一．選擇題（共8小題）
1．（2019春?遼寧期末）下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．任意買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)
B．13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同
C．車(chē)輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈
D．明天一定下雨
【解答】解：A、“任意買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)”是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、“13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同”是必然事件，故此選項(xiàng)正確；
C、“車(chē)輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈”是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、“明天一定會(huì)下雨”是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
2．（2019春?洛南縣期中）下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中，說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．頻率就是概率
B．頻率是隨機(jī)的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)
C．概率是穩(wěn)定的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)
D．概率是隨機(jī)的，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)
【解答】解：頻率是隨機(jī)的，隨實(shí)驗(yàn)而變化，但概率是唯一確定的一個(gè)值．
故選：C．
3．（2020春?芝罘區(qū)校級(jí)期末）拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A或事件B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，
∴P（A），P（B），
又小于5的偶數(shù)點(diǎn)有2和4，不小于5的點(diǎn)數(shù)有5和6，
所以事件A和事件B為互斥事件，
則一次試驗(yàn)中，事件A或事件B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為
P（A∪B）＝P（A）+P（B），
故選：A．
4．（2019春?湖北期中）某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20，0.30，0.10，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（　　）
A．0.90 B．0.30 C．0.60 D．0.40
【解答】解：由題意知射手在一次射擊中不夠8環(huán)的對(duì)立事件是射手在一次射擊中不小于8環(huán)，
∵射手在一次射擊中不小于8環(huán)包括擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，這三個(gè)事件是互斥的，
∴射手在一次射擊中不小于8環(huán)的概率是0.20+0.30+0.10＝0.60，
∴射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率是1﹣0.60＝0.40，
故選：D．
5．（2019春?武漢期中）已知消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)家用小電器有兩種方式：網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)和實(shí)體店購(gòu)買(mǎi)．經(jīng)工商局抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上家用小電器合格率約為，而實(shí)體店里家用小電器的合格率約為，工商局12315電話接到關(guān)于家用小電器不合格的投訴，統(tǒng)計(jì)得知，被投訴的是在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的概率約為75%．那么估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)家用小電器的人約占（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的人數(shù)占比為x，實(shí)體店購(gòu)買(mǎi)的人數(shù)為1﹣x，
由題意可得，網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的合格率為，
則網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)被投訴的概率為，實(shí)體店里購(gòu)買(mǎi)的被投訴的人數(shù)占比為（1﹣x），
∴P；
故x；
故選：A．
6．（2020春?棲霞市月考）一道試題，A，B，C三人可解出的概率分別為，則三人獨(dú)立解答，僅有1人解出的概率為 （　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：根據(jù)題意，只有一人解出的試題的事件
包含A解出而其余兩人沒(méi)有解出，B解出而其余兩人沒(méi)有解出，C解出而其余兩人沒(méi)有解出，三個(gè)互斥的事件，而三人解出答案是相互獨(dú)立的，
則P（只有一人解出試題）（1）×（1）+（1）（1）+（1）×（1），
故選：B．
7．（2020?江門(mén)模擬）一袋中有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各一個(gè)，每次從中取出一個(gè)，記下顏色后放回，當(dāng)三種顏色的球全部取出時(shí)停止取球，則恰好取5次球時(shí)停止取球的概率為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：分兩種情況3，1，1及2，2，1
這兩種情況是互斥的，下面計(jì)算每一種情況的概率，
當(dāng)取球的個(gè)數(shù)是3，1，1時(shí)，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是35，
滿(mǎn)足條件的事件數(shù)是C31C43C21
∴這種結(jié)果發(fā)生的概率是
同理求得第二種結(jié)果的概率是
根據(jù)互斥事件的概率公式得到P
故選：B．
8．（2019秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩人對(duì)同一個(gè)靶各射擊一次，設(shè)事件A＝“甲擊中靶”，事件B＝“乙擊中靶”，事件E＝“靶未被擊中”，事件F＝“靶被擊中”，事件G＝“恰一人擊中靶”，對(duì)下列關(guān)系式（表示A的對(duì)立事件，表示B的對(duì)立事件）：①，②F＝AB，③F＝A+B，④G＝A+B，⑤，⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正確的關(guān)系式的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：甲、乙兩人對(duì)同一個(gè)靶各射擊一次，
設(shè)事件A＝“甲擊中靶”，事件B＝“乙擊中靶”，
事件E＝“靶未被擊中”，事件F＝“靶被擊中”，事件G＝“恰一人擊中靶”，
在①中，事件E是指事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，∴，故①正確；
在②中，事件F表示事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生，
故F＝A+B，故②錯(cuò)誤；
在③中，F(xiàn)＝A+B，故③正確；
在④中，，故④錯(cuò)誤；
在⑤中，，故⑤正確；
在⑥中，由對(duì)立事件概率計(jì)算公式得P（F）＝1﹣P（E），故⑥正確；
在⑦中，由互斥事件概率計(jì)算公式得P（F）＝1﹣P（）≠P（A）+P（B），故⑦錯(cuò)誤．
故選：B．
二．多選題（共4小題）
9．（2020春?常熟市期中）一個(gè)人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件
B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”互為互斥事件
C．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”互為互斥事件
D．事件“兩次均未擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件
【解答】解：對(duì)于A，事件“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中”，
所以不是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件“第一次擊中”包含“第一次擊中、第二次擊中”和“第一次擊中、第二次不中”，
所以與事件“第二次擊中”不是互斥事件，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，事件“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”，
它與事件“兩次均擊中”是互斥事件，C正確；
對(duì)于D，事件“兩次均未擊中”的對(duì)立事件是“至少一次擊中”，D正確．
故選：CD．
10．（2020春?昆山市期中）拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”、“三個(gè)反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為P1，P2，P3，P4，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．P1＝P2＝P3＝P4 B．P3＝2P1
C．P1+P2+P3+P4＝1 D．P4＝3P2
【解答】解：拋擲一枚硬幣三次，
記出現(xiàn)“三個(gè)正面”、“三個(gè)反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為P1，P2，P3，P4，
則P1＝（）3，
P2＝（）3，
P3，
P4，
∴P1＝P2＜P3＝P4，故A錯(cuò)誤；
P3＝3P1，故B錯(cuò)誤；
P1+P2+P3+P4＝1，故C正確；
P4＝3P2，故D正確．
故選：CD．
11．（2020春?芝罘區(qū)校級(jí)期末）從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是（　　）
A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”
B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”
C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”
D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”
【解答】解：”至少有一個(gè)黑球“中包含“都是黑球，A正確；
“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”可能同時(shí)發(fā)生，B正確；
“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，C不正確；
“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，D不正確．
故選：AB．
12．以下對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（　　）
A．甲，乙兩人玩剪刀、石頭、布的游戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适?
B．每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如8＝3+5，在不超過(guò)14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于14的概率為
C．將一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是
D．從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是
【解答】解：兩人玩剪刀、石頭、布的游戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕蕬?yīng)試，A錯(cuò)；
不超過(guò)14的素?cái)?shù)是2，3，5，7，11，13有6個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有C15種，
其和等于14的只有3，11一種情況，所以概率為，則B對(duì)；
擲骰子2次向上的點(diǎn)數(shù)有36種情況，用列舉法可求點(diǎn)數(shù)之和是6的有5種，所以概率是，則C對(duì)；
從三正品，一次品中取2件的取法C6，全是正品的取法C3，所以概率為，則D對(duì)．
故選：BCD．
三．填空題（共4小題）
13．（2019春?淮安期末）若三個(gè)原件A，B，C按照如圖的方式連接成一個(gè)系統(tǒng)，每個(gè)原件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)原件A正常工作且B，C中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次為0.7，0.8，0.9，則這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為　0.686　

【解答】解：系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個(gè)步驟，A正常工作且B，C至少有一個(gè)正常工作的情況，
A正常工作的概率為：0.7；
B，C至少有一個(gè)正常工作的情況的概率為1減去B，C都不正常工作的情況的概率，
即：B，C至少有一個(gè)正常工作的概率為：1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98，
所以：這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為：0.7×0.98＝0.686；
故答案為：0.686；
14．（2019春?息縣期中）在拋擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“不大于4的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件A∪發(fā)生的概率為　　．（表示B的對(duì)立事件）
【解答】解：隨機(jī)拋擲一顆骰子一次共有6中不同的結(jié)果，
其中事件A“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點(diǎn)”包括2，4兩種結(jié)果，P（A），
事件B“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”的對(duì)立事件，
P（B），P（），
且事件A和事件是互斥事件，
∴P（A）．
故答案為：．
15．（2018秋?懷仁市校級(jí)期末）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件A＝“取出的兩球同色”，B＝“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的2球至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一個(gè)白球”．下列判斷中正確的序號(hào)為?、佗堋。?br /> ①A與D為對(duì)立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對(duì)立事件：④P（C∪E）＝1；⑤P（B）＝P（C）．
【解答】解：口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，
事件A＝“取出的兩球同色”，B＝“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，
C＝“取出的2球至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一個(gè)白球”．
在①中，A與D為對(duì)立事件，故①正確；
在②中，B與C能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故②錯(cuò)誤；
在③中，C與E能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故③錯(cuò)誤：
在④中，∵C∪E＝Ω，∴P（C∪E）＝1，故④正確；
在⑤中，P（B），P（C）．故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①④．
16．（2019秋?米東區(qū)校級(jí)期中）若隨機(jī)事件A、B互斥，A、B發(fā)生的概率均不等于0，且分別為P（A）＝2﹣a，P（B）＝3a﹣4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　（]?。?br /> 【解答】解：∵隨機(jī)事件A、B互斥，A、B發(fā)生的概率均不等于0，
且分別為P（A）＝2﹣a，P（B）＝3a﹣4，
∴，即，
解得．
故答案為：（]．
四．解答題（共5小題）
17．（2019春?興慶區(qū)校級(jí)月考）某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35．
（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？
（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少
【解答】解：（1）設(shè)事件“電話響第k聲時(shí)被接”為Ak（k∈N），
那么事件Ak彼此互斥，
設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A，
根據(jù)互斥事件概率加法公式，得：
P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）
＝P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）
＝0.1+0.2+0.3+0.35＝0.95．
（2）事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件A，
“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對(duì)立事件，記為．
根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，得P（）＝1﹣P（A）＝1﹣0.95＝0.05．
18．（2019春?九臺(tái)區(qū)期中）甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：
（1）兩人都射中的概率；
（2）兩人中恰有一人射中的概率；
（3）兩人中至少有一人射中的概率．
【解答】解：設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B．事件A與B是相互獨(dú)立的．
（1）兩人都射中的概率為P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72．
（2）兩人中恰有一人射中的概率為 P（A）+P（B）＝0.8×（1﹣0.9）+（1﹣0.8）×0.9＝0.26．
（3）兩人中至少有一人射中的概率等于1減去兩個(gè)人都沒(méi)有擊中的概率，
∴所求的概率等于 1﹣P（）＝1﹣P（）?P（）＝1﹣0.2×0.1＝0.98．
19．（2020?西寧模擬）某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿(mǎn)100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（Ⅰ）若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為X（元）．求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

【解答】解：設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．
則．
（Ⅰ）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域．∴
即消費(fèi)128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是．

（Ⅱ）由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次．
隨機(jī)變量X的可能值為0，30，60，90，120．
；
；
；
；
．
所以，隨機(jī)變量X的分布列為：
X
0
30
60
90
120
P





其數(shù)學(xué)期望．
20．（2020?南通模擬）某種質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，將這個(gè)玩具拋擲n次，記第n次拋擲后玩具與桌面接觸的面上所標(biāo)的數(shù)字為an，數(shù)列{an}的前n和為Sn．記Sn是3的倍數(shù)的概率為P（n）．
（1）求P（1），P（2）；
（2）求P（n）．
【解答】解：（1）拋擲一次，出現(xiàn)一個(gè)0和一個(gè)3時(shí)符合要求，故P（1），
拋擲兩次，出現(xiàn)1+2，2+1，0+0，3+3，0+3，3+0時(shí)，符合要求，故計(jì)6種情況，
故P（2）．
（2）設(shè)Sn被3除時(shí)余1的概率為p1（n），Sn被3除時(shí)余2的概率為P2（n），
則P（n+1），①
P1（n+1），②
P2（n+1），③
①﹣（②+③），得：
P（n+1）﹣[P1（n+1）+P2（n+1）][P1（n）+P2（n）]，
化簡(jiǎn)，得4P（n+1）＝p（n）+1，
∴P（n+1）[P（n）]，
又P（1），
∴P（n）．
21．（2020?北京模擬）為貫徹十九大報(bào)告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿(mǎn)足人民日益增長(zhǎng)的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要“的要求，某生物小組通過(guò)抽樣檢測(cè)植物高度的方法來(lái)監(jiān)測(cè)培育的某種植物的生長(zhǎng)情況．現(xiàn)分別從A，B，C三塊試驗(yàn)田中各隨機(jī)抽取7株植物測(cè)量高度，數(shù)據(jù)如表（單位：厘米）：
A組
10
11
12
13
14
15
16
B組
12
13
14
15
16
17
18
C組
13
14
15
16
17
18
19
假設(shè)所有植株的生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立．從A，B，C三組各隨機(jī)選1株，A組選出的植株記為甲，B組選出的植株記為乙，C組選出的植株記為丙．
（Ⅰ）求丙的高度小于15厘米的概率；
（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（Ⅲ）表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0．從A，B，C三塊試驗(yàn)田中分別再隨機(jī)抽取1株該種植物，它們的高度依次是14，16，15 （單位：厘米）．這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，試比較μ0和μ1的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i株植物”，
事件Bi為“乙是B組第i株植物”，
事件?i為“丙是C組第i株植物”，i＝1，2，3，4，…，7，
由題意得P（Ai）＝P（Bi）＝P（?i），i＝1，2，3，4，…，7，
設(shè)事件D為“丙的高度小于15厘米”，由題意D＝C1∪C2，且C1與C2互斥，
∴丙的高度小于15厘米的概率為：
P（D）＝P（C1∪C2）．
（Ⅱ）設(shè)事件E為“甲的高度大于乙的高度”，
∴甲的高度大于乙的高度的概率為：
P（E）＝P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A6B3）+P（A7B3）+P（A7B4）
＝10P（A4B1）＝10．
（Ⅲ）所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)μ0（10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19）≈14.67，
μ1（10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19+14+16+15）≈14.71．
∴μ0＜μ1．

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