【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（蘇教版2019選修二）高二數(shù)學(xué)下冊專題01+空間向量與立體幾何專題訓(xùn)練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點題型一】空間向量及其線性運算
方法點撥：空間向量的線性運算包括加、減及數(shù)乘運算，選定空間不共面的三個向量作為基向量，它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何方法的基本要求，解題時可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形利用向量運算法則表示所需向量。
【例1】（23-24高二下·云南·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知：.故選：D
【變式1-1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在平行六面體中，是平行四邊形的對角線的交點，為的中點，記，則等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
化簡得：，故選：A .
【變式1-2】（23-24高二上·山東青島·期末）已知四面體中，為中點，若，則（）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，利用空間向量的運算法則，
可得：，
因為，所以，解得.故選：D.
【變式1-3】（23-24高二下·安徽淮北·開學(xué)考試）在四棱錐中，底面是正方形，是的中點，若，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.故選：C.
【考點題型二】空間向量的數(shù)量積運算
方法點撥：空間向量的數(shù)量積的定義表達式為，其他變式如夾角公式，模長公式或等都是解決立體幾何問題的重要公式。在求解空間向量數(shù)量積的相關(guān)運算時，可結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算進行理解與計算。
【例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空間向量，若，則的值為．
【答案】
【解析】由題知，因為，所以，
即，所以.
【變式2-1】（23-24高二下·云南保山·開學(xué)考試）已知是兩個空間向量，若，，則＝ .
【答案】
【解析】由題意得，，
則，即，則
則.
【變式2-2】（23-24高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）如圖，四棱柱的底面是正方形，，且，則（）
A．4 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由題意，，
所以
.故選：D.
【變式2-3】（23-24高二上·浙江嘉興·期末）在三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點，則的最小值是．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)，，
在中，，
，當且僅當時，等號成立.
【考點題型三】空間向量共線與三點共線問題
方法點撥：證明空間三點共線的三種思路：
對于空間三點P、A、B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線
（1）存在實數(shù)λ，使PA=λPB成立.
（2）對空間任一點O，有OP=OA+tAB(t∈R).
（3）對空間任一點O，有OP=xOA+yOB(x+y=1).
【例3】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知空間不共線的向量，，且，，，則一定共線的三點是（）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】C
【解析】因為，，，
對于A：因為，
則不存在任何，使得，所以、、不共線，故A錯誤；
對于B：因為，
則不存在任何，使得，所以、、不共線，故B錯誤；
對于C：因為，
所以，則、、三點共線，故C正確；
對于D：因為，
則不存在任何，使得，所以、、不共線，故D錯誤；故選：C
【變式3-1】（22-23高二下·福建莆田·階段練習(xí)）已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個點是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，則存在唯一實數(shù)使得，
即，所以，無解，
所以不共線，則三點不共線，
若，則存在唯一實數(shù)使得，
即，所以，無解，
所以不共線，則三點不共線，，
若，則存在唯一實數(shù)使得，
即，所以，無解，
所以不共線，則三點不共線，
，所以，
又點為兩向量的公共端點，所以三點共線.故選：D.
【變式3-2】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為、、為空間三個不共面的向量，向量，，
若與共線，設(shè)，即，
可得，解得，故.故選：D.
【變式3-3】（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．
（1）設(shè)向量，，，用、、表示向量、；
（2）求證：、、三點共線．
【答案】（1），；（2）證明見解析
【解析】（1）因為，則，
所以，
又因為，則，
所以；
（2）因為，
且，
所以，即、、三點共線．
【考點題型四】空間向量的共面問題
方法點撥：空間向量共面證明
1、證明點P在平面ABC內(nèi)，可以用AP=xAB+yAC，也可以用OP=OA+xAB+yAC，
若用OP=xOA+yOB+zOC，則必須滿足x+y+z=1.
2、判斷三個向量共面一般用p=xa+yb，
證明三線共面常用AP=xAB+yAC，
證明四點共面常用OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）
【例4】（23-24高二下·安徽馬鞍山·開學(xué)考試）在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（其中O為坐標原點）（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】空間向量共面定理：，
若不共線，且共面，其充要條件是.
對A，因為，所以四點不共面；
對B，因為，所以四點不共面；
對C，由可得，
因為，所以四點不共面；
對D，由可得，
即，因為，所以四點共面.故選：D
【變式4-1】（23-24高二上·江西九江·期末）對于空間任一點和不共線的三點，，，有，則是，，，四點共面的（）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】若，則，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四點共面；
反之，若，，，四點共面，當與四個點中的一個比如點重合時，
，可取任意值，不一定有，
所以是，，，四點共面的充分不必要條件．故選：B．
【變式4-2】（23-24高二下·山東青島·開學(xué)考試）已知非零向量不共線，如果，則四點（）
A．共線 B．恰是空間四邊形的四個頂點 C．共面 D．不共面
【答案】C
【解析】因為，
顯然不共線，則三點不共線，
所以，所以共面，
又為公共始點，所以四點共面.故選：C.
【變式4-3】（23-24高二上·河北·期末）（多選）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ACD
【解析】對于A，因為，故三個向量共面，故A符合題意；
對于B，假設(shè)，，共面，
則，使得，
故有，方程組無解，故假設(shè)不成立，
即，，不共面；故B不符合題意；
對于C，，故三個向量共面，故C符合題意；
對于D，，故三個向量共面，故D題意符合．故選：ACD．
【變式4-4】（23-24高二上·廣東·期末）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因構(gòu)成空間的一個基底，故不共面，
對于A項，若共面，則必存在唯一的，
滿足，即，
顯然此方程組無解，即不共面，故A項錯誤；
對于B項，若共面，則必存在唯一的，
滿足，即，
顯然此方程組無解，即不共面，故B項錯誤；
對于C項，因，故共面，即C項正確；
對于D項，若共面，則必存在唯一的，
滿足，即，
顯然此方程組無解，即不共面，故D項錯誤.故選：C.
【考點題型五】空間向量基本定理
方法點撥：空間向量基本定理是平面基本定理的推廣，是空間向量坐標化的理論基礎(chǔ)，其實質(zhì)是空間的任意一個向量都可以用空間的一組基底來表示，用基底表示空間向量時，仍然要應(yīng)用向量運算的平行四邊形法則與三角形法則。
【例5】（23-24高二下·江蘇·單元測試）（多選）設(shè)是空間的一個基底，則下列結(jié)論正確的是（）
A．可以為任意向量
B．對任一空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使
C．若，則
D．可以構(gòu)成空間的一個基底
【答案】BD
【解析】對于A，因為是空間的一個基底，所以為不共面的非零向量，A不正確；
對于B，由空間向量基本定理知，對任一空間向量，
存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使，B正確；
對于C，，但不一定垂直，C不正確；
對于D，假設(shè)共面，則存在唯一實數(shù)對，
使得，所以，無解，所以不共面，
所以可以構(gòu)成空間的一個基底，D正確.故選：BD.
【變式5-1】（23-24高二上·全國·期中）（多選）已知是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（）
A．對于空間中的任意一個向量，總存在實數(shù)，使得
B．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
C．若，，則
D．若所在直線兩兩共面，則共面
【答案】ACD
【解析】由空間向量基本定理知：僅當不共面時，才能作為基底，即，A錯；
若是空間的一個基底，則不共面，
若共面，則，，
顯然無解，即不共面，故也是空間的一個基底，B對；
若，，在空間中不一定平行，C錯；
若所在直線兩兩共面，如四面體中共頂點的側(cè)棱所在直線，即不一定共面，D錯.
故選：ACD.
【變式5-2】（23-24高二上·廣東·期末）如圖，在三棱臺中，，是的中點，是的中點，若，則（）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】結(jié)合圖形可知：是的中點，,,
，
是的中點，,
,
即,
，，.故選：C.
【變式5-3】（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，在四面體OABC中，點M、N分別為線段OA、BC的中點，若，則．
【答案】
【解析】在四面體中，由分別為線段的中點，
得，而，
由空間向量基本定理得：，所以.
【變式5-4】（23-24高二上·全國·課時練習(xí)）在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)，，，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點．
（1）用向量表示，；
（2）若，求實數(shù)的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，
（2）
【考點題型六】空間向量運算的坐標表示
方法點撥：空間向量的坐標運算
1、空間兩點的距離公式：若,，則
①
即：一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。
②，或
2、向量加減法、數(shù)乘的坐標運算
若，，則：
①；②；③；
3、向量數(shù)量積的坐標運算
若，，則：；
即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標的乘積之和。
4、空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式
若，，則
①，．
②．
【例6】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，則向量（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，
所以.故選：C.
【變式6-1】（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知向量，則的值是（）
A． B． C．8 D．12
【答案】B
【解析】由于，則，
于是.故選：B
【變式6-2】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）已知向量，向量在向量上的投影向量為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析：因為向量，所以，
所以向量在向量上的投影向量為：，故選：A
【變式6-3】（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知空間中三點，若，則（）
A． B．4 C．3 D．
【答案】B
【解析】由題意可得：，
若，則，解得，所以.故選：B.
【變式6-4】（23-24高二上·山東東營·月考）已知點
（1）若，且，求；
（2）若與垂直，求k；
（3）求.
【答案】（1）或；（2）或；（3）.
【解析】（1）由題意，，，所以可設(shè)，
又，所以，解得，
所以或；
（2）由題意，，
所以，
又與垂直，
所以，解得或，
所以或；
（3）由（2）可得，
所以.
【考點題型七】利用空間向量證明平行與垂直
方法點撥：
1、空間中直線、平面的平行
（1）線線平行：若分別為直線的方向向量，則使得 .
（2）線面平行：設(shè)直線的方向向量，是平面的法向量，，則 .
法2：在平面內(nèi)取一個非零向量，若存在實數(shù)，使得，且，則.
法3：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，若存在實數(shù)，使得，且，則.
（3）面面平行：設(shè)分別是平面的法向量，則，使得.
2、空間中直線、平面的垂直
（1）線線垂直：若分別為直線的方向向量，則.
（2）線面垂直：設(shè)直線的方向向量，是平面的法向量，則，使得.
法2：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，若.則.
（3）面面垂直：設(shè)分別是平面的法向量，則.
【例7】（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，平面，，.
（1）證明：平面平面；
（2）證明：平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）由題意易知兩兩互相垂直.
如圖，以D為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系.設(shè).
依題意有,
則,
所以,，
即,
又,平面,
故平面.又平面，
所以平面平面.
（2）根據(jù)題意，有，則,
故
又不共線，所以為平面的一個法向量.
又因為,且，即,且平面，
故有平面.
【變式7-1】（23-24高二上·安徽淮北·期中）如圖，在正方體中，，分別是，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求證：
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）如圖建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為，
則，，，，，
所以，，
因為平面，所以為平面的一個法向量，
又，即，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知，
所以，所以.
【變式7-2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱臺中，，平面，，，，且D為中點.求證：平面；
【答案】證明見解析
【解析】由題意，以點為坐標原點，，,分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，
則，
故，
，即，
又平面，故平面.
【變式7-3】（23-24高二上·廣東江門·期中）長方體中，，.點為中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析
【解析】（1）因為是長方體，
所以平面，而平面，所以，
又因為，所以側(cè)面是正方形，因此，
因為平面，所以平面；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
因為，
所以有平面.
【考點題型八】利用空間向量求線線角
方法點撥：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.
【例8】（23-24高二上·陜西咸陽·期末）已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)兩條異面直線所成的角為，且這兩條異面直線的方向向量分別是，，
則，且，
所以兩條異面直線所成的角，故選：A.
【變式8-1】（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖，在平行六面體中，，則直線與直線AC所成角的余弦值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，
可得，，
又因為，，
可得，
，
所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：D.
【變式8-2】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在四棱錐中，底面為正方形，底面分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，
則，，，，
由分別為的中點，則，，
則，，
設(shè)異面直線與的夾角為，
.故選：A.
【變式8-3】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）在正三棱臺中，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取中點，取中點，連接，O在上，且，
因為在正三棱臺中，所以，，
又，，
在梯形中，過點作，垂足為R，過點作，垂足為S，
過點作，垂足為T，所以，則，
設(shè)，在和中，
，
即，解得，，
因為與相似，
所以，即，
如圖，分別以所在直線為軸，軸，過且垂直于平面的直線為軸
建立空間直角坐標系，，
所以，
，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，故選：B.
【考點題型九】利用空間向量求線面角
方法點撥：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為，則.
【例9】（23-24高二上·山東煙臺·期中）如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】構(gòu)建如下圖的空間直角坐標系，
則，
所以，，，
若是面的一個法向量，
則，取，則，
所以，
則直線與平面所成角的正弦值為.故選：B
【變式9-1】（23-24高二上·山東濟寧·期中）在正四棱錐中，為頂點S在底面內(nèi)的射影，為側(cè)棱的中點，且，則直線與平面所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)，
則，
則，，,
設(shè)平面PAC的一個法向量為，
則，令，則，可得，
則，
設(shè)直線BC與平面PAC的夾角為，
可得直線BC與平面PAC的夾角的正弦值為，
所以直線BC與平面PAC的夾角的余弦值.故選：C
【變式9-2】（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）長方體中，，，為側(cè)面內(nèi)的一個動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以為原點建立空間直角坐標系，
必有，，，，
設(shè)，而，，
由題意得，故，得，故，
故，，
易知面的法向量，
故，
若最大，則最大，由二次函數(shù)性質(zhì)得當時，最大，
此時，，
此時最大，且，顯然A正確.故選：A
【變式9-3】（23-24高二上·山西呂梁·期末）如圖，多面體由正四面體和正四面體組合而成，棱長為.
（1）證明：；
（2）求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）取的中點，連接，
在正四面體和正四面體中，可得和均為等邊三角形，
所以，
因為且平面，所以平面，
又因為平面，所以.
（2）取的中心為坐標原點，
過作的平行線為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
因為正四面體的棱長是，可得，
則，所以，
則，
再取的中心為，因為，
設(shè)，可得，
解得，即，
所以，，可得，
則
又由平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成的角為，
可得，
所以直線與平面所成角的正弦值是.
【考點題型十】利用空間向量求二面角
方法點撥：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.
【例10】（22-23高二上·遼寧大連·期中）如圖，二面角的棱上有兩點，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則二面角的大小為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則二面角的大小為，
由題意，，則，
所以，
即，得，所以，
即二面角的大小為.故選：C.
【變式10-1】（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，則二面角的余弦值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】過點作交于點，
因為平面，平面，所以，
又因為，，所以，
所以兩兩互相垂直，
所以以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
因為，，為的中點，
所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得，即可取，
顯然可取平面的法向量為，且二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.故選：A.
【變式10-2】（23-24高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺中，若平面，，，，為中點，則二面角的余弦值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，，根據(jù)臺體的性質(zhì)可知,
由于平面，平面，所以，
由于，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
平面的一個法向量為，
，即，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，
所以.故選：B
【變式10-3】（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，在正方體中，為棱上的一個動點，為棱上的一個動點，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.
以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，故，
又底面的一個法向量為，
所以，因為，
則，
當時，，
當時，，當，，
則，，則，
則當時，分母取到最小值，此時，
當，時，則，此時，
綜上，故選：A.
【考點題型十一】利用空間向量求空間距離
方法點撥：
1、點到直線的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq \(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq \r(a2－?a·u?2) (如圖)．
2、點到平面的距離：已知平面的法向量為 , 是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點,過點作則平面的垂線，交平面于點,則點到平面的距離為（如圖）.
注意：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。
直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
【例11】（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知平面和平面的夾角為，，已知A，B兩點在棱上，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，則的長度為（）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】平面和平面的夾角為，則二面角的大小為或，
因為，所以或，
由題可知，
，
故或，或．故選：D.
【變式11-1】（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知空間直角坐標系中的點，則點到直線的距離為 .
【答案】
【解析】由題意設(shè)為三角形的邊上的高，而，
因為三點共線，
設(shè)，
因為，所以，解得，
所以，所以點到直線的距離為.
【變式11-2】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）在正四棱錐中，，與平面所成角為，則點到平面的距離為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，設(shè)，則平面，
因為平面，所以為與平面所成角，即，
因為，所以，則，
以點為原點，建立空間直角坐標系如圖，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，則，故，
所以點到平面的距離為.故選：B.
【變式11-3】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，點分別為的中點，是線段的中點，，則直線到平面的距離為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知兩兩垂直，所以以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖
由題意可得，
，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，設(shè)，所以，
又，所以，且面，所以面，
所以直線到平面的距離為點到平面的距離，設(shè)為，
，則，故選：D
【變式11-4】（23-24高二下·云南·開學(xué)考試）（多選）已知正方體的棱長為1，點分別是的中點，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（）
A．點到直線的距離是 B．點到平面的距離為
C．平面與平面間的距離為 D．點到直線的距離為
【答案】BCD
【解析】根據(jù)正方體可建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，.
則，.
又，故.
對于A，，，
故點到直線的距離為，故A錯誤.
對于B，，，
設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，
故到平面的距離為，故B正確.
對于C，，，故，而不共線，故，
因平面，平面，故平面，
同理平面，而平面，所以平面平面，
故平面與平面的距離即為到平面的距離.
又，，設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則，
故到平面的距離為，故C正確.
對于D，，，
故點到直線的距離為，故D正確.故選：BCD.
【考點題型十二】利用空間向量探究動點存在問題
方法點撥：利用空間向量解決立體幾何的探索性問題思路：
（1）根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，將相關(guān)點、相關(guān)向量用坐標表示。
（2）假設(shè)所成的點或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點的坐標，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在。
【例12】（22-23高二上·全國·階段練習(xí)）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（）
A．不存在點，使得
B．存在點，使得異面直線與所成的角為
C．當點自向處運動時，二面角的平面角先變大后變小
D．當點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大
【答案】D
【解析】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
設(shè)，則；
，，，，，，，；
對于A，假設(shè)存在點，使得，則，
又，，解得：，
即點與重合時，，A錯誤；
對于B，假設(shè)存在點，使得異面直線與所成的角為，
，，，方程無解；
不存在點，使得異面直線與所成的角為，B錯誤；
對于C，D，由上分析知：，，
若是面的法向量，
則，令，則，
而面的法向量，所以，
令，則，而，
由從到的過程，由小變大，則由大變小，即由小變大，
所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，
故二面角先變小后變大，C錯誤D正確.故選：D.
【變式12-1】（23-24高二上·廣東珠海·期末）已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，、分別是線段、的中點.
（1）求證：；
（2）在線段上是否存在點，使得平面，若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，為的四等分點（靠近）.
【解析】（1）在四棱錐中，底面是矩形，平面，
則直線兩兩垂直，
以點原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，令，
于是，
因此，即，所以.
（2）由（1）知，，假定存在點滿足條件，
設(shè)，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
要平面，顯然平面，
則只需，即，解得，
所以在線段上存在點，使得平面，點為靠近點的線段的四等分點.
【變式12-2】（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E為BC的中點.
（1）證明：平面ABCD；
（2）在線段AN上是否存在點S，使得平面AMN?如果存在，求出線段AS的長度；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，
【解析】（1）證明：連接BD，如圖（1）.
因為平面，平面ABCD，所以.
因為，所以四邊形MDBN為平行四邊形.
所以.
又平面，平面ABCD，所以平面ABCD.
（2）由題意知DM，DC，DA兩兩垂直.
以點D為原點，DA，DC，DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖（2）的空間直角坐標系，
則，，，，，
假設(shè)在線段AN上存在點S，使得平面AMN，連接AE.
易知，，.
設(shè)，，則.
由平面AMN，得即解得.
此時，所以.
故在線段AN上存在點S，使得平面AMN，此時線段AS的長度為.
【變式12-3】（23-24高二上·上海徐匯·期末）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面.
（1）求證：
（2）在線段上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為？若存在，求出點到平面的距離，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）因為四邊形為正方形，平面，
如圖以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，
所以，
所以，
所以，所以.
（2）設(shè)線段上存在一點，
使得與所成角的余弦值為，則，
又，所以，解得（負值舍去），
所以存在滿足條件，
所以，依題意可得，
設(shè)為平面的法向量，
則，設(shè)，可得，
所以點到平面的距離為.
【變式12-4】（23-24高二上·山東濟寧·期末）如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是菱形，且，，．
（1）求證：平面ACF；
（2）在線段AE上是否存在點M，使平面MAD與平面MBC夾角的余弦值為．若存在，請說明點M的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，點為線段AE的中點
【解析】（1）取的中點，連接，
因為為等邊三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又四邊形是菱形，且，所以，
故以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，，易知，
則，，，，，
所以，，
得到，故，，
得到，所以，
又，平面ACF，平面ACF，，∴平面ACF．
（2）假設(shè)存在點，使平面與平面夾角的余弦值為，
設(shè)，，則，
所以，，．即，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則即，所以，
令，得，所以，
又平面的一個法向量為，
所以，解得或(舍去)，
所以，存在點，使平面與平面夾角的余弦值為，點為線段的中點．

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