考生注意：
1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 實數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C D.
2. 已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個實根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
7. 設無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（ ）
A. 不可能有無數(shù)個元素
B. 當且僅當時，只有1個元素
C. 當只有2個元素時，這2個元素的乘積有可能為
D. 當時，最多有個元素，且這個元素的和為0
8. 已知函數(shù)，若總存在兩條不同直線與函數(shù)，圖象均相切，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9. 已知則可能滿足的關(guān)系是（）
A. B. C. D.
10. 如圖，設是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.若在坐標系中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 與夾角為
11. 已知橢圓的左焦點為，為的上頂點，，是上兩點．若，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則（ ）
A. 最大值是
B. 當時，
C. 當，在軸的同側(cè)時，的最大值為
D. 當，在軸的異側(cè)時（，與不重合），
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 若，恒成立，則a的取值范圍是__________．
13. 若對于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個閉區(qū)間上均有兩個零點，則正實數(shù)的最小值是__________.
14. 體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設學生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學期望，則的取值范圍是______
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15 設函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）令的最小值為，正數(shù)滿足，證明：．
16. 如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．

（1）求證：；
（2）若，在棱上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
17. 某學校共有1000名學生參加知識競賽，其中男生400人，為了解該校學生在知識競賽中的情況，采取分層抽樣隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，分數(shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：
將分數(shù)不低于750分的學生稱為“高分選手”．
（1）求的值，并估計該校學生分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內(nèi)的兩組學生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“高分選手”的學生人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；
18. 已知拋物線的準線與軸相交于點，過拋物線焦點的直線與相交于兩點，面積的最小值為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）若過點的動直線交于，兩點，試問拋物線上是否存在定點，使得對任意的直線，都有.若存在，求出點的坐標；若不存在，則說明理由.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若a＞0，記為的零點，．
①證明：；
②探究與的大小關(guān)系．2024學年鄭州市宇華實驗學校高三下學期開學摸底考試數(shù)學
考生注意：
1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 實數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性知；利用對數(shù)復合函數(shù)的性質(zhì)推得，從而得解.
【詳解】由，得，即，所以；
由，得，
因為，
所以，即；
綜上，.
故選：D.
2. 已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個實根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恰有3個實根，再根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識列出不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，
由，即，在區(qū)間上恰有3個實根，
則，解得.
故選：D
3. 在四面體中，，，且，則該四面體外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設條件作出四面體高，通過相關(guān)條件推理計算分別求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.
【詳解】
如圖，作平面，連接，易得因，平面，
所以平面，平面，故,
由題可得，，則.
不妨設，則有①，
在中，由余弦定理，，在中，②，
將兩式相減化簡即得：，.
取線段中點，過點作平面，其中點為外接球的球心，設外接球半徑為，
由余弦定理求得，
在直角梯形中，，由計算可得：，則該四面體的外接球表面積為.
故選：B.
【點睛】方法點睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.
求解多面體的外接球的主要方法有：
（1）構(gòu)造模型法:即尋找適合題意的長方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；
（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設中的條件得到多面體的高，構(gòu)成直角梯形或直角三角形來求解.
4. 已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等變換整理得，結(jié)合最值可得，解得，，代入即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得：
，
則，解得，
且為第一象限角，則，
故.
故選：D.
5. 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)確定，從而可得，從而用向量數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】設等腰△ABC在邊上的高為，
因為，所以，
所以,所以，
所以
.
故選:B.
6. 已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得方程為，以及，代入直線方程求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.
【詳解】如圖所示，由橢圓，得到左頂點，
又由過點且斜率為的直線，可得方程為，
因為為等腰直角三角形，且，可得，
代入直線，可得，整理得，
所以橢圓的離心率為.
故選：A.

7. 設無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（ ）
A. 不可能有無數(shù)個元素
B. 當且僅當時，只有1個元素
C. 當只有2個元素時，這2個元素的乘積有可能為
D. 當時，最多有個元素，且這個元素的和為0
【答案】D
【解析】
【分析】對于，選項，可取特殊數(shù)列驗證即可；對于可假設成立，結(jié)合圖象推出與已知矛盾；對于，結(jié)合正弦函數(shù)的周期，即可判斷.
【詳解】選項，取，則，由，因為是無窮等差數(shù)列，正弦函數(shù)是周期為的函數(shù)，所以在每個周期上的值不相同，故錯誤；
選項，取，即，則，只有一個元素，故錯誤；
選項，假設只有2個元素，，這2個元素的乘積為，如圖可知當?shù)扔诨驎r，顯然不是等差數(shù)列，與已知矛盾，故錯誤；
選項，當時,
，
，
，
，
，
，，所以最多有個元素，
又因為正弦函數(shù)的周期為，數(shù)列的公差為，
所以把周期平均分成份，所以個元素的和為0，故正確.
故選:.
【點睛】方法點睛：本題考查等差數(shù)列與正弦函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合，采用特例法，數(shù)形結(jié)合的方法判斷.
8. 已知函數(shù)，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設函數(shù)，的切點坐標分別為，，根據(jù)導數(shù)幾何意義可得，結(jié)合題意可知方程有兩個不同的實根，則設，求導確定其單調(diào)性與最值情況，即可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可知：，
設函數(shù)上的切點坐標為，函數(shù)上的切點坐標為，
且，，則公切線的斜率，可得，
則公切線方程為，
代入得，
代入可得，整理得，
令，則，
若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則方程有兩個不同的實根，
設，則，
令，解得；令，解得；
則在內(nèi)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可得，
且當x趨近于時，趨近于；當x趨近于時，趨近于，
可得，解得，故實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及公切線問題一般先設切點坐標，根據(jù)切線相同得到方程組，將雙變量方程轉(zhuǎn)化為單變量方程，再參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點問題，即可求出參數(shù)的取值范圍.
二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9. 已知則可能滿足的關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用指數(shù)運算法則可得，結(jié)合基本不等式，對選項逐個分析，可得到結(jié)果.
【詳解】由，可得，，
∴，，
∴，即，
∴，
依題意知為不相等的正數(shù)，∴，
∴，解得，
∴，故AB正確；
又，
∵，而，∴，
即，故C正確；
∵∴，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】本題考查基本不等式的應用，考查指數(shù)冪的運算法則與性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.
10. 如圖，設是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.若在坐標系中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 與的夾角為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)對應的坐標是的坐標，進而可得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的公式，模長公式及夾角公式可得結(jié)果.
【詳解】選項A：
，故A錯誤，C正確；
選項B：
，故B正確；
選項D：因為
，
，
所以，
因為，所以，故D正確；
故選：BCD.
11. 已知橢圓的左焦點為，為的上頂點，，是上兩點．若，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則（ ）
A. 的最大值是
B. 當時，
C. 當，在軸的同側(cè)時，的最大值為
D. 當，在軸的異側(cè)時（，與不重合），
【答案】ABC
【解析】
【分析】由題可得，根據(jù)橢圓的焦半徑的取值范圍可判斷A，根據(jù)結(jié)合橢圓方程可求坐標，然后根據(jù)余弦定理可判斷B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合基本不等式及斜率公式可判斷CD.
【詳解】因為橢圓，
所以，，，
又，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則，
不妨設，由題可知，則的最大值是，故A正確；
當時，，設，
則，解得，不妨取，
設，則，解得，
所以或，
當時，又，，此時；
當時，，，
所以，，
綜上，當時，，故B正確；
設橢圓的右焦點為，則，，，，，
當，在軸的同側(cè)時，則，關(guān)于軸對稱，設，則，
所以，由，
所以，當且僅當時取等號，所以的最大值為，故C正確；
當，在軸的異側(cè)時（，與不重合），則，關(guān)于原點對稱，
設，則，由，可得，
所以，故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 若，恒成立，則a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】可得恒成立，分類討論：①當時，不恒成立，②時，由題意可得，解不等式可求的范圍.
【詳解】解：由恒成立可得恒成立，
①當時，不恒成立，故舍去；
②當時，由題意可得，解得，，
綜上可得，，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題的求解，解題中要注意考慮二次項系數(shù)是否為0，
13. 若對于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個閉區(qū)間上均有兩個零點，則正實數(shù)的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)整體法可得零點滿足，即可利用時，，求解符合條件的結(jié)合周期性驗證所求滿足其他區(qū)間即可.
【詳解】令,則，
函數(shù)的零點
，
當時，，此時符合條件的兩個零點為故，
故，解得，
當 時，的零點為，
因此零點為，結(jié)合三角函數(shù)周期性可知：滿足每個閉區(qū)間上恰好有兩個零點。
故答案為：
14. 體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設學生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學期望，則的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】分別求得，，，利用期望的公式，求得，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.
【詳解】由題意，可得，，
所以期望為，
令，即，解得或，
又由，可得，即的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）令的最小值為，正數(shù)滿足，證明：．
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）把函數(shù)分段表示出，再分段解不等式即得.
（2）求出函數(shù)的最小值，再變形并利用基本不等式推理即得.
【小問1詳解】
依題意，函數(shù)，
當時，化為，解得，因此，
當時，化為，解得，因此，
當時，化為，解得，無解，
所以不等式的解集為.
【小問2詳解】
由（1）知，當時，，當時，，當時，，
因此，則，，即有，
顯然，當且僅當時取等號，
因此，即，
所以.
16. 如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．

（1）求證：；
（2）若，在棱上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定推理即得.
（2）作，建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法求解即得.
【小問1詳解】
在三棱柱中，由平面，平面，得，
在平面內(nèi)過作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，則有，
顯然平面，因此平面，又平面，
所以.
【小問2詳解】
過點作，由，得，
由（1）知平面，平面，則，即直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
由，得，，
假定在棱上存在一點，使二面角的余弦值為，
令，則，，
設平面的一個法向量，則，
令，得，顯然平面的一個法向量，
依題意，，解得，即，
所以在棱上存在一點，使二面角的余弦值為，.
17. 某學校共有1000名學生參加知識競賽，其中男生400人，為了解該校學生在知識競賽中的情況，采取分層抽樣隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，分數(shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：
將分數(shù)不低于750分的學生稱為“高分選手”．
（1）求的值，并估計該校學生分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內(nèi)的兩組學生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“高分選手”的學生人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；
【答案】（1），平均數(shù)670，中位數(shù)650，眾數(shù)600
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖中頻率和為1可求得,由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解
（2）由頻率分布直方圖知從，中抽取7人，從，中抽取3人，隨機變量的所有可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；
【小問1詳解】
由題意知，
解得，
樣本平均數(shù)，
由于，故中位數(shù)650，
眾數(shù)600．
【小問2詳解】
由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，
隨機變量的所有可能取值有0，1，2，3．
，
所以隨機變量的分布列為：
隨機變量的數(shù)學期望．
18. 已知拋物線的準線與軸相交于點，過拋物線焦點的直線與相交于兩點，面積的最小值為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）若過點的動直線交于，兩點，試問拋物線上是否存在定點，使得對任意的直線，都有.若存在，求出點的坐標；若不存在，則說明理由.
【答案】（1）
（2）存在定點；理由見解析
【解析】
【分析】（1）設直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，求得，進而求得的值，得到拋物線；
（2）假設存在定點，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達定理，得到，，結(jié)合，求得點的坐標.
【小問1詳解】
由拋物線，可得，準線為，則，
易知直線斜率不為零，設直線的方程為，且，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，
可得，
所以面積，
當時，取最小值，
因為面積的最小值為，所以，解得，
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知拋物線，假設存在定點，易知直線的斜率不為零，
設直線的方程為，且，，則，，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，，
因為，可得，
因為，
所以，即，
當時，即時，恒成立，所以存在定點.
.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若a＞0，記為的零點，．
①證明：；
②探究與的大小關(guān)系．
【答案】（1）答案見解析
（2）①證明見解析；②．
【解析】
【分析】（1）求導討論和兩種情況，根據(jù)導數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.
（2）①證明：由在上單調(diào)遞增，，，分別構(gòu)造，，利用導數(shù)研究兩個函數(shù)的單調(diào)性進而求得，，證得結(jié)果；②利用導數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即證得
，由的單調(diào)性即可證得結(jié)果.
【小問1詳解】
．
當時，單調(diào)遞增；當時，令
在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
①證明：在上單調(diào)遞增，
要證：證
而
令，
，
在上單調(diào)遞減，．
，
令，則
在上單調(diào)遞增，．
．
②
在上單調(diào)遞增，
．
【點睛】思路點睛：本題利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，，分別構(gòu)造，，利用導數(shù)研究兩個函數(shù)的單調(diào)性通過求得，，得出.0
1
2
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