考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。
4.試卷滿分150分，考試時間120分鐘。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.集合與之間的關(guān)系是( )
A.B.C.D.
2.已知,（e為自然對數(shù)的底數(shù)）,比較a,b,c的大小( )
A.B.C.D.
3.設(shè)函數(shù)，若有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.B.C.D.
4.某校校慶日為每年5月4日，根據(jù)氣象統(tǒng)計資料，這一天吹南風的概率為，下雨的概率為，吹南風或下雨的概率為，則既吹南風又下雨的概率為( )
A.B.C.D.
5.為了得到函數(shù)的圖象,只要將函數(shù)圖象上所有點的( )
A.橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,再把得到的圖象向右平移個單位長度
B.橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,再把得到的圖象向左平移個單位長度
C.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再把得到的圖象向右平移個單位長度
D.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再把得到的圖象向左平移個單位長度
6.已知直線,,若,則實數(shù)( )
A.1B.3C.1或3D.0
7.如圖，某圓錐SO的軸截面SAC是等邊三角形，B是底面圓周上的一點，且，M是SA的中點，則異面直線AB與CM所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8.千年寶地,一馬當先.2023年10月15日7時30分,吉利銀河.2023寶雞馬拉松賽在寶雞市行政中心廣場鳴槍開跑,比賽吸引了全國各地職業(yè)選手及路跑愛好者共2萬人的熱情參與.為確?；顒禹樌e行,組委會自起點開始大約每隔5公里設(shè)置一個飲水站(志愿者為選手遞送飲料或飲用水,為選手提供能量補給),兩個飲水站中間設(shè)置一個用水站(志愿者為選手遞送濕毛巾等,協(xié)助醫(yī)務(wù)工作者),共15個飲用水服務(wù)點,分別由含甲,乙在內(nèi)的15支志愿者服務(wù)隊負責,則甲隊和乙隊服務(wù)類型不同且服務(wù)點不相鄰的概率為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9.已知，，，則下列說法正確的是( )
A.B.C.D.
10.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則( )
A.圓錐的母線長為3
B.圓錐的表面積為
C.圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為
D.若一螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周回到點A，則爬行的最短距離為
11.已知二項式的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是，則下列說法正確的是( )
A.所有項的系數(shù)之和為1B.所有項的系數(shù)之和為-1
C.含的項的系數(shù)為240D.含的項的系數(shù)為-240
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12.已知是函數(shù)的零點,則_______________.
13.已知復(fù)數(shù)w滿足（i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，且z滿足不等式，則點Z構(gòu)成的平面圖形的面積為__________.
14.在平面直角坐標系xOy中，過雙曲線的右焦點F的直線在第一、第二象限交E的兩漸近線分別于M，N兩點，且.若，則雙曲線E的離心率為____________.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知函數(shù)的最小正周期為T.若,且的圖象關(guān)于直線對稱.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.
16.（15分）已知兩個定點，，如果動點P滿足.
(1)求點P的軌跡方程并說明該軌跡是什么圖形；
(2)若直線分別與點P的軌跡和圓都有公共點，求實數(shù)k的取值范圍.
17.（15分）如圖,在中,點D在邊BC上,.
（1）若,,,求AB；
（2）若是銳角三角形,,求的取值范圍.
18.（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，O，E分別是，的中點，平面經(jīng)過點O，D，E與棱交于點F.
（1）試用所學知識確定F在棱上的位置；
（2）若，，求與平面所成角的正弦值.
19.（17分）已知雙曲線的右焦點,漸近線方程.
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A,B兩點,交y軸于點P,若,,求證:為定值；
（3）在（2）的條件下,若點Q是點P關(guān)于原點O的對稱點,求面積的取值范圍.
參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.答案：C
解析：當時，；當時，，所以.
2.答案：D
解析：由三角函數(shù)線可得：不等式,
則,
又函數(shù)為增函數(shù),為減函數(shù),
則,
所以,綜上所述：,故選：D.
3.答案：C
解析：當時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，
當時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，
作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，
觀察圖象知，當時，函數(shù)的圖象與直線有3個交點，
所以有三個不同的實數(shù)根，實數(shù)k的取值范圍是.
故選：C.
4.答案：B
解析：記吹南風為事件A，下雨為事件B，因為，所以既吹南風又下雨的概率為，故選B.
5.答案：D
解析：,
對選項A:得到的函數(shù)為,錯誤；
對選項B:得到的函數(shù)為,錯誤；
對選項C:得到的函數(shù)為,錯誤；
對選項D:得到的函數(shù)為,正確；
故選:D
6.答案：A
解析：因為,所以,
解得:或,
當時,,,兩直線平行,滿足題意,
當時,,,兩直線重合,舍,
所以.故選:A.
7.答案：C
解析：以O(shè)為坐標原點，過點O且垂直于平面SAC的直線為x軸，直線OC，OS分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設(shè)，
則，，，，
所以，，
設(shè)異面直線AB與CM所成的角為，則.故選C.
8.答案：B
解析:由題意,,故共有飲水站8個,用水站7個,
分別設(shè)為,,
其中任取2個飲用水服務(wù)點安排給甲,乙,共有種不同的安排方法,
甲隊和乙隊服務(wù)類型不同且服務(wù)點不相鄰的時,可以分別取一個飲水站和一個用水站安排給甲,乙共有,再減去其中甲,乙相鄰的情況,相鄰時,
共有,,,…,,14種情況,故甲隊和乙隊服務(wù)類型不同且服務(wù)點相鄰的安排方法為,即滿足甲隊和乙隊服務(wù)類型不同且服務(wù)點不相鄰的安排方法有種,由古典概型可知,
故選:B
二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9.答案：AC
解析：由已知得，，兩式分別平方相加得，整理得，故A正確，B錯誤；
，，，，，故C正確，D錯誤.故選AC.
10.答案：BD
解析：設(shè)圓錐的母線長為l，則以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為，圓錐的側(cè)面積，因為圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時，圓錐本身滾動了3周，所以圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，，解得，所以圓錐的母線長為9，故A，C錯誤；圓錐的表面積，故B正確；如圖為圓錐沿SA的側(cè)面展開圖，連接，則三角形為等腰三角形，所以螞蟻爬行的最短距離為，故D正確.
11.答案：AC
解析：二項式的展開式的通項為，因為它第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是，所以，求得，故通項公式為.令，求得，故的系數(shù)為，今代入.故所有項的系數(shù)之和為1.
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12.答案：2
解析：
所以,即,或.
則.
13.答案：
解析：，.，點Z構(gòu)成的平面圖形為一個圓環(huán)，其中大圓是以為圓心，2為半徑的圓，小圓是以為圓心，1為半徑的圓，點Z構(gòu)成的平面圖形的面積為.
14.答案：
解析：如圖，設(shè)，，因為，易知，，所以；又，所以，在直角中，利用勾股定理可得，所以，求得(負值舍去)，也即，所以可得離心率為.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）答案：(1),
(2)最小值為2,最大值為3
解析：（1）∵,
由函數(shù)的最小正周期T滿足,得,解得,
又因為函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱,所以,
所以,,所以,所以,
由,,得,
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,.
（2）, ,,
由,當或時,,
當時,
16.（15分）答案：(1)，軌跡是以為圓心，半徑為2的圓
(2).
解析：(1)設(shè)，由，則，
化簡得：；
P的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓.
(2)直線l與圓相切或相交，
即圓心到直線的距離不大于半徑：，解得，
直線l與圓相切或相交，
即圓心到直線的距離不大于半徑：，解得，
綜上，直線分別與P的軌跡和圓都有公共點時，
實數(shù).
17.（15分）答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中,由余弦定理得,
即,而,解得,則,
在中,,由余弦定理得.
（2）在銳角中,,,且,則,
由正弦定理得,
顯然,即有,因此,即,
所以的取值范圍是.
18.（17分）答案：（1）F在棱的靠近B的三等分點處
（2）
解析：（1）如圖，過P作直線l與平行，延長與l交于點G，連接交于點F.因為底面是矩形，O是的中點，所以，且.
因為，所以.
因為E是的中點，所以，所以.
又因為，且，所以.
故F在棱的靠近B的三等分點處.
（2）因為，O是的中點，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
取的中點Q，連接，易知，，兩兩垂直.
如圖，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，.設(shè)平面的法向量為，
則即
則，令，則，所以.
.（另解：，，故）設(shè)與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
19.（17分）答案：（1）
（2）見解析
（3）
解析：（1）依題意,,漸近線方程.
所以,又因為,解得:,,
所以雙曲線C的方程為.
（2）由（1）知,雙曲線C的漸近線方程為,
依題意,直線l的斜率k存在,且,
設(shè)直線l的方程為:,,,
由,消去x并整理得:,設(shè),,
則,,
而點,則,,
因為,則有,即,同理,
所以,為定值.
（3）由（2）知,點,,,
因為,令,而函數(shù)在上單調(diào)遞減,即,
因此,所以.
所以三角形QAB的面積的取值范圍.

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