（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）
命題人：宋健 范繼榮 李建新 鄒勇泉
審題人：吳春勝 唐咸勝 韓兵
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】由直線的方程可得直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)傾斜角與斜率之間的關(guān)系得到直線的傾斜角．
【詳解】由直線的方程可得直線的斜率為：，
所以直線的傾斜角的度數(shù)為：60°．
故選：C．
2. 橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，則實(shí)數(shù)k的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)離心率列式計(jì)算即可.
【詳解】由已知得，則，
所以，解得.
故選：B.
3. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，解得，
所以.
故選：A.
4. 設(shè)，若圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓心距離與半徑和與差的關(guān)系列不等式求解.
【詳解】圓，圓心為，半徑為，
圓，圓心為，半徑為，
若圓與圓有公共點(diǎn)，
則，又，所以.
故選：D
5. 斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距均為4m，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距、均為16m，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，計(jì)算即可得答案.
【詳解】，
，
故，
則，
故選：D.
6. 已知函數(shù)在處取得極小值1，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)極值定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
因?yàn)樵谔幦〉脴O小值1，
所以有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故滿足題意，
于是有.
故選：C
7. 不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由得，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
故由得，
所以，解得.
故選：B.
8. 已知直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)T為軸上的動(dòng)點(diǎn).若的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，可得，代入計(jì)算即可求出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，
聯(lián)立，消去得，
則，
因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
所以，即，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，
所以
，
解得或.
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8
B. 橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為6
C. 雙曲線上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為
D. 雙曲線上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1
【答案】AC
【解析】
【分析】利用橢圓和雙曲線的定理逐個(gè)判斷即可.
【詳解】對于A：橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，正確；
對于B：橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為，B錯(cuò)誤；
對于C：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為，這里，所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，C正確；
對于D：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為，這里，所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為或，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知點(diǎn)在圓C：上，點(diǎn)，，則（ ）
A. 直線與圓相切
B. 點(diǎn)到直線的距離小于7
C. 當(dāng)最大時(shí)，
D. 的最小值小于15°
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解判斷A；根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離最值，判斷BD；根據(jù)直線與圓相切時(shí)最大，從而判斷C.
【詳解】對于A：圓：的圓心，半徑，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，
可知直線與圓相離，A錯(cuò)誤；
對于B：因?yàn)閳A心到直線的距離，
所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為，B正確；
對于C：當(dāng)直線與圓相切（圖中位置）時(shí)，最大，
此時(shí)，C正確；
對于D：直線與圓相切（圖中位置）時(shí)，最小，
由，
又
得，
又，
可得，
又，
因?yàn)椋?br>所以，又為銳角，
所以，D正確
故選：BCD.
11. 若數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的通項(xiàng)，則（ ）
A.
B. 數(shù)列的前項(xiàng)和
C. 若，則數(shù)列的前項(xiàng)和
D. 若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則不存在正整數(shù)，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用來判斷A；利用等比數(shù)列求和公式判斷B；利用裂項(xiàng)相消法判斷CD.
【詳解】對于A：數(shù)列的前項(xiàng)和，
當(dāng)時(shí)，
又時(shí)，，符合，
所以，A正確；
對于B：，B錯(cuò)誤；
對于C：，
所以，C正確；
對于D：因?yàn)椋?br>所以，
令，可得，
令，則，
故數(shù)列為遞減數(shù)列，又，
所以無正整數(shù)解，D正確
故選：ACD.
12. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)
D. 當(dāng)函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷選項(xiàng)的對錯(cuò).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
令，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以 ，
對于A：當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，A正確；
對于B：當(dāng)時(shí)，，
令，有，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，作出圖象如下圖：
又，所以方程必有個(gè)根，
即必有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，B正確；
對于CD：當(dāng)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或，
所以或，
將或代入得
或，
解得或，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，比如零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化方程根的個(gè)數(shù)，或者函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 直線被圓截得的弦長為____________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用圓的弦長公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，
又由圓心到直線，可得，
所以直線截圓所得的弦長為.
故答案為：.
14. 雙曲線的一條漸近線是曲線的切線，則的值為____________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切點(diǎn)的兩重性：切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，即可求解.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為的坐標(biāo)為，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，其導(dǎo)函數(shù)，
故在點(diǎn)處的切線斜率，由雙曲線知，其漸近線方程，
由得，此條漸近線方程為，所以，得，
因切點(diǎn)也在漸近線上，故，所以的坐標(biāo)為，
所以，得.
故的值為.
故答案為：.
15. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則_____________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組求得的值，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，，可得，解得?br>所以，所以，
所以.
故答案為：.
16. 如圖1所示，套娃是一種木制玩具，一般由多個(gè)相同結(jié)構(gòu)的空心木娃一個(gè)套一個(gè)組成，套娃的截面可近似看成由圓和橢圓的一部分組成.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，圓A：的圓心是橢圓的上頂點(diǎn)，半徑是橢圓的短半軸長，則橢圓的離心率為______________；若動(dòng)直線與圓的上半部分和橢圓的下半部分分別交于B，C兩點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值為____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先由題意求出，進(jìn)而可得離心率，然后將代入圓的方程和橢圓方程可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出的面積，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性可得取最大值時(shí)的值.
【詳解】圓A：的圓心為，半徑為，
即橢圓的上頂點(diǎn)為，橢圓的短半軸長，
設(shè)橢圓方程為，
則，
所以離心率，
所以橢圓方程為，
將代入圓的方程和橢圓方程，不妨取，可得，，
則，
設(shè)，則，
令，
則，
設(shè)，為銳角，
令，得，，
令，得，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，
此時(shí)，
則
故答案為：；.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17. 已知直線：，：，其中為實(shí)數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求直線，之間的距離；
（2）當(dāng)時(shí)，求過直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)兩直線平行的公式計(jì)算出，再由兩直線間的距離公式求解即可；
（2）求出兩直線的交點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式求解即可.
【小問1詳解】
由得，解得，
此時(shí)直線：，：，不重合，
則直線，之間的距離為；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，：，
聯(lián)立，解得，
又直線斜率為，
故過直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為，
即.
18. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線上一點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，，.
（1）求拋物線的方程；
（2）求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，列出等式求出即可求得拋物線方程；
（2）根據(jù)拋物線方程求出點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程求得兩根之和，根據(jù)拋物線定義即可得，再求出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形面積公式即可求得面積值。
【小問1詳解】
解：由題知A為拋物線上一點(diǎn)，所以，
解得，故拋物線方程為；
小問2詳解】
由（1）知，拋物線方程為，
所以，，，
所以，，即，
因?yàn)橹本€交拋物線另一點(diǎn)為，
記點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
聯(lián)立，可得：，
所以，所以，
而點(diǎn)到直線的距離，
所以.
19. 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，其中.
（1）求的值和的方程；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1）；
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2），求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可.
【小問1詳解】
由已知
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線的斜率為1，
所以，解得，又
所以切線方程為，即；
【小問2詳解】
令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
整理得，
所以，即.
20. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為.條件①；條件②；條件③；條件④.從上面四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使數(shù)列、存在且唯一確定.
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）考慮選①②，①③，②③數(shù)列、均不唯一確定，必須選④，考慮①④，②④，③④，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求解；
（2）由數(shù)列的分組求和以及等差等比的求和公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
若選①②，選①③，選②③，數(shù)列、均不唯一確定，故必須選④，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，
由，可得時(shí)，，
兩式相減可得，
即，由于為常數(shù)，故必有，
若選①④，可得時(shí)，，解得，
所以；
若選②④，，數(shù)列、不唯一確定；
若選③④，，可得，則，此時(shí)等比數(shù)列不存在.
綜上：；
【小問2詳解】
，
則
.
21. 已知雙曲線：過點(diǎn)，離心率為.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線左支于點(diǎn)，平行于的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，直線的斜率為.若四邊形為平行四邊形，證明：為定值.
【答案】（1）
（2）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，，將代入直線可得，聯(lián)立直線與橢圓方程得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得；聯(lián)立方程和漸近線方程求出，得到，由題易得，即，聯(lián)立求出的關(guān)系式，再由定義表示出，將所有未知量全部代換成即可求證.
【小問1詳解】
因?yàn)殡p曲線：過點(diǎn)，離心率為，
所以有；
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
直線的方程為，，
將代入直線得，即，
聯(lián)立，得，
得，即，，
因?yàn)樵诘谝幌笙?，雙曲線漸近線方程為，
聯(lián)立，得，即，
聯(lián)立，得即，
所以，
因?yàn)?，所以，所以①?br>又②，
①②得，，
所以，
所以，
因?yàn)?br>所以，為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22. 已知函數(shù)，，.
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，
（i）求的范圍；
（ii）求證：.
【答案】（1）
（2）（i）;（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）在上恒成立，參變分離，轉(zhuǎn)化為最值求解即可；
（2）（i），求出其單調(diào)區(qū)間即可求解；（ii）將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求其最小值即可.
【小問1詳解】
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
令，
則，
由得，由得，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
即的取值范圍為；
【小問2詳解】
（i）令，，
則，
令得，令得，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，
又關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，
所以的范圍為；
（ii）由（i）知，
要證，即證，即證
令，則，
則在上恒成立，
所以上單調(diào)遞增，又，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①對于不等式的證明，一般通過構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)最值來證明；②對于求導(dǎo)一次不能解決問題的，可再求一次導(dǎo)來解決.

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