河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚．
2．每道選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無(wú)效．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知直線l：和圓，則“”是“直線l與圓C相切”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
2. 若，，則（）
A. B. C. D.
3. 定義函數(shù)，設(shè)區(qū)間的長(zhǎng)度為，則不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和為（）
A. 5B. 6C. D.
4. 如圖，在二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若，則線段CD的長(zhǎng)為（）
A. B. 16C. 8D.
5. 在中，，，邊上的中線，則的面積S為( )
A. B. C. D.
6. 設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)為圓任一點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. 2C. 3D. 4
7. 已知A細(xì)胞有0.4的概率會(huì)變異成細(xì)胞，0.6的概率死亡；細(xì)胞有0.5的概率變異成A細(xì)胞，0.5的概率死亡，細(xì)胞死亡前有可能變異數(shù)次．下列結(jié)論成立的是（）
A. 一個(gè)細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.75
B. 一個(gè)細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是細(xì)胞概率為0.2
C. 一個(gè)細(xì)胞為細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.35
D. 一個(gè)細(xì)胞為細(xì)胞，其死亡前是細(xì)胞的概率為0.7
8. 已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A. 408B. 672C. 840D. 1200
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分．
9. 已知，則（）
A. 圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 的值域?yàn)?br>C. 區(qū)間上有33個(gè)零點(diǎn)
D. 若方程在（）有4個(gè)不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 若有極小值，則
B. 若在上單調(diào)遞增，則
C. 對(duì)任意的存在唯一零點(diǎn)
D. 若恒成立，則
11. 甲袋中有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，乙袋中有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩袋中取出2個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)袋子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為、，方差為、，則下列結(jié)論正確的是（）
A B.
C. D.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．
12. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.
13. 作高為8的正四面體的內(nèi)切球，在這個(gè)球內(nèi)作內(nèi)接正四面體，然后再作新四面體的內(nèi)切球，如此下去，則前個(gè)內(nèi)切球的半徑和為______．
14. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)M、N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，則C的離心率為______.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面積為，求.
16. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，，.
（1）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；
（2）若，設(shè)直線與平面，平面所成的角分別為，求的最大值.
17. 已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，滿足．
（1）求拋物線E的方程；
（2）若在拋物線E上，過的直線交拋物線E于M，N兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在，分別記為，，求的值．
18. 為了更好地做好個(gè)人衛(wèi)生，某市衛(wèi)生組織對(duì)該市市民進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)試卷競(jìng)答，制定獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：試卷滿分為100分，成績(jī)?cè)诜謨?nèi)的市民獲二等獎(jiǎng)，成績(jī)?cè)诜謨?nèi)的市民獲一等獎(jiǎng)，其他成績(jī)不得獎(jiǎng)．隨機(jī)抽取了50名市民的答題成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．
（1）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取2名市民的成績(jī)，求這2名市民中恰有1名市民獲獎(jiǎng)的概率．
（2）若該市所有市民的答題成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：
①若該市某小區(qū)有3000名市民參加了試卷競(jìng)答，試估計(jì)成績(jī)不低于93分的市民數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從該市所有參加了試卷競(jìng)答的市民中（參加試卷競(jìng)答市民數(shù)大于300000）隨機(jī)抽取4名市民進(jìn)行座談，設(shè)其中競(jìng)答成績(jī)不低于69分的市民數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
19. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2024學(xué)年鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二年級(jí)（下）期末考試
數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚．
2．每道選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無(wú)效．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知直線l：和圓，則“”是“直線l與圓C相切”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線和圓相切求得的值，由此求得正確答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
若直線與圓相切，
則，解得.
所以“”是“直線l與圓C相切的充要條件.
故選：C
2. 若，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷B選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，判斷D選項(xiàng).
【詳解】A：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以為增函?shù)，
又因?yàn)?，則有，所以A錯(cuò)誤；
B：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以為增函?shù)，
又因?yàn)?，則有，所以B錯(cuò)誤；
C：因，所以，又，則，
構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不單調(diào)，
所以無(wú)法判斷與的值的大小，C錯(cuò)誤；
D：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，
有，D正確.
故選：D.
3. 定義函數(shù)，設(shè)區(qū)間的長(zhǎng)度為，則不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和為（）
A. 5B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)的圖象，記的三個(gè)零點(diǎn)為，則解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和為，對(duì)函數(shù)進(jìn)行通分再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)，利用對(duì)應(yīng)相等即可得解.
【詳解】
畫出的圖象，記的三個(gè)零點(diǎn)為，
則解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和為，
通分得，
記①，
的三個(gè)零點(diǎn)為，則②，
對(duì)比①②兩式中的系數(shù)得，，故區(qū)間長(zhǎng)度總和.
故選：B
4. 如圖，在二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若，則線段CD的長(zhǎng)為（）
A. B. 16C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別過點(diǎn)、點(diǎn)作、的平行線相交于點(diǎn)，連接，則由題意可知為等邊三角形，為直角三角形，求解即可.
【詳解】分別過點(diǎn)、點(diǎn)作、的平行線相交于點(diǎn)，連接，
則四邊形為平行四邊形.
線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB.
，則為二面角的平面角，即
，如圖所示.
為等邊三角形，
，，，平面，平面
平面
又平面
在中
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查空間的距離問題，屬于中檔題.
5. 在中，，，邊上的中線，則的面積S為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接，根據(jù)可得面積等于的面積，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．
【詳解】如圖所示，
延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接，
又∵，∴(SAS)，
∴的面積等于的面積．
在中，由余弦定理得，
又，則，
∴．
故選：C．
6. 設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)為圓任一點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值問題即可得到答案.
【詳解】因?yàn)?，則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
則，即，
所以，則要使其最小，則需最小，
因?yàn)閳A的圓心為，半徑，
所以.
故選：C.
7. 已知A細(xì)胞有0.4的概率會(huì)變異成細(xì)胞，0.6的概率死亡；細(xì)胞有0.5的概率變異成A細(xì)胞，0.5的概率死亡，細(xì)胞死亡前有可能變異數(shù)次．下列結(jié)論成立的是（）
A. 一個(gè)細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.75
B. 一個(gè)細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是細(xì)胞的概率為0.2
C. 一個(gè)細(xì)胞為細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.35
D. 一個(gè)細(xì)胞為細(xì)胞，其死亡前是細(xì)胞的概率為0.7
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)n次為（A或B）細(xì)胞的概率為，可知次為細(xì)胞概率，設(shè)n次為A細(xì)胞的概率為，為B細(xì)胞的概率為，則n次細(xì)胞死亡的概率，對(duì)于AB：可知，結(jié)合等比數(shù)列求相應(yīng)概率，代入條件概率公式分析求解；對(duì)于CD：可知，結(jié)合等比數(shù)列求相應(yīng)概率，代入條件概率公式分析求解.
【詳解】設(shè)n次為（A或B）細(xì)胞的概率為，則一次變異不為細(xì)胞，兩次變異為細(xì)胞，
可知次為細(xì)胞概率，
設(shè)n次為A細(xì)胞的概率為，為B細(xì)胞的概率為，則n次細(xì)胞死亡的概率，
對(duì)選項(xiàng)AB：若一個(gè)細(xì)胞為A細(xì)胞，可知奇數(shù)次為A細(xì)胞，偶數(shù)次為B細(xì)胞，
則，
可得，，
則A細(xì)胞死亡的概率為，B細(xì)胞死亡的概率為，
可得細(xì)胞死亡的概率為，
所以其死亡前是A細(xì)胞的概率為，其死亡前是細(xì)胞的概率為，
故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)CD：若一個(gè)細(xì)胞為B細(xì)胞，可知奇數(shù)次為B細(xì)胞，偶數(shù)次為A細(xì)胞，
則，
可得，，
則A細(xì)胞死亡的概率為，B細(xì)胞死亡的概率為，
可得細(xì)胞死亡的概率為，
所以其死亡前是A細(xì)胞的概率為，其死亡前是細(xì)胞的概率為，
故CD錯(cuò)誤；
故選：A.
8. 已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A. 408B. 672C. 840D. 1200
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到和，再分組求和，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，
所以
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相加，得，
所以
．
當(dāng)時(shí)，．
由，
兩式相減，得，
所以，
所以．
故.
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分．
9. 已知，則（）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 的值域?yàn)?br>C. 在區(qū)間上有33個(gè)零點(diǎn)
D. 若方程在（）有4個(gè)不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，從而可對(duì)A判斷；由題意可得，則為的一個(gè)周期，不妨討論內(nèi)的值域情況，從而可對(duì)B判斷；令，可得或，即（），從而可對(duì)C判斷；根據(jù)分情況討論得到，，從而可對(duì)D判斷.
【詳解】對(duì)A：由，
所以，則圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；
對(duì)B：由，
因?yàn)?，所以的一個(gè)周期為，
不妨討論一個(gè)周期的值域情況，
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因?yàn)?，所以，則，則；
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因?yàn)?，所以，則，則，
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因?yàn)?，所以，則，則，
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因，所以，則，則，
綜上所述，故B正確；
對(duì)C：，令得或，可得（），
所以，，所以在上有31個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
則在上有2個(gè)實(shí)根，，且與關(guān)于對(duì)稱，所以；
當(dāng)時(shí)，則在上沒有實(shí)根，
則在上有2個(gè)實(shí)根，，且與關(guān)于對(duì)稱，且，
且，，
當(dāng)時(shí)，則在上沒有實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)根，但只需有4個(gè)零點(diǎn)，
所以，又因?yàn)椋?br>所以的取值范圍是，故D錯(cuò)誤，
故選：AB．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 若有極小值，則
B. 若在上單調(diào)遞增，則
C. 對(duì)任意的存在唯一零點(diǎn)
D. 若恒成立，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，當(dāng)時(shí)求函數(shù)的極值判斷，對(duì)于B，由題意可得在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可，對(duì)于C，由，得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性進(jìn)行分析判斷，對(duì)于D，由，得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其在上單調(diào)遞增，則有，再轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.
【詳解】對(duì)于A，，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，故A錯(cuò)誤．
對(duì)于B，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
所以，即．
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故B正確．
對(duì)于C，令，則．
令，則，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即存在唯一零點(diǎn)，故C正確．
對(duì)于D，由，得，
即．令，則．
，令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以，所以?br>令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，所以，故D正確．
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合問題，考查函數(shù)的極值問題，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
11. 甲袋中有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，乙袋中有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩袋中取出2個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)袋子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為、，方差為、，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】依題意可知不管如何交換紅球個(gè)數(shù)始終只有5個(gè)，易知，利用期望值和方差性質(zhì)可得A，D正確，C錯(cuò)誤；易知隨機(jī)變量的所有可能取值為，寫出對(duì)應(yīng)的概率并得出分布列，可得，，可得B正確.
【詳解】根據(jù)題意，記甲、乙兩個(gè)袋子中紅球個(gè)數(shù)分別為，
不管如何交換紅球個(gè)數(shù)始終只有5個(gè)，易知，
對(duì)于A，由期望值性質(zhì)可得，即，所以A正確；
對(duì)于B，易知隨機(jī)變量的所有可能取值為；
當(dāng)從甲袋中取出2個(gè)紅球，乙袋中取出2個(gè)黃球后交換，可得
，
當(dāng)從甲袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，乙袋中取出2個(gè)黃球后交換，或者從甲袋中2個(gè)紅球，乙袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黃球后交換，可得
；
當(dāng)從甲袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，乙袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黃球；或者從甲袋中取出2個(gè)紅球，乙袋中取出取出2個(gè)紅球；或者從甲袋中取出2個(gè)黃球，乙袋中取出取出2個(gè)黃球后交換，可得
；
當(dāng)從甲袋中取出2個(gè)黃球，乙袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黃球；或者從甲袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，乙袋中取出取出2個(gè)紅球后交換，可得
；
當(dāng)從甲袋中取出2個(gè)黃球，乙袋中取出2個(gè)紅球后交換，可得
，
隨機(jī)變量的分布列為
所以期望值，
可得，即，可得B正確；
對(duì)于C，D，由方差性質(zhì)可得，即可得，所以C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意可得隨機(jī)變量滿足，利用期望值和方差性質(zhì)可判斷出AD選項(xiàng)，再求出隨機(jī)變量的分布列可得結(jié)論.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．
12. 若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)的定義域?yàn)?轉(zhuǎn)化為恒成立,然后通過分類討論和兩種情況分別求得a的取值范圍，可得解.
【詳解】的定義域?yàn)?，是使在?shí)數(shù)集上恒成立.
若時(shí),要使恒成立,則有且,
即,解得.
若時(shí)，化為，恒成立，所以滿足題意，
所以
故答案為：.
13. 作高為8的正四面體的內(nèi)切球，在這個(gè)球內(nèi)作內(nèi)接正四面體，然后再作新四面體的內(nèi)切球，如此下去，則前個(gè)內(nèi)切球的半徑和為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征分析可知，設(shè)第個(gè)內(nèi)切球的半徑為，可知是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】對(duì)于邊長(zhǎng)為的正四面體，
設(shè)正四面體的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，高為，
令為正三角形的中心，為正四面體的中心，
則，且平面，
可知，
因?yàn)?，，且?br>即，解得，
可知，
設(shè)第個(gè)內(nèi)切球的半徑為，第個(gè)外接球的半徑為，
則，，可得，
可知是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，
所以前個(gè)內(nèi)切球的半徑和為.
故答案為：.
14. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)M、N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，則C的離心率為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)幾何分析確定四邊形為矩形，根據(jù)勾股定理構(gòu)造齊次式即可求出離心率.
【詳解】依題意，作圖如下，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為的中點(diǎn)，
且為的中點(diǎn)，，所以四邊形為矩形，
由，設(shè)
由橢圓的定義知，解得：
所以
整理得：，因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面積為，求.
【答案】（1）
（2）2，2
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得解；
（2）由三角形面積公式及余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
，
由正弦定理可得：，
，
，
即，
，，
，.
【小問2詳解】
由題意，，
所以，
由，
得，
所以，解得：.
16. 如圖，在四棱錐中，底面直角梯形，平面平面，，，.
（1）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；
（2）若，設(shè)直線與平面，平面所成的角分別為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，證明出為等腰直角三角形，由面面垂直得到線面垂直，得到兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；
（2）表達(dá)出，從而得到，表達(dá)出，求出最值.
【小問1詳解】
連接，因?yàn)?，所以?br>又，，所以四邊形為菱形，
又，故菱形為正方形，
故，由勾股定理得，
因?yàn)?，所以?br>由勾股定理逆定理得⊥，故為等腰直角三角形，
取的中點(diǎn)，連接，則⊥，
因平面平面，交線為，平面，
所以⊥平面，
又，所以⊥，，故兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故，
故，
設(shè)二面角的大小為，由圖形可知，為銳角，

故二面角的余弦值；
【小問2詳解】
由（1）知，.
所以，
平面ABCD的一個(gè)法向量為，
由（1）知，平面PAD的一個(gè)法向量為，
所以
，
所以當(dāng)，即時(shí)，有最大值.
17. 已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，滿足．
（1）求拋物線E的方程；
（2）若在拋物線E上，過的直線交拋物線E于M，N兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在，分別記為，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)的直線方程為：，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)，可得，求出，即可得解；
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)的直線為，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再利用斜率公式化簡(jiǎn)整理即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)不成立，
設(shè)的直線方程為：，，，
聯(lián)立，消去x得，
則恒成立，
故，
又，，故，
又，則，
故，解得，
故拋物線E的方程是；
【小問2詳解】
因?yàn)?，在拋物線上，故，則，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)不成立，
設(shè)的直線為，，，
聯(lián)立，消去x得：，
則，，
因?yàn)?，?br>則，
故的值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
18. 為了更好地做好個(gè)人衛(wèi)生，某市衛(wèi)生組織對(duì)該市市民進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)試卷競(jìng)答，制定獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：試卷滿分為100分，成績(jī)?cè)诜謨?nèi)的市民獲二等獎(jiǎng)，成績(jī)?cè)诜謨?nèi)的市民獲一等獎(jiǎng)，其他成績(jī)不得獎(jiǎng)．隨機(jī)抽取了50名市民的答題成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．
（1）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取2名市民的成績(jī)，求這2名市民中恰有1名市民獲獎(jiǎng)的概率．
（2）若該市所有市民的答題成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：
①若該市某小區(qū)有3000名市民參加了試卷競(jìng)答，試估計(jì)成績(jī)不低于93分的市民數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從該市所有參加了試卷競(jìng)答的市民中（參加試卷競(jìng)答市民數(shù)大于300000）隨機(jī)抽取4名市民進(jìn)行座談，設(shè)其中競(jìng)答成績(jī)不低于69分的市民數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】（1）
（2）①該市某小區(qū)參加試卷競(jìng)答成績(jī)不低于93分的市民數(shù)約為68；②分布列見解析，2
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出抽取的50名市民中有8人獲獎(jiǎng)，42人沒有獲獎(jiǎng)，再利用組合知識(shí)求出古典概型的概率；
（2）①計(jì)算出樣本平均數(shù)的估計(jì)值，得到X近似服從正態(tài)分布，利用原則，求出特殊區(qū)間的概率和對(duì)應(yīng)的市民數(shù)；
②求出，得到分布列，計(jì)算出期望值.
【小問1詳解】
由樣本頻率分布直方圖，得樣本中獲一等獎(jiǎng)的有（人），獲二等獎(jiǎng)的有（人），所以有8人獲獎(jiǎng)，42人沒有獲獎(jiǎng)．
從該樣本中隨機(jī)抽取2名市民的成績(jī)，樣本點(diǎn)總數(shù)為．設(shè)抽取的2名市民中恰有1名市民獲獎(jiǎng)為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．
由古典概型概率計(jì)算公式，得，所以抽取的2名市民中恰有1名市民獲獎(jiǎng)的概率為．
【小問2詳解】
由樣本頻率分布直方圖，得樣本平均數(shù)的估計(jì)值．
故該市所有參加試卷競(jìng)答的市民成績(jī)X近似服從正態(tài)分布．
①因?yàn)?，所以?br>，故該市某小區(qū)參加試卷競(jìng)答成績(jī)不低于93分的市民數(shù)約為68．
②由，得，即從該市所有參加試卷競(jìng)答的市民中隨機(jī)抽取1名市民，其成績(jī)不低于69分的概率為，所以隨機(jī)變量．
隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．
，，
，，
，
隨機(jī)變量的分布列如下：
所以．
19. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）（2）見解析（3）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)，分別求出與，即可得切線方程，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
∴，
∴函數(shù)的圖象無(wú)論為何值都經(jīng)過定點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，.
，，，
則切線方程為，即.
在時(shí)，如果，
即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；
如果，
即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.
（3），.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
，不恒成立.
當(dāng)時(shí)，設(shè)，.
∵的對(duì)稱軸為，，
∴在上單調(diào)遞增，且存在唯一，
使得.
∴當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增.
∴在上的最大值.
∴，得，
解得.
點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
P

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