【考點(diǎn)題型一】兩種計(jì)數(shù)原理綜合
方法點(diǎn)撥：
1、用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在最開始計(jì)算之前進(jìn)行仔細(xì)分析—需要分類還是需要分步；
2、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)；
3、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。
【例1】（23-24高二上·陜西渭南·期末）一個(gè)三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物8本，英語類讀物9本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（ ）
A．3種 B．504種 C．24種 D．12種
【變式1-1】（23-24高二下·甘肅武威·開學(xué)考試）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過景點(diǎn)，所以甲不選景點(diǎn)，則不同的選法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
【變式1-2】（23-24高二下·重慶·月考）有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有（ ）種.
A．81 B．64 C．24 D．4
【變式1-3】（2024·江蘇徐州·一模）中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【考點(diǎn)題型二】排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算
方法點(diǎn)撥：
1、排列數(shù)公式：
2、組合數(shù)公式：（，且）
【例2】（23-24高二上·河南·月考）（多選）下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）（多選）若，為正整數(shù)且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（23-24高二上·陜西渭南·月考）（多選）排列數(shù)恒等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：．
（2）己知，求x．
【考點(diǎn)題型三】排列組合之排數(shù)問題
方法點(diǎn)撥：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要體現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上忙活某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論。
注意，排數(shù)問題的首位不能為0！
【例3】（22-23高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）用，，，四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，共有（ ）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【變式3-1】（22-23高二下·廣東廣州·期末）從中任取3個(gè)數(shù)字，從中任取2個(gè)數(shù)字，則一共可以組成五位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字）的個(gè)數(shù)是（ ）
A．720 B．1200 C．1440 D．1728
【變式3-2】（22-23高二下·陜西西安·期中）用、、、、、這六個(gè)數(shù)字.
（1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)；
（2）可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)；
（3）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于的自然數(shù).
【變式3-3】（22-23高二下·湖北黃岡·月考）把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由小大到的順序排成一個(gè)數(shù)列.
（1）求是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)；
（2）求這個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)和.
【考點(diǎn)題型四】排列組合之排隊(duì)問題
方法點(diǎn)撥：
1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法
對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個(gè)整體和其他元素一起參與排列，再考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間的順序。
2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法
對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個(gè)元素之間形成“空”，然后將不相鄰的元素進(jìn)行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列問題的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當(dāng)以元素為主或以位置為主。
【例4】（22-23高二下·湖南邵陽·期中）某校6位同學(xué)從“乒乓球”，“籃球”等6個(gè)不同的體育項(xiàng)目中任意選取一種進(jìn)行選修，其中甲同學(xué)和乙同學(xué)不選同一項(xiàng)目且均不選“乒乓球”，“籃球”的不同的選法有（ ）種
A． B． C． D．
【變式4-1】（23-24高二上·江西·期末）北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號(hào)航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（ ）
A．504種 B．432種 C．384種 D．240種
【變式4-2】（23-24高二下·遼寧·月考）甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法有（ ）
A．128種 B．96種 C．72種 D．48種
【變式4-3】（22-23高二下·江蘇連云港·月考）（多選）身高各不相同的六位同學(xué)站成一排照相，則說法正確的是（ ）
A．A、C、D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法
B．A與同學(xué)不相鄰，共有種站法
C．A、C、D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法
D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法
【考點(diǎn)題型五】排列組合之涂色問題
方法點(diǎn)撥：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”
在處理涂色問題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。
【例5】（23-24高二上·江西新余·月考）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．72種
【變式5-1】（23-24高二下·山東·月考）用5種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則共有（ ）種不同的涂色方法
A．180 B．240 C．300 D．480
【變式5-2】（22-23高二下·廣東·期中）用5種不同的顏色給如圖標(biāo)有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，且相鄰（有公共邊）兩部分不同顏色，則不同的涂色方法共有 .
【變式5-3】（22-23高二下·湖北十堰·月考）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有 種（用數(shù)字作答）.
【考點(diǎn)題型六】排列組合之分組分配問題
方法點(diǎn)撥：
1、解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題；
2、分組方法： = 1 \* GB3 ①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘； = 2 \* GB3 ②部分均勻分組，有組元素個(gè)數(shù)相同，則分組后除以； = 3 \* GB3 ③完全非均勻分組，只要分組即可；
3、分配： = 1 \* GB3 ①相同元素的分配問題，常用“擋板法”； = 2 \* GB3 ②不同元素的分配問題，分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組后分配； = 3 \* GB3 ③有限制條件的分配問題，采用分類求解；
【例6】（23-24高二上·山東濰坊·期末）有6名大學(xué)生到甲、乙、丙3個(gè)學(xué)校支教，要求一個(gè)學(xué)校3人，一個(gè)學(xué)校2人，另一學(xué)校1人，則不同的分法種數(shù)為（ ）
A．240 B．360 C．480 D．720
【變式6-1】（23-24高二下·安徽淮北·開學(xué)考試）將4名新來的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級中，每個(gè)班級至少安排1名學(xué)生，其中甲同學(xué)不能分配到A班，那么不同的分配方案有（ ）
A．18種 B．24種 C．54種 D．60種
【變式6-2】（22-23高二下·河南·期中）將5名實(shí)習(xí)教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個(gè)班級實(shí)習(xí)，要求每個(gè)班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式6-3】（2022·全國·模擬預(yù)測）將甲、乙等8名同學(xué)分配到3個(gè)體育場館進(jìn)行冬奧會(huì)的志愿服務(wù)，每個(gè)場館不能少于2人，則不同的安排方法有（ ）
A．2720 B．3160 C．3000 D．2940
【變式6-4】（23-24高二下·遼寧·開學(xué)考試）（多選）現(xiàn)有帶有編號(hào)的五個(gè)球及四個(gè)不同的盒子，則下列表述正確的有（ ）
A．全部投入4個(gè)不同的盒子里，允許有空盒，共有種放法
B．全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
C．將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有種放法
D．全部投入2個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法
【考點(diǎn)題型七】排列組合之定序問題
方法點(diǎn)撥：在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序稱為定序問題。這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解。
【例7】（22-23高二下·北京·期末）某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，如果保持原來4位同學(xué)的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【變式7-1】（2024·湖南邵陽·一模）城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設(shè)在即將舉辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會(huì)要在原定排好的10個(gè)“本土歌舞”節(jié)目中增加2個(gè)“歌王對唱”節(jié)目.若保持原來10個(gè)節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．110 B．144 C．132 D．156
【變式7-2】（23-24高二上·遼寧撫順·期末）某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了甲?乙?丙3位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，且甲?乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（ ）
A．360種 B．144種 C．180種 D．192種
【變式7-3】（22-23高二上·遼寧沈陽·月考）10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法有 種
【考點(diǎn)題型八】排列組合之多面手問題
方法點(diǎn)撥：在處理多面手問題時(shí)，可以選定一個(gè)類型的單面首，以它的入選人數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)討論。
【例8】（2023·福建福州·模擬預(yù)測）“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動(dòng)之一，登舟比賽的劃手分為劃左槳和劃右槳.某訓(xùn)練小組有6名劃手，其中有2名只會(huì)劃左槳，2名只會(huì)劃右槳，2名既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2名劃右槳，則不同的選派方法共有（ ）
A．15種 B．18種 C．19種 D．36種
【變式8-1】（22-23高二下·河北唐山·期中）9名學(xué)生報(bào)名參加學(xué)校聯(lián)歡晚會(huì)，其中4人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余3人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 種不同的選法.
【變式8-2】（23-24高二上·河南南陽·月考）某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會(huì)英語，4人只會(huì)日語，2人既會(huì)英語，也會(huì)日語，現(xiàn)從中選6人，其中3人進(jìn)行英語導(dǎo)游，另外3人進(jìn)行日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有 種.
【變式8-3】（23-24高二上·全國·課時(shí)練習(xí)）某縣醫(yī)院聯(lián)合專家去農(nóng)村義務(wù)會(huì)診，其中有5人只精通中醫(yī)，4人只精通西醫(yī)，還有2人既精通中醫(yī)又精通西醫(yī)，現(xiàn)從這11位專家中選4名中醫(yī)4名西醫(yī)，有多少種不同的選法？
【考點(diǎn)題型九】二項(xiàng)展開式的正用和逆用
方法點(diǎn)撥：運(yùn)用二項(xiàng)式定理的解題策略
1、正用：求形式簡單的二項(xiàng)展開式時(shí)，可直接由二項(xiàng)式定理展開，展開式注意二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)（即前一個(gè)字母時(shí)降冪，后一個(gè)字母是升冪）；
2、逆用：逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù)。
【注意】逆用二項(xiàng)式定理時(shí)，如果項(xiàng)數(shù)是正負(fù)相間的，則原式是的形式。
【例9】（23-24高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）化簡：得到 .
【變式9-1】（22-23高二下·河北·月考）若對，恒成立，其中，，則（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【變式9-2】（23-24高二·全國·練習(xí)）（ ）.
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
【變式9-3】（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知，則的值為 ．
【考點(diǎn)題型十】二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)
方法點(diǎn)撥：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)的方法
求展開式中的特定項(xiàng)，主要考查的展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，一般需要借助方程的思想求未知數(shù)，再將的值代回通項(xiàng)公式求解，注意的取值范圍（）
（1）求第項(xiàng)，此時(shí)令，即，代回通項(xiàng)公式求解；
（2）求常數(shù)項(xiàng)，即這項(xiàng)不含變量，令通項(xiàng)中變量的冪指數(shù)為0，建立方程求解；
（3）求有理項(xiàng)，令通項(xiàng)中變量的冪指數(shù)為整數(shù)，建立方程求解；
【例10】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·月考）在的展開式中的系數(shù)為 ．
【變式10-1】（23-24高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為80，則 .
【變式10-2】（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·開學(xué)考試）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-3】（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．252 B．210 C．126 D．120
【變式10-4】（22-23高二下·山東青島·期末）在的展開式中，含的系數(shù)為 .
【考點(diǎn)題型十一】二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)和問題
方法點(diǎn)撥：巧用賦值法解決二項(xiàng)式定理中的系數(shù)和問題
1、求二項(xiàng)式系數(shù)和：
（1）令，則
（2）令，則，即偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，也即
2、求各項(xiàng)系數(shù)和
（1）形如，求各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令，則各項(xiàng)系數(shù)和分別為，；
（2）形如求各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令，則各項(xiàng)系數(shù)之和為；
（3）若，則的各項(xiàng)系數(shù)之和為，
奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為
【例11】（23-24高二下·安徽宿州·開學(xué)考試）已知，則的值為（ ）
A．-66 B．-65 C．-63 D．-62
【變式11-1】（23-24高二上·湖南長沙·期末），則（ ）
A． B．0 C．32 D．64
【變式11-2】（23-24高二下·遼寧·月考）（多選）已知，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A． B． C． D．
【變式11-3】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式11-4】（23-24高二下·福建南平·月考）（多選）設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)題型十二】二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)最值
方法點(diǎn)撥：
1、二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項(xiàng)時(shí)第項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)最大；
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，即為第項(xiàng)和第項(xiàng)，
它們的二項(xiàng)式系數(shù)和相等且最大；
2、項(xiàng)的系數(shù)的最值問題：求常規(guī)二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)時(shí)，可設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)為最大，然后解不等式即可
【例12】（23-24高二上·遼寧大連·期末）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（ ）
A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)
【變式12-1】（22-23高二下·新疆烏魯木齊·期中）已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-2】（2022高二上·河南·專題練習(xí)）已知在的展開式中，第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.
（1）求的值；
（2）若其展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，求其展開式中系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng).
【變式12-3】（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知，是正整數(shù)，的展開式中的系數(shù)為15.
（1）求展開式中的系數(shù)的最小值；
（2）已知展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，項(xiàng)的系數(shù)的最大值為，求.
【考點(diǎn)題型十三】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
方法點(diǎn)撥：應(yīng)用二項(xiàng)式定理解決整除問題的方法
用二項(xiàng)式定理處理整除問題，需要構(gòu)造一個(gè)與題目有關(guān)的二項(xiàng)式，通常把被除數(shù)的冪的底數(shù)寫成除數(shù)（或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù)）與某數(shù)的和或差的形式，再利用二次項(xiàng)定理展開，只需考慮后面（或前面）的一項(xiàng)或兩項(xiàng)即可。
【注意】在解決問題時(shí)要注意余數(shù)的范圍，（為余數(shù)，，是除數(shù)），利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)化為正數(shù)。
【例13】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復(fù)利計(jì)算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【變式13-1】（23-24高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理，求被8除所得的余數(shù)為 .
【變式13-2】（23-24高二上·上海松江·期末）已知.
（1）求的值；
（2）設(shè)，求被6除的余數(shù).
【變式13-3】（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）定義表示不超過的最大整數(shù)，如：，；定義．
（1） ；
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ．
【考點(diǎn)題型十四】楊輝三角形的應(yīng)用
方法點(diǎn)撥：
1、在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；
2、在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)字之和.
由此可知，當(dāng)二項(xiàng)式次數(shù)不大時(shí)，可借助“楊輝三角”直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
【例14】（23-24高二上·江西·期末）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式14-1】（23-24高二上·山東青島·期末）（多選）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)
B．
C．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大
D．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為
【變式14-2】（23-24高二上·河南南陽·期末）（多選）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《解析九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等
C．記第行的第個(gè)數(shù)為，則
D．第20行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為
【變式14-3】（23-24高二上·廣東廣州·期末））（多選）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得自豪的，以下關(guān)于楊輝三角的敘述正確的是（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
A．第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是126 B．
C． D．

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