【期中復習】2023-2024學年（蘇教版2019選修二）高二數(shù)學下冊專題04+統(tǒng)計專題訓練.zip-試卷下載-教習網(wǎng)

【考點題型一】相關關系與函數(shù)關系辨識
方法點撥：相關關系與函數(shù)關系的異同
1、相同點：兩者均是指兩個變量之間的關系；
2、不同點：（1）函數(shù)關系是一種確定的關系，如勻速直線運動中時間t與路程s的關系；相關關系是一種不確定的關系，如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關系；事實上，函數(shù)是兩個非隨機變量的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系；
（2）函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系。
【例1】（23-24高二上·全國·課時練習）(多選)下列結(jié)論正確的是（）
A．函數(shù)關系是一種確定性關系
B．相關關系是一種非確定性關系
C．回歸分析是對具有函數(shù)關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法
D．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法
【答案】ABD
【解析】函數(shù)關系和相關關系的區(qū)別是前者是確定性關系，后者是非確定性關系，故AB正確；
回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法，
故C錯誤，D正確．故選：ABD.
【變式1-1】（23-24高二下·全國·練習）下列兩個量之間的關系是相關關系的是（）
A．勻速直線運動中時間與位移的關系 B．學生的成績和身高
C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質(zhì)量
【答案】C
【解析】A、D是函數(shù)關系；B是不相關關系；C是相關關系，故選：C
【變式1-2】（23-24高二·全國·練習）下列說法正確的是（）
A．中的x，y是具有相關關系的兩個變量
B．正四面體的體積與棱長具有相關關系
C．電腦的銷售量與電腦的價格之間是一種確定性的關系
D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務人員數(shù)與醫(yī)院收治的傳染病人數(shù)是具有相關關系的兩個變量
【答案】D
【解析】A，B均為函數(shù)關系，故A、B錯誤；C，D為相關關系，故C錯，D對.故選：D
【變式1-3】（22-23高二下·上海金山·期末）如果兩種證券在一段時間內(nèi)收益數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為正數(shù)，那么表明（）
A．兩種證券的收益之間存在完全同向的聯(lián)動關系，即同時漲或同時跌
B．兩種證券的收益之間存在完全反向的聯(lián)動關系，即漲或跌是相反的
C．兩種證券的收益有同向變動的傾向
D．兩種證券的收益有反向變動的傾向
【答案】C
【解析】因為兩種證券在一段時間內(nèi)收益數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為正數(shù)，
那么表明兩種證券的收益有同向變動的傾向，C對，ABD錯.故選：C.
【考點題型二】由散點圖判斷線性相關
方法點撥：通過散點圖可以觀察兩個變量的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進行判斷。如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響。其中呈從左下向右上方向發(fā)展趨勢的為正相關，呈左上向右下方向發(fā)展趨勢的為負相關。
【例2】（2024高三·全國·專題練習）下列圖形中具有相關關系的兩個變量是（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)散點圖可知在C中，樣本點成帶狀分布，則兩個變量具有相關關系，
所以兩個變量x、y具有相關關系的圖是C.
A，B為函數(shù)關系，D無相關關系．故選：C.
【變式2-1】（22-23高二下·江蘇·課時練習）在下列所示的四個圖中，每個圖的兩個變量具有線性相關關系的圖是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A中，兩個變量與之間具有函數(shù)關系，不是相關關系，不符合題意；
B中，兩個變量與構(gòu)成的點在一條直線附近帶狀分布，
所以兩個變量之間是線性相關關系，符合題意；
C中，兩個變量與構(gòu)成的點不在一條直線附近帶狀分布，
所以兩個變量之間不是線性相關關系，不符合題意；
D中，兩個變量與構(gòu)成的點不在一條直線附近帶狀分布，
所以兩個變量之間不是線性相關關系，不符合題意.故選：B.
【變式2-2】（22-23高二下·江蘇宿遷·期末）下列圖中，能反映出相應兩個變量之間具有線性相關關系的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于A ，由圖象可知，兩個變量是確定的函數(shù)關系，不是相關關系，故A 不正確；
對于B，由散點圖可知，散點呈帶狀分布，所以兩個變量具有線性相關關系，故B正確；
對于CD，由散點圖可知，散點不呈帶狀分布，
所以兩個變量不具有線性相關關系，故CD不正確；故選：B
【變式2-3】（23-24高三上·上海黃浦·開學考試）觀察下列散點圖，則①正相關，②負相關，③不相關，圖中的甲、乙、丙三個散點圖按順序相對應的是（）．
A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①②
【答案】C
【解析】對于圖①，顯然是正的線性相關，對于圖②，不相關，對于圖③，負的線性相關；故選：C.
【考點題型三】相關系數(shù)的計算與應用
方法點撥：
1、兩組數(shù)據(jù)和的線性相關系數(shù)是度量兩個變量x與y之間線性相關程度的統(tǒng)計量，其計算公式為，其中，，，它們分別是這兩組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)．
2、相關系數(shù)r的性質(zhì)
（1）；
（2）時，與呈正相關關系；時，與呈負相關關系
（3）越接近1，與的相關程度越強；越接近0，與的相關程度越弱.
通常情況下，時，認為線性相關關系顯著；當時，認為幾乎沒有線性相關關系。
【例3】（23-24高二上·江西鷹潭·期末）關于的一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，所有樣本點均在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為（）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因為所有樣本點都在直線上，所以回歸直線方程是，
可得這兩個變量是負相關，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為負值，
且所有樣本點都在直線上，則有相關系數(shù).故選：B.
【變式3-1】（22-23高二下·河南南陽·月考）第一組樣本點為（-5，-8.9），（-4，-7.2），（-3，-4.8），（-2，-3.3），（-1，-0.9）第二組樣本點為（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9）第一組變量的線性相關系數(shù)為，第二組變量的線性相關系數(shù)為，則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】觀察第一組樣本點，y隨x的增大而增大，故；
觀察第二組樣本點，y隨x的增大而減小，故.
綜上：.故選：A.
【變式3-2】（22-23高二下·陜西西安·期中）對于相關系數(shù)下列描述正確的是（）
A．兩個變量相關則 B．兩個變量無關則
C．越小，表明兩個變量線性相關性越弱 D．越接近于，表明兩個變量線性相關性越強
【答案】D
【解析】兩個變量之間的相關系數(shù)的絕對值越接近于，表示兩個變量的線性相關性越強，
的絕對值越接近于，表示兩個變量的線性相關性越弱，故C錯誤，D正確，
表示兩個變量正相關，表示兩個變量負相關，故A、B錯誤.故選：D.
【變式3-3】（2019·湖南長沙·二模）對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是（）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由散點圖可知第1，3圖表示的正相關，
且第1個圖中的點比第3個圖中的點分布更為集中，故；
第2，4圖表示的負相關，且第2個圖中的點比第4個圖中的點分布更為集中，
故，且，故，
綜合可得，故選：B
【考點題型四】樣本中心點的應用
方法點撥：樣本中心點在回歸方程上。
【例4】（23-24高三·陜西寶雞·一模）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設，得變換后的線性回歸方程為，則（）
A． B． C．70 D．35
【答案】B
【解析】因為，所以，則，
即，
即，所以.故選：B.
【變式4-1】（22-23高二下·河南·月考）在一次試驗中，當變量x的值取1，2，3，4時，變量y的值分別為2，3，4，5，則y與x的回歸直線方程為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，變量x的值取1，2，3，4時，變量y的值分別為2，3，4，5，
可得，，即樣本中心為，
結(jié)合選項，根據(jù)回歸方程經(jīng)過樣本中心，只有回歸直線適合.故選：A.
【變式4-2】（22-23高二下·河北邢臺·月考）兩個線性相關變量x、y滿足如下關系：
則與的線性回歸直線一定過其樣本點的中心，其坐標為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，其樣本中心為，
則，，
所以樣本中心為.故選：A.
【變式4-3】（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·月考）已知一組成對數(shù)據(jù)如表所示.
若該組數(shù)據(jù)的回歸方程為，則 .
【答案】68
【解析】依題意，，，
而，因此，解得，所以.
【考點題型五】線性回歸分析
方法點撥：線性回歸模型中，的求法
稱為線性回歸模型，，，的估計值為，，則
其中，
【例5】（22-23高二下·四川廣元·月考）某人準備投資兩個新型項目，新型項目A的投資額（單位：萬元）與利潤（單位：萬元）的關系式為，新型項目的投資額（單位：萬元）與利潤（單位：萬元）有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：
（1）求新型項目中關于的線性回歸方程；
（2）根據(jù)（1）中所求的回歸方程，若A，兩個項目都投資6萬元，試預測哪個項目的收益更好.
參考公式：，．
【答案】（1）；（2）B項目的收益更好
【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)得，，
，，
所以，，
所以關于的線性回歸方程為.
（2）因為新型項目A的投資額(單位:萬元)與利潤(單位:萬元)的關系式為，
所以當A項目的投資額為6萬元時，該企業(yè)所得利潤的估計值為萬元.
由（1）知關于的線性回歸方程為，
因此當B項目的投資額為6萬元時，該企業(yè)所得利潤的估計值為萬元.
顯然，所以預測B項目的收益更好.
【變式5-1】（23-24高三上·廣東廣州·月考）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻.某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
（1）計算，的相關系數(shù)，并判斷是否可以認為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關程度?（若，則線性相關程度一般，若，則線性相關程度較高）
（2）求出關于的線性回歸方程，并預測若想收益超過50（億元）則需研發(fā)投入至少多少億元?（結(jié)果保留一位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，.
附：相關系數(shù)公式：，
回歸直線方程的斜率，截距.
【答案】（1），線性相關程度較高；（2）回歸直線方程為；至少投資億元
【解析】（1），
，
，，
所以，所以線性相關程度較高.
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，由，得，
所以至少投資億元.
【變式5-2】（22-23高二下·河北石家莊·月考）研究某灌溉渠道水的流速y與水深x之間的關系，測得一組數(shù)據(jù)如下：
（1）求y對x的回歸直線方程：（所有數(shù)據(jù)精確到0.01）
（2）預測水深為時水的流速是多少?（精確到0.01）
參考公式：回歸方程為中，
參考數(shù)據(jù)：
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設y對x的回歸直線方程為.
.
.
即y對x的回歸直線方程為
（2）當水深為時，水的流速為.
【變式5-3】（22-23高二下·山東青島·月考）某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了至月份每月份日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：
該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求出關于的經(jīng)驗回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗．
（1）求選出的組數(shù)據(jù)不是相鄰兩個月的概率；
（2）若選取的是月和月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)至月份的數(shù)據(jù)求出關于的經(jīng)驗回歸方程；
（3）對于月份和月份的因患感冒而就診的人數(shù)，若根據(jù)（2）中的經(jīng)驗回歸方程估計出的數(shù)據(jù)與表格給出的相應的數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過人，則認為（2）中得到的經(jīng)驗回歸方程是理想的，試問該興趣小組得到的經(jīng)驗回歸方程是否理想？請說明理由.
附：在經(jīng)驗回歸方程中，，．
【答案】（1）；（2）；（3）是理想的，理由見解析
【解析】（1）記“選出的組數(shù)據(jù)不是相鄰兩個月的”為事件，則.
（2）由至月份的數(shù)據(jù)可得：，，
，，
，，
關于的經(jīng)驗回歸方程為：.
（3）當時，，
當時，，
該興趣小組得到的經(jīng)驗回歸方程是理想的.
【考點題型六】非線性回歸分析
方法點撥：常見的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法
1、冪型函數(shù)y＝axm(a為正數(shù)，x，y取正值)：對y＝axm兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)g y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，則原式可變?yōu)閡＝mv＋lg a，其中m，lg a為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù).
2、指數(shù)型函數(shù)y＝c·ax(a，c>0，且a≠1)：對y＝cax兩邊取常用對數(shù)，則有l(wèi)g y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，則原式可變?yōu)閡＝xlg a＋lg c，其中l(wèi)g a和lg c為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù).與冪函數(shù)不同的是x保持不變，用y的對數(shù)lg y代替了y.
3、反比例函數(shù)y＝ (k>0)：令u＝，則y＝ku，該式表示y，u的線性函數(shù).
4、二次函數(shù)y＝ax2＋c：令u＝x2，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝au＋c，該式表示y，u的線性函數(shù).
5、對數(shù)型函數(shù)y＝clgax：令x＝au，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝cu，該式表示y，u的線性函數(shù).
【例6】（22-23高二下·山東泰安·月考）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年銷售量（單位：）和年利潤（單位：千元）的影響．對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．
表中．
（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤與的關系為．根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：
（?。┠晷麄髻M時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ⅱ）年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．
【答案】（1）；（2）；（3）；.
【解析】（1）根據(jù)散點圖判斷，更適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型；
（2）令，，
由表可知：，；
所以關于的回歸方程為：；
（3）（i）由（2）知，當時，年銷售量的預報值為，
年利潤的預報值為.
（ii）根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤的預報值
，
當，即時，年利潤的預報值最大，
故年宣傳費為46.24千元時，年利潤預報值最大.
【變式6-1】（2023·河北·模擬預測）隨著全球新能源汽車市場蓬勃增長，在政策推動下，中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國．某新能源汽車企業(yè)基于領先技術的支持，改進并生產(chǎn)純電動車、插電混合式電動車、氫燃料電池車三種車型，生產(chǎn)效益在短期內(nèi)逐月攀升，該企業(yè)在1月份至6月份的生產(chǎn)利潤y（單位，百萬元）關于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖．
（1）根據(jù)散點圖判斷，與（，，，d均為常數(shù)）哪一個更適宜作為利潤關于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關于的回歸方程；
（3）該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國汽車技術研究中心進行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗項目，其中在實驗場進行了一項甲、乙、丙三車同時去碰撞實驗車的多車碰撞實驗，測得實驗車報廢的概率為0.188，并且當只有一車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.1，當有兩車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.2，由于各種因素，實驗中甲乙丙三車碰撞實驗車發(fā)生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率．
參考數(shù)據(jù)：
其中，設，．
參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
【答案】（1）選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適；（2）；（3）
【解析】（1）散點圖中的點的分布不是一條直線，相鄰兩點在軸上的差距是增大的趨勢．
故選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適．
（2）由，取對數(shù)可得，設，所以，
，，，，
所以，
，所以，
，即．
（3）設事件為“實驗車報廢”，事件為“只有一車碰撞實驗車”，
事件為“恰有兩車碰撞實驗車”，事件為“三車碰撞實驗車”，
則
由已知得，
利用全概率公式得
，解得
所以當三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率為0.5．
【變式6-2】（22-23高二下·內(nèi)蒙古赤峰·月考）某新能源汽車公司從2018年到2022年汽車年銷售量y（單位：萬輛）的散點圖如下：
記年份代碼為
（1）根據(jù)散點圖判斷，模型①與模型②，哪一個更適宜作為年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立y關于x的回歸方程.
參考數(shù)據(jù)：
，
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由散點圖可知：散點圖與一次函數(shù)偏差較大，與二次函數(shù)較接近，
故模型②更適合．
（2）由（1）可設回歸方程為，
令，則回歸方程.
因為，，
，，
，
，
故回歸方程為，即.
【變式6-3】（22-23高三下·江蘇揚州·開學考試）云計算是信息技術發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計算白皮書（2022年）》可知，我國2017年至2021年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：
經(jīng)計算得：=36.33，=112.85.
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（2）云計算為企業(yè)降低生產(chǎn)成本?提升產(chǎn)品質(zhì)量提供了強大助推力.某企業(yè)未引入云計算前，單件產(chǎn)品尺寸與標準品尺寸的誤差，其中m為單件產(chǎn)品的成本（單位：元），且=0.6827；引入云計算后，單件產(chǎn)品尺寸與標準品尺寸的誤差.若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則將會變成多少？若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變（即誤差的概率分布不變），則單件產(chǎn)品的成本將會下降多少？
附：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為=，.
若，則，，
【答案】（1）；（2），成本下降3元.
【解析】（1）因為，所以，
所以，
所以，
所以.
（2）未引入云算力輔助前，，所以，
又，所以，所以.
引入云算力輔助后，，所以，
若保持產(chǎn)品成本不變，則，
所以
若產(chǎn)品質(zhì)量不變，則，所以，
所以單件產(chǎn)品成本可以下降元.
【考點題型七】獨立性檢驗的概念及辨析
方法點撥：
1、獨立性檢驗是研究兩個分類變量是否有關的統(tǒng)計方法，在獨立性檢驗的概念中藥準確分析兩個分類變量；在學習中藥注意其與相關關系概念的區(qū)別。
2、臨界值的定義：對于任何小概率值，可以找到相應的正實數(shù)，使得成立，我們稱為的臨界值，概率值越小，臨界值越大.
3、獨立性檢驗：，通常稱為零假設或原假設.
基于小概率值的檢驗規(guī)則是：
當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；
當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立.
【例7】（23-24高三下·四川綿陽·開學考試）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，結(jié)合表格可知，
所以認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過0.010.故選：B．
【變式7-1】（23-24高二下全國·練習）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）
附：，附表：
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，不妨設，
于是，
由于依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，
根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C
【變式7-2】（22-23高二下·黑龍江·期末）下列關于獨立性檢驗的說法正確的是（）
A．獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關關系的一種檢驗
B．獨立性檢驗可以確定兩個變量之間是否具有某種關系
C．利用獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關聯(lián)中，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為吸煙與患肺病有關系時，則我們可以說在個吸煙的人中，有人患肺病
D．對于獨立性檢驗，隨機變量的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大
【答案】D
【解析】對于A，獨立性檢驗是通過卡方計算來判斷兩個變量存在關聯(lián)的可能性的一種方法，
并非檢驗二者是否是線性相關，故錯誤；
對于B，獨立性檢驗并不能確定兩個變量相關，故錯誤；
對于C，是指“抽煙”和“患肺病”存在關聯(lián)的可能性,并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，故錯誤；
對于D，根據(jù)卡方計算的定義可知該選項正確；故選:D.
【變式7-3】（22-23高二下·江蘇·課時練習）在吸煙與患肺癌是否相關的研究中，下列說法正確的是（）
A．若，我們有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關，則在100個吸煙的人中必有99個人患肺癌
B．由獨立性檢驗可知，當有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關時，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺癌
C．通過計算得到，是指有95%的把握認為吸煙與患肺癌有關系
D．以上三種說法都不正確
【答案】C
【解析】若，我們有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關，
而不是在100個吸煙的人中必有99個人患肺癌，故A不正確；
99%是指吸煙與患肺癌有關的概率，而不是吸煙的人有99%的可能患有肺癌，
故B不正確，C正確，D不正確．故選：C
【變式7-4】（22-23高三上·廣東東莞·月考）根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結(jié)論為（）
A．變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
B．變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
C．變量與獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
D．變量與獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
【答案】B
【解析】因為時，所以，
所以變量與不獨立，且這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過.故選:B.
【考點題型八】獨立性檢驗的綜合應用
方法點撥：獨立性檢驗的一般方法
（1）根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；
（2）提出零假設：假設兩個變量相互獨立，并給出在問題中的解釋。
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計算公式求出的值；
（4）當時，我們就推斷不成立，即兩個變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；
當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為兩個變量相互獨立。
【例8】（2023·四川雅安·一模）“一帶一路”是促進各國共同發(fā)展，實現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路.為了了解我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿(mào)易量情況，隨機抽查了100天進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量（單位：億人民幣/天）得下表：
（1）估計事件“我國與該國貿(mào)易中，一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過100億人民幣”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為“我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量”有關？
附：.
【答案】（1）;（2）列聯(lián)表見解析
（3）有99%的把握認為我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量有關
【解析】（1）由題中表中的信息可知，在100天中，
進口貿(mào)易與出口貿(mào)易均不超過100的天數(shù)為，
用頻率估計概率，可得所求概率為.
（2）列出列聯(lián)表如下：
（3）由（2）得，
所以有99%的把握認為我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量有關.
【變式8-1】（23-24高二下·遼寧·月考）某校數(shù)學課外興趣小組為研究數(shù)學成績是否與性別有關，先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成績平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的學生后，共有男生300名，女生200名，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，按性別分為兩組，并將兩組學生成績分為6組，得到如下頻數(shù)分布表．
（1）估計男、女生各自的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表），從計算結(jié)果看，能否判斷數(shù)學成績與性別有關；
（2）規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分），請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學成績與性別有關”，（，其中）
【答案】（1），，不能；（2）列聯(lián)表見解析，沒有
【解析】（1）由男生300名，女生200名，故共抽取了男生（人），
抽取女生（人），
，
，
故，因此不能判斷數(shù)學成績與性別有關；
（2）由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100名學生中，“男生組”中的優(yōu)分有15人，
“女生組”中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：
則，
故沒有90%以上的把握認為“數(shù)學成績與性別有關.
【變式8-2】（2024·河南·一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機構(gòu)在網(wǎng)上隨機對1000人進行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：
其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．
（1）求的值；
（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？
參考公式：，其中．
臨界值表：
【答案】（1）；（2）有差異
【解析】（1）由題意可得：，解得．
（2）零假設為：對短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異．
由已知得，如下列聯(lián)表：
可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
所以對短視頻剪接成長視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異．
【變式8-3】（2023·四川涼山·一模）2023年11月18日，世界田聯(lián)精英標牌賽事——2023西昌邛海濕地馬拉松賽在涼山州西昌市鳴槍起跑．來自中國、法國、英國、波蘭、埃塞俄比亞、肯尼亞、韓國等10余個國家和地區(qū)的21191名選手參賽．本次大賽以“奔跑美麗西昌，追夢五彩涼山”為主題，賽事設置馬拉松男女子組、半程馬拉松男女子組和迷你健康跑3個項目．某中學課外田徑運動興趣小組的同學報名參加了半程馬拉松和迷你健康跑兩類項目，小組所有同學均參加比賽，每位同學僅選擇一項．參賽人數(shù)統(tǒng)計如下表：
若采用分層抽樣從該興趣小組中抽取5名同學，則有男同學3名，女同學2名．
（1）求以及該興趣小組的同學選擇半程馬拉松的概率；
（2）能否有的把握認為同學對比賽項目的選擇與其性別有關．
附：臨界值表
參考公式：．
【答案】（1），；（2）沒有的把握認為同學對比賽項目的選擇與其性別有關．
【解析】（1）依題意，男女同學的比例為，則，解得；
該興趣小組的同學選擇半程馬拉松的概率為．
（2）由（1）完善列聯(lián)表如下：
則，
沒有的把握認為同學對比賽項目的選擇與其性別有關．
【變式8-4】（22-23高二下·河南焦作·月考）2013年11月，青島發(fā)生輸油管道爆炸事故造成膠州灣局部污染.國家海洋局用分層抽樣的方法從國家環(huán)保專家、海洋生物專家、油氣專家三類專家?guī)熘谐槿∪舾扇私M成研究小組赴泄油海域工作，有關數(shù)據(jù)見表1（單位：人）
表1
表2
海洋生物專家為了檢測該地受污染后對海洋動物身體健康的影響，隨機選取了110只海豚進行了檢測，并將有關數(shù)據(jù)整理為不完整的2×2列聯(lián)表，如表2.
（1）求研究小組的總?cè)藬?shù)；
（2）寫出表2中A，B，C，D，E的值，并判斷有多大的把握認為海豚身體不健康與受到污染有關；
（3）若從研究小組的環(huán)保專家和海洋生物專家中隨機選2人撰寫研究報告，求其中恰好有1人為環(huán)保專家的概率.
【答案】（1）12；（2），，，，，大約有99%的把握；（3）
【解析】（1）依題意可知，抽樣比為，所以.
故研究小組的總?cè)藬?shù)為.
（2）由表2可知，,
，即表2如下：
假設：海豚身體不健康與受到污染無關，
，
由臨界值表知，，可以斷定不成立.
所以有99%的把握認為海豚身體不健康與受到污染有關.
故大約有99%的把握.
（3）環(huán)保專家和海洋生物專家共有6人，這6人中隨機選擇2人共有種選法，
這2人中恰好有1人為環(huán)保專家的選法共有種.
根據(jù)古典概型計算公式得恰好有1人為環(huán)保專家的概率.x
2
4
5
6
8
y
2.2
4.2
4.8
6.5
7.3
18
13
10
24
34
38
投資額x（單位：萬元）
1
2
3
4
5
利潤y（單位：萬元）
2
3
5
7
8
研發(fā)投入（億元）
1
2
3
4
5
產(chǎn)品收益（億元）
3
7
9
10
11
水深x/m
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
流速y/（）
1.70
1.79
1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
日期
月日
月日
月日
月日
月日
月日
晝夜溫差
就診人數(shù)個
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
月份
1
2
3
4
5
6
收入（百萬元）
6.8
8.6
16.1
19.6
28.1
40.0
19.87
2.80
17.50
113.75
6.30
34
55
979
657
2805
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代碼x
1
2
3
4
5
云計算市場規(guī)模y/億元
692
962
1334
2091
3229
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0.05
0.01
3.841
6.635
進口
出口
32
18
4
6
8
12
3
7
10
進口
出口
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
進口
出口
64
16
10
10
分數(shù)段

男
3
9
18
15
6
9
女
6
4
5
10
13
2
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
優(yōu)分
非優(yōu)分
合計
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合計
30
70
100
青年人
中年人
老年人
對短視頻剪接成長視頻的APP有需求
200
對短視頻剪接成長視頻的APP無需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年人
中老年人
合計
對短視頻剪接成長視頻的APP有需求
300
250
550
對短視頻剪接成長視頻的APP無需求
100
350
450
合計
400
600
1000
半程馬拉松
迷你健康跑
男同學
20
10
女同學
10
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
半程馬拉松
迷你健康跑
總計
男同學
20
10
30
女同學
10
10
20
總計
30
20
50
相關人員數(shù)
抽取人數(shù)
環(huán)保專家
24
海洋生物專家
48
油氣專家
72
6
重度污染
輕度污染
合計
身體健康
30
A
50
身體不健康
B
10
60
合計
C
D
E
重度污染
輕度污染
合計
身體健康
30
20
50
身體不健康
50
10
60
合計
80
30
110

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