意可得是函數(shù)的一個零點(diǎn)，故方程有兩個不同的非零實(shí)數(shù)根，令，則可轉(zhuǎn)化為求的范圍問題，即可得a的取值范圍.
【小問1詳解】
，則，又，
所以的切線方程為；
【小問2詳解】
，
故是函數(shù)的一個零點(diǎn)，
由題意可知，方程有兩個不同的非零實(shí)數(shù)根，
顯然不合題意，
令，則，
設(shè)，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故，
又時，，時，，
故，即.
21. 己知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用變形整理可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.
【小問1詳解】
由題意知：且，
兩式相減，可得，
，可得，
又，當(dāng)時，，即，
解得或（舍去），所以，
從而，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
由，
可得
，
所以.
22. 如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，平面，為中點(diǎn).
（1）求平面與平面夾角的余弦值；
（2）設(shè)點(diǎn)N在直線上，若的面積是，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通過說明兩兩垂直，以為軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角；
（2）先根據(jù)面積求出點(diǎn)N點(diǎn)到的距離，然后利用向量法通過點(diǎn)線距離公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由已知在中，
，
，
又四邊形是平行四邊形，，
取中點(diǎn)H，則，
，，兩兩垂直，
以為軸建立直角坐標(biāo)系，
則為邊上的高，
，
，
M為中點(diǎn)，，
，
設(shè)平面的法向量為，
，
，取，
設(shè)平面的法向量為，
，取，
平面與平面夾角余弦值為；
【小問2詳解】
設(shè)，則；
，
，設(shè)N點(diǎn)到的距離為d，
則，
，
，即，
.
另解：，設(shè)N點(diǎn)到的距離為d，
則，
，
延長至E，使得，則且，
又平面，所以平面，
而平面，，所以E點(diǎn)即為N點(diǎn)，.
23. 已知雙曲線，點(diǎn)，直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn).
（1）若的重心在直線上，求k的值；
（2）若直線過雙曲線C的右焦點(diǎn)F，且直線的斜率之積是，求的面積.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及重心坐標(biāo)公式可得重心坐標(biāo)，代入中即可求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)斜率公式，即可代入化簡求解斜率，由弦長公式以及點(diǎn)到直線距離公式即可求解面積.
【小問1詳解】
設(shè)，聯(lián)立方程，即，
，
又的重心為，由題設(shè)，
即
，.
所以，則.
【小問2詳解】
由題設(shè)，直線，聯(lián)立方程即，
，則，
，代入化簡得，
所以或（過M點(diǎn)舍），直線為，代入雙曲線得，
，而M點(diǎn)到的距離為d，則，
.

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