考點一、反比例函數(shù)的定義
如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數(shù).
一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).
注意：
（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時，分式無意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是，故函數(shù)圖象與軸、軸無交點；
（2）可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.
（3）()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.
考點二、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)
1.反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)
2.畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：
（1）列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；
（2）描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；
（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠不與坐標(biāo)軸相交
考點三、實際問題與反比例函數(shù)
1.待定系數(shù)法：若題目提供的信息中明確此函數(shù)為反比例函數(shù)，則可設(shè)反比例函數(shù)解析式為，然后求出k的值即可．
2.列方程法：若題目信息中變量之間的函數(shù)關(guān)系不明確，在這種情況下，通常是列出關(guān)于因變量（y）和自變量（x）的方程，進而解出函數(shù)，得到函數(shù)解析式．
題型一反比例函數(shù)的定義
【例1】下列各變量之間的關(guān)系屬于反比例函數(shù)關(guān)系的有（ ）
①當(dāng)路程一定時，汽車行駛的平均速度v與行駛時間t之間的關(guān)系；
②當(dāng)商品的進價一定時，利潤k與售價a之間的函數(shù)關(guān)系；
③當(dāng)矩形的面積一定時，矩形的長a與寬b之間的函數(shù)關(guān)系；
④當(dāng)電壓一定時，電路中通過的電流強度I與電阻R之間的函數(shù)關(guān)系．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【例2】若函數(shù)是反比例函數(shù)，則 ．
【變式1-1】下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】若是關(guān)于的反比例函數(shù)，則常數(shù) ．
【變式1-3】已知：，并且與x成正比例，與成反比例，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，求y與x之間的函數(shù)解析式．
題型二待定系數(shù)法求解析式
【例3】反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3，2)，下列各點在此反比例函數(shù)圖象上的是（ ）
A．B．C．D．
【例4】如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線交于點，直線：分別交兩函數(shù)圖象于點和點，過點作交反比例函數(shù)圖象于點．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
【變式2-1】如圖，是面積為4的等腰三角形，底邊在x軸上，若反比例函數(shù)圖象過點B，則它的解析式為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-2】如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點、，與y軸相交于點C．
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)連接、，求的面積．
【變式2-3】在平面直角坐標(biāo)系中，將點向下平移5個單位長度得到點B，若點B恰好在反比例函數(shù)的圖象上，則此反比例函數(shù)的表達式為 ．
題型三反比例函數(shù)的圖象的判斷問題
【例5】在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) 與反比例函數(shù) 的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例6】函數(shù)與()在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3-1】函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3-2】已知在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-3】函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C．
D．

題型四反比例函數(shù)的增減性問題
【例7】對于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，隨的增大而減小
B．圖象分布在第二、四象限
C．圖象經(jīng)過點
D．若點都在圖象上，且，則
【例8】若點，，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．或
【變式4-1】從下列4個函數(shù)：①；②；③；④中任取一個，函數(shù)值隨自變量的增大而增大的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【變式4-2】當(dāng)反比例函數(shù)的自變量滿足時，函數(shù)值滿足，則的值為（ ）
A．B．或2C．或D．2或
【變式4-3】已知反比例函數(shù)的圖象上兩點．若，則m的取值范圍是 ．
題型五圖形面積與比例系數(shù)
【例9】如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，有，，，等點，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，，分別過這些點作軸與軸的垂線，圖中陰影部分的面積從左到右依次為，，，，，則 ．
【例10】如圖，點A是雙曲線上一點，過點A分別作軸，軸，垂足分別為B，C兩點.，與雙曲線分別交于D，E兩點，若四邊形的面積為6，則 ．
【變式5-1】如圖，點A在函數(shù)的圖象上，過點A作軸于點B，作軸交函數(shù)的圖象于點C，連接，四邊形的面積為 ．
【變式5-2】如圖，點為坐標(biāo)原點，平行四邊形的頂點在反比例函數(shù)的圖像上，頂點在反比例函數(shù)的圖像上，點在軸的正半軸上，則平行四邊形的面積是 ．
【變式5-3】如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點A、B，點A、B的橫坐標(biāo)分別為1，，一次函數(shù)圖象與y軸的交于點C，與x軸交于點D．
(1)求一次函數(shù)的解析式；
(2)對于反比例函數(shù)，當(dāng)時，寫出x的取值范圍；
(3)點P是第三象限內(nèi)反比例圖象上的一點，若點P滿足S△BDP＝S△ODA，請求出點P的坐標(biāo)．
題型六一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題
【例11】已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象交于，兩點，若，則的值為 ．
【例12】已知點、點都在反比例函數(shù)圖象上．
(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)過點Q分別作兩坐標(biāo)軸的垂線，垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S，求S；
(3)一次函數(shù)的圖象過點P、Q，求一次函數(shù)的表達式，并根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．
【變式6-1】如圖，直線與雙曲線交于點A，將直線向右平移3個單位后，直線與雙曲線交于點B，與x軸交于點C，若，則 ．

【變式6-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩條平行直線和分別與反比例函數(shù)的圖象相交于點．已知直線經(jīng)過點，且．

(1)求的值；
(2)求的值，并直接寫出：當(dāng)時，不等式的解集．
【變式6-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點．
(1)求反比例函數(shù)解析式；
(2)若這兩個函數(shù)圖象的另一個交點為C，點B在x軸上，且，求點B的坐標(biāo)；
(3)若點在該反比例函數(shù)圖象上，且它到x軸距離小于3，請根據(jù)圖象直接寫出m的取值范圍．
題型七反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
【例13】受北京冬奧會影響，小勇愛上了滑雪運動．一天，小勇在滑雪場訓(xùn)練滑雪，他從滑雪道頂端勻速滑到終點．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒．
(1)求小勇第一次訓(xùn)練的速度是多少米/秒？
(2)求所用時間秒與速度米秒的函數(shù)關(guān)系式；若要使所用時間不超過秒，則速度應(yīng)不低于多少米/秒？
【例14】學(xué)校下午放學(xué)時校門口的“堵塞”情況已成為社會熱點問題，某校對本校下午放學(xué)校門口“堵塞”情況做了一個調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每天放學(xué)時間2分鐘后校門外學(xué)生流量變化大致可以用“擁擠指數(shù)”（）與放學(xué)后時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系描述．如圖，2～12分鐘呈二次函數(shù)狀態(tài)，且在第12分鐘達到該函數(shù)最大值100，此后變化大致為反比例函數(shù)的圖象趨勢．若“擁擠指數(shù)”，校門外呈現(xiàn)“擁擠狀態(tài)”，需要護學(xué)崗執(zhí)勤人員維護秩序、疏導(dǎo)交通．
(1)求該二次函數(shù)的解析式和k的值；
(2)“擁擠狀態(tài)”持續(xù)的時間是否超過15分鐘？請說明理由．
【變式7-1】為了更好助推鄉(xiāng)村振興，今年水果上市期間，某單位駐村工作隊立足本地特色，在打通為農(nóng)服務(wù)“最后一公里”上主動作為，在村里成立村級供銷合作社，幫助果農(nóng)進行銷售，該村水果月銷售額y（萬元），在成立村級供銷合作社前是反比例函數(shù)圖象的一部分，成立村級供銷合作社后是一次函數(shù)圖象的一部分．
(1)當(dāng)時，求y與x的關(guān)系式，并求出該種水果4月份的銷售額；
(2)該村水果有多少個月的月銷售額不超過90萬元？
【變式7-2】制作一種工藝品時，需先將材料加熱到，再進行后續(xù)操作．設(shè)整個過程所用時間為x（分鐘），材料的溫度為y（），材料加熱過程中，溫度y是時間x的一次函數(shù)，工藝品制作過程中，y是x的反比例函數(shù)，材料加熱與工藝品制作過程中，y與x的函數(shù)圖象如圖所示．
(1)求工藝品制作過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若此工藝品在制作過程中溫度不能低于，那么只加熱一次后，最多幾分鐘后就得停止工藝品的制作？
【變式7-3】大約在兩千四五百年前，如圖①墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成像的實驗，并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖②，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當(dāng)像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當(dāng)時，．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
(2)若小孔到蠟燭的距離為，求火焰的像高；
(3)若火焰的像高不得超過，求小孔到蠟燭的距離至少是多少厘米？
題型八反比例函數(shù)的存在性問題
【例15】如圖，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于，N兩點．

(1)求M，N兩點的坐標(biāo)；
(2)求的面積？
(3)若反比例函數(shù)在第一象限上存在一點P，使得是以為腰的等腰三角形，求P點坐標(biāo)？
【例16】已知點A是反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)圖象在第三象限的交點，軸于點B，等腰直角三角形的面積等于4．
(1)求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的表達式；
(2)直線：圖象分別交反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象于點N、M，若，求點M的坐標(biāo)；
(3)在（2）問條件下，點P是反比例函數(shù)圖象第一象限分支上一動點，連接，是否存在直線，作于點Q，使得？若存在求出的表達式，若不存在請說明理由．
【變式8-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點與軸交于點，交軸交于點．

(1)求，的值；
(2)若點是反比例函數(shù)的圖象上的一動點，連接，，當(dāng)?shù)拿娣e等于時，求的坐標(biāo)；
(3)在反比例函數(shù)圖象上存在一點，若點為坐標(biāo)軸上一動點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出的坐標(biāo)．
【變式8-2】如圖，直線與雙曲線（）交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為，點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且．
(1)求k的值并直接寫出點B的坐標(biāo)；
(2)P是x軸上的一點，Q是平面內(nèi)一點，是否存在點P、Q，使得四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)若點G是直線上的動點，連接，，若三角形的面積為6，求點G的坐標(biāo)．
【變式8-3】如圖，是的直徑， ，與相交于點E，D 是的中點，直線與直線相交于點F．

(1)求證：是的切線．
(2)已知，當(dāng)長度變化時，的長也隨之變化．
①當(dāng) 時，
②在整個變化過程中，的長是否存在最大值？ 判斷并說明理由．
題型九反比例與幾何的綜合
【例17】如圖，點和在反比例函數(shù)（）的圖象上，其中．過點A作軸于點．

（1）的值為 ；
（2）若的面積為，則 ．
【例18】如圖，直線與雙曲線交于，兩點，與軸，軸分別交于點．
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
(2)設(shè)點是軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，請求出點的坐標(biāo)；
(3)將直線向下平移個單位后，與雙曲線有唯一交點，的值為______．
【變式9-1】如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一，，點坐標(biāo)為，，邊與軸交于點，且，反比例函數(shù)與的圖象分別經(jīng)過點和點，則 ．

【變式9-2】如圖，矩形中，，，點E是的中點，連接，點P是線段上的一動點，從E向B運動，連接，點M是的中點，連接，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點M，當(dāng)取得最小值時，k的值是 ．
【變式9-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，長方形的邊分別在軸、軸上，點的坐標(biāo)為，雙曲線的圖象經(jīng)過線段的中點．
(1)求的值；
(2)若點在反比例函數(shù)的圖象上運動（不與點重合），過作軸于點，記的面積為，求關(guān)于的解析式，并寫出的取值范圍．
一、單選題
1．下列函數(shù)中，y是x反比例函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
2．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與 的圖象大致是（ ）
A． B．

C．
D．

3．在函數(shù)的圖象上有三點，，．則下列各式正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點，為的直徑，點在函數(shù)的圖象上，為軸上一點，的面積為，則的值為( )
A．B．C．D．
5．如圖，P，Q是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，分別過P，Q作x軸，y軸的垂線，構(gòu)成圖中的三個相鄰且不重疊的小矩形，其面積分別表示為，，，已知，則的值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．如圖，甲所示的是一款酒精濃度監(jiān)測儀的簡化電路圖，其電源電壓保持不變，為定值電阻，為酒精氣體濃度傳感器氣敏電阻，的阻值與酒精濃度的關(guān)系如圖乙所示，當(dāng)接通電源時，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)酒精濃度增大時，的阻值增大
B．當(dāng)酒精濃度增大時，電壓表的示數(shù)與電流表的示數(shù)的比值不變
C．當(dāng)酒精濃度增大時，電流表的示數(shù)變小
D．當(dāng)酒精濃度增大時，電壓表的示數(shù)變小
7．我們知道函數(shù)的圖象可以由反比例函數(shù)的圖象左右平移得到，下列關(guān)于的圖象的性質(zhì)：
①的圖象可以由的圖象向右平移3個單位長度得到；
②的圖象關(guān)于點對稱；
③的圖象關(guān)于直線對稱；
④若，根據(jù)圖象可知，的解集是．
其中正確的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①②④
8．如圖，點，B均為雙曲線在第一象限上的點，且，則點B的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)的圖像位于第二、四象限，則k的取值范圍是 ．
10．若點在反比例函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值為 ．
11．如圖，已知反比例函數(shù)，，點A在y軸的正半軸上，過點A作直線軸，且分別與兩反比例函數(shù)的圖象交于點C和點B，連接，，若的面積為9，，則 ．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，若點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為 ．
13．如圖，點是雙曲線上一點，射線與另一支曲線交于點軸，垂足為點．有以下結(jié)論：①；②點坐標(biāo)為；③面積為；④隨的增大而增大，其中正確的結(jié)論是 （填入正確答案的序號）．

14．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸的負(fù)半軸上，點在軸的負(fù)半軸上，，以為邊向上作正方形．若圖象經(jīng)過點的反比例函數(shù)的表達式是，則圖象經(jīng)過點的反比例函數(shù)的表達式是 ．
15．定義，若，則的取值范圍是 ．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點，過點的直線軸，分別交反比例函數(shù)和的圖象于點，，且，．

（1）的值為 ；
（2）若直線與直線交于點，當(dāng)點，，中其中兩點關(guān)于第三點對稱時，的值為 ．
三、解答題
17．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于這兩點，與y軸相交于點C．
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點D與點C關(guān)于x軸對稱，求的面積．
(3)根據(jù)圖象直接寫出的x的取值范圍．
18．如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點，，軸，交軸于點．
(1)若，則 ．
(2)若，則點坐標(biāo) ；當(dāng) 時，的取值范圍 ．
(3)點在第一象限反比例函數(shù)圖像上，，設(shè)，，用含或的式子表示和長，并求值．
19．某種原料需要達到60℃及以上才能加工制作零件，如圖表示原料的溫度y（℃）與時間x（min）之間的關(guān)系，其中線段表示原料加熱階段；線段軸，表示原料的恒溫階段；曲線是反比例函數(shù)圖象的一部分，表示原料的降溫階段．根據(jù)圖象回答下列問題：
(1)填空：a的值為 ；
(2)在圖中所示的溫度變化過程中，求可進行零件加工的時間．
20．如圖，已知，，連接，以為邊在第一象限內(nèi)作正方形，直線與反比例函數(shù)相交于，兩點，連接，交軸于點．

(1)求的值及直線的解析式；
(2)求的面積．
21．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，與反比例函數(shù)的圖象交于點，．
(1)分別求出兩個函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．
(3)連接，，求的面積；
(4)點是反比例函數(shù)上一點，軸交直線于，且請直接寫出點的坐標(biāo)．
反比例函數(shù)的圖象是雙曲線
圖象
性質(zhì)
（1）圖象分別位于第一、三象限；
（2）在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減小
（1）圖象分別位于第二、四象限；
（2）在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大
對稱性
反比例的圖像關(guān)于原點的對稱

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熱點專題02 二次函數(shù)（11個熱點）-九年級數(shù)學(xué)全冊重難熱點提升精講與過關(guān)測試（人教版）

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熱點專題01 一元二次方程（12個熱點）-九年級數(shù)學(xué)全冊重難熱點提升精講與過關(guān)測試（人教版）

熱點專題01 一元二次方程（12個熱點）-九年級數(shù)學(xué)全冊重難熱點提升精講與過關(guān)測試（人教版）
第二十六章 反比例函數(shù) 過關(guān)測試-九年級數(shù)學(xué)全冊重難熱點提升精講與過關(guān)測試（人教版）

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