考點(diǎn)一、事件類型
1.必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.
2.不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.
3.不確定事件：許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，稱為不確定事件（又叫隨機(jī)事件）.
說明：（1）必然事件、不可能事件都稱為確定性事件.
（2）事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件發(fā)生的概率為1，即(必然事件)；
②不可能事件發(fā)生的概率為0,即（不可能事件）；
③如果為不確定事件，那么
考點(diǎn)二、概率
1.定義：一般地，對于一個隨機(jī)事件，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件發(fā)生的概率，記為．
（1）一個事件在多次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個事件發(fā)生的概率.
（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數(shù)值.
2.概率的求法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中的種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率為．
（1）一般地，所有情況的總概率之和為1;
（2）在一次實(shí)驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個;
（3）在一次實(shí)驗(yàn)中,各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等;
（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0;
（5）可能性與概率的關(guān)系
事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．
3.求概率方法：
（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時使用.等可能性事件的概率可以用列舉法而求得.但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法;
（2）列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時使用;
（3）列樹形圖法：當(dāng)一個實(shí)驗(yàn)要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時使用.
考點(diǎn)三、頻率與概率
1.頻數(shù)：在多次試驗(yàn)中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù).
2.頻率：某個事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比，叫做這個事件出現(xiàn)的頻率.
3.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，那么，這個常數(shù)就叫作事件的概率，記為.
題型一事件的分類
【例1】下列事件中，屬于必然事件的是（ ）
A．在一個只裝有黑球的箱子里摸到白球
B．蒙上眼睛射擊正中靶心
C．打開電視機(jī)，正在播放綜藝節(jié)目
D．在1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100攝氏度沸騰
【例2】下列事件中，是隨機(jī)事件的是（ ）
A．明天太陽從東方升起B(yǎng)．通常加熱到時，水沸騰
C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是D．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)
【變式1-1】在五千年的歷史長河中，中華文化絢麗多彩從未斷流，而“成語”則是中華文化的一大瑰寶，下列成語所描述的事件中，不可能事件是（ ）
A．百步穿楊B．甕中捉鱉C．守株待兔D．水中撈月
【變式1-2】如圖，電路圖上有4個開關(guān)和1個小燈泡，在所有的元件和線路都正常的前提下．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機(jī)事件的是（ ）
A．只閉合1個開關(guān)B．只閉合2個開關(guān)C．只閉合3個開關(guān)D．閉合4個開關(guān)
【變式1-3】成語“守株待兔”反映的事件是 事件（填必然、不可能或隨機(jī)）．
題型二事件可能性的大小問題
【例3】在下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（ ）
A．用長為，，三根木棒做成一個三角形
B．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中10環(huán)
C．東臺五一節(jié)當(dāng)天的最高溫度為30℃
D．在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下
【例4】一只不透明的袋子中裝有2個白球和3個紅球，現(xiàn)在向袋中再放入n個白球，袋中的這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，若要使摸到白球比摸到紅球的可能性大，則n的最小值等于 ．
【變式2-1】一個不透明的袋子中裝有9個小球，其中4個紅球，2個黑球，2個白球，1個藍(lán)球，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個小球，則摸出的小球可能性最大的是（ ）
A．紅球B．黑球C．白球D．藍(lán)球
【變式2-2】一個不透明的口袋里有4個黃球和4個紅球，除顏色不同以外其余均相同，從口袋中任意提出1個球，要使摸出黃球的可能性大于摸出紅球的可能性，可以在摸球之前（ ）．
A．拿出2個黃球B．拿出2個紅球C．放入2個白球D．放入2個紅球
【變式2-3】盒中裝有紅球、黃球共100個，每個球除顏色以外都相同，每次從盒中摸一個球，摸三次，請你設(shè)計(jì)下面幾種情況的摸球方案．
(1)摸到紅球是不可能的；
(2)摸到紅球是必然的；
(3)摸到紅球情況有三種：很可能，可能，不太可能．
題型三概率公式的計(jì)算
【例5】如圖，A是某景區(qū)的入口，B，C，D，E是四個不同的出口，小紅從A處進(jìn)入景區(qū)，游玩后任選一個出口離開，則她從D出口離開的概率是（ ）

A．B．C．D．
【例6】一個不透明的口袋里有10個除顏色外形狀大小都相同的球，其中有4個紅球，6個黃球．
(1)若從中隨意摸出一個球，則摸出黃球的概率為______________；
(2)若從中隨意摸出一個球是紅球的概率為，求袋子中需再加入幾個紅球？
【變式3-1】任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子各個面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，則朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率是 ．
【變式3-2】一個不透明口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色玻璃球共200個，小明通過大量摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率為，則估計(jì)紅球的個數(shù)約為 ．
【變式3-3】在一個不透明的布袋中裝有30個白球和若干個黑球，它們只有顏色不同．若摸出一個球是黑球的概率是，則布袋中黑球的個數(shù)有 ．
題型四幾何概率
【例7】如圖，將一個飛鏢隨機(jī)投擲到的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分的概率為（ ）
A．B．C．D．
【例8】如圖，是一塊草地，將陰影部分修建為花圃，已知，陰影部分是的內(nèi)切圓，一只小鳥將隨機(jī)落在這塊草地上，則小鳥落在花圃上的概率為 ．

【變式4-1】如圖，轉(zhuǎn)盤中陰影部分扇形的面積為，轉(zhuǎn)盤所在圓的半徑為2，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影部分的概率是 ．

【變式4-2】如圖是用相同正方形磚鋪成的地面，一寶物藏在其中某一塊磚的下面，則寶物在黑色區(qū)域的概率是 ．
【變式4-3】如圖，在邊長為4的正方形中，分別以四個頂點(diǎn)為圓心，以2為半徑畫圓弧，若隨機(jī)向正方形內(nèi)投一粒米（米粒大小忽略不計(jì)），則米粒落在圖中陰影部分的概率為 ．

題型五有關(guān)卡片及轉(zhuǎn)盤的概率問題
【例9】甲、乙兩盒中各有3張卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字和，這些卡片除數(shù)字外都相同．把卡片洗勻后，從甲、乙兩盒中各任意抽取1張，并把抽取得卡片上的數(shù)字分別作為平面直角坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)．
(1)列出這樣的點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)（用畫樹狀圖或列表法求解）；
(2)計(jì)算這些點(diǎn)落在直線上的概率．
【例10】有一個轉(zhuǎn)盤如圖，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動兩次，求
(1)第一次指針落在白色區(qū)域的概率為__________．
(2)用畫樹狀圖或列表法求指針一次落在白色區(qū)域，另一次落在灰色區(qū)域的概率．
【變式5-1】為紀(jì)念杭州第19屆亞運(yùn)會成功舉辦，小東收集了如圖所示的四張小卡片（除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)將四張卡片背面朝上，洗勻放好．
(1)小東從中隨機(jī)抽取一張卡片是“亞運(yùn)會會徽”的概率是__________；
(2)小東從中隨機(jī)抽取一張卡片（不放回），再從余下的卡片中隨機(jī)抽取一張，請你用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪榈降膬蓮埧ㄆ『檬恰凹槲锷徤彙焙汀凹槲镧钡母怕剩ㄟ@四張卡片依次分別用字母A，B，C，D表示）
【變式5-2】有四張完全一樣正面分別寫有漢字“吉”、“林”、“七”、“中”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回，洗勻后再從中隨機(jī)抽取一張，請用列表法或者畫樹狀圖法求抽取的兩張卡片上的漢字相同的概率．
【變式5-3】如圖，一轉(zhuǎn)盤被等分成三個扇形，上面分別標(biāo)有數(shù)，1，2，指針位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，這時，某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢?，并相?yīng)得到這個扇形上的數(shù)（若指針恰好指在等分線上，則當(dāng)作指向右邊的扇形）．

(1)若小靜轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，求得到負(fù)數(shù)的概率．
(2)小宇和小靜分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，若兩人得到的數(shù)相同，則稱兩人“英雄所見略同”，用列表法（或樹狀圖法）求兩人“英雄所見略同”的概率．
題型六有關(guān)摸球的概率問題
【例11】一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的3個小球，這些球除顏色外都相同，若從中隨機(jī)摸出一個球，這個球是白球的概率為．
(1)求袋子中白球的個數(shù)；
(2)隨機(jī)摸出一個球后，放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率．（請結(jié)合樹狀圖或列表解答）
【例12】一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“我”、“愛”、“中”、“國”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先搖均勻．
(1)若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“愛”的概率是多少？
(2)從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個球上的漢字能組成“中國”的概率．
【變式6-1】在抽獎現(xiàn)場，一個不透明的袋中裝有個紅球，個黃球，個白球，個黑球，從袋中隨機(jī)摸出個球，摸到紅球表示抽中一等獎，獎金元；摸到黃球表示抽中二等獎，獎金元；摸到白球表示抽中三等獎，獎金元；摸到黑色表示未中獎．小明有兩次抽獎機(jī)會，第次摸出球后，放回袋中并搖勻，再摸第次．求小明兩次獲得獎金不低于元的概率．
【變式6-2】一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻．
(1)從袋子中任意摸出1個球，則摸到的球是紅球的概率為___________；
(2)從袋子中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球，求兩次中至少有一次是紅球的概率．
【變式6-3】一只不透明的袋子中裝有4個除了顏色外都相同的小球，其中兩個紅球、一個黃球、一個綠球．?dāng)噭蚝笙葟闹忻?個小球（不放回），再從余下的當(dāng)中摸出一個小球，如果紅球代表A種矩形紙片，黃球代表B種矩形紙片，綠球代表C種矩形紙片，通過畫樹狀圖或列表求兩次摸出的小球代表的紙片能拼成一個新矩形的概率（不重疊無縫隙拼接）
題型七有關(guān)電路和數(shù)字的概率問題
【例13】如圖所示的電路圖中，當(dāng)隨機(jī)閉合，，，中的兩個開關(guān)時，燈泡能發(fā)光的概率為（ ）
A．B．C．D．
【例14】從1、、2這三個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中一個數(shù)記為，另一個數(shù)記為，則點(diǎn)恰好落在一次函數(shù)的圖象上的概率為 ．
【變式7-1】在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個，能讓燈泡發(fā)光的概率是 ．
【變式7-2】設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從2，3，4三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的概率．
【變式7-3】已知代數(shù)式．
(1)化簡代數(shù)式；
(2)在滿足的整數(shù)中隨機(jī)抽取1個代入代數(shù)式中，求不會使得代數(shù)式無意義的概率．
題型八有關(guān)比賽的概率問題
【例15】在智力競答節(jié)目中，某參賽選手答對最后兩題單選題就能利通關(guān)，兩題均有四個選項(xiàng)，此選手只能排除第1題的一個錯誤選項(xiàng)，第2題完全不會，他還有兩次“求助”機(jī)會（使用可去掉一個錯誤選項(xiàng)），為提高通關(guān)概率，他的求助使用策略為（ ）
A．兩次求助都用在第1題B．兩次求助都用在第2題
C．在第1第2題各用一次求助D．兩次求助都用在第1題或都用在第2題
【例16】2023年10月15日上午，我校迎來了重量級嘉賓一曼聯(lián)傳奇球星，英超歐冠雙料射手王德懷特·約克和陜西長安聯(lián)合足球俱樂部優(yōu)秀球員糜昊倫，與同學(xué)們面對面交流指導(dǎo)．為了進(jìn)一步普及和推廣足球運(yùn)動，發(fā)揚(yáng)光大“足球精神”，初一年級體育組在第二課堂活動中安排了班級之間的足球比賽．經(jīng)過第一輪的比拼后，四個班級、、、進(jìn)入半決賽．半決賽中對陣班級按如下方式?jīng)Q定：準(zhǔn)備四張一模一樣的卡片，在卡片的正面寫上四個班級的名字，將卡片背面朝上放在桌上，隨機(jī)地從中依次無放回地抽取兩張卡片，抽取到的兩張卡片代表的班級比賽，剩余兩個班級進(jìn)行比賽．
(1)抽第一張卡片時，抽到班的概率為________；
(2)請用樹狀圖或者列表法求出半決賽中班與班進(jìn)行比賽的概率．
【變式8-1】為了迎接江西師大附中八十周年校慶，政教處組織開展“校史知識競賽”，某班準(zhǔn)備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表班級參加比賽．
(1)如果已經(jīng)確定女生甲參加，再從其余的候選人中隨機(jī)選取1人，則女生乙被選中的概率是______．
(2)用列表法或樹狀圖法表示出所選代表的所有可能結(jié)果，并求出所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率．
【變式8-2】2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會在杭州開幕，電子競技首次成為亞運(yùn)會正式比賽項(xiàng)目。小明和小張是電競游戲的愛好者，他們相約一起去現(xiàn)場為中國隊(duì)加油，現(xiàn)場的觀賽區(qū)分為、、、四個區(qū)域，購票以后系統(tǒng)隨機(jī)分配觀賽區(qū)域．
(1)小明購買門票在區(qū)觀賽的概率為______；
(2)求小明和小張?jiān)谕粎^(qū)域觀看比賽的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）
【變式8-3】2023年10月26日11時14分神州十七號載人飛船成功發(fā)射．2023年，中國航天開啟高質(zhì)量、高效率、高效益發(fā)展新征程，中國人探索太空的腳步將邁得更穩(wěn)更遠(yuǎn)!為激發(fā)學(xué)生弘揚(yáng)愛國奮斗精神，以航天英雄為榜樣，不斷攀登新的科學(xué)高峰，陽光中學(xué)舉辦以“相約浩瀚太空，逐夢航天強(qiáng)國”為主題的演講比賽．九（1）班的李曉和王顏都想?yún)⒓颖荣?，他們演講水平相當(dāng)，但名額只有一個．為了公平起見，班委決定通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤來決定人選．如圖給出A，B兩個均分且標(biāo)有數(shù)字的轉(zhuǎn)盤，規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，兩個指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之和為2時，李曉獲勝；數(shù)字之和為5時，王顏獲勝，其他情況視為平局．（若指針恰好指在分割線上，則重轉(zhuǎn)，直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹梗?br>
(1)用畫樹狀圖或列表法求李曉獲勝的概率；
(2)這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請判斷并說明理由．
題型九利用頻率估計(jì)概率
【例17】在一個不透明的袋子里裝有若干個白球和個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回攪勻，經(jīng)過多次重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋中白球約有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【例18】在不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是 個．
【變式9-1】某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：
隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近于 （精確到0.01）．
【變式9-2】圓周率是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對π有過深入的研究，目前，超級計(jì)算機(jī)已計(jì)算出的小數(shù)部分超過萬億位，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同，從的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個數(shù)字為的概率為 ．
【變式9-3】為了解某花卉種子的發(fā)芽情況，研究所工作人員在相同條件下，對該花卉種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，相關(guān)數(shù)據(jù)記錄如下：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以估計(jì)該花卉種子發(fā)芽的概率為 （結(jié)果精確到）．
題型十統(tǒng)計(jì)概率的綜合
【例19】為了激發(fā)學(xué)生的航天興趣，學(xué)校舉行了太空科普知識競賽，競賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績分為如下5組（滿分100分），A組：，B組：，C組：，D組：，E組：，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了_________名學(xué)生的成績，頻數(shù)分布直方圖中_________，所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)落在_________組；
(2)補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖；
(3)若成績在90分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？
(4)學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加周一國旗下的演講，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．
【例20】某區(qū)教科院想了解該區(qū)中考數(shù)學(xué)試題中統(tǒng)計(jì)題的得分情況，從甲、乙兩所學(xué)校各隨機(jī)抽取了名學(xué)生的學(xué)生成績?nèi)缦拢ㄔ擃}滿分10分，學(xué)生得分均為整數(shù)）甲學(xué)校名學(xué)生成績（單位：分）分別為：．乙學(xué)校名學(xué)生學(xué)生成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如下．
經(jīng)過對兩校這20名學(xué)生成績的整理得下表：
(1)求出表中的、、的值．
(2)該題得分8分及其以上即為優(yōu)秀，已知甲學(xué)校有人，請估算甲學(xué)校的優(yōu)秀人數(shù)有多少人?
(3)區(qū)教科院的老師計(jì)劃從甲、乙兩校得9分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生進(jìn)行當(dāng)面談話，了解統(tǒng)計(jì)知識學(xué)習(xí)情況，請你結(jié)合樹狀圖或列表格的方式分析兩名學(xué)生都來自甲校的概率．
【變式10-1】為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國科技的快速發(fā)展，某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織了一次手抄報比賽，該班每位同學(xué)從．“中國天眼”，．“5G時代”，．“夸父一號”，．“巔峰使命”四主題中任選一個自己喜歡的主題．統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖如下請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：

(1)九（1）班共有______名學(xué)生，并把折線圖補(bǔ)充完整；
(2)C所對應(yīng)扇形圓心角的大小為______﹔
(3)請以九（1）班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)全校2000名學(xué)生大約有多少人選擇D主題；
(4)甲和乙從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表法或畫樹狀圖法求出他們選擇相同主題的概率．
【變式10-2】農(nóng)科所為了考察某種水稻穗長的分布情況，在一塊試驗(yàn)田里隨機(jī)抽取了52個谷穗作為樣本，量得它們的長度（單位:cm）．對樣本數(shù)據(jù)適當(dāng)分組后，列出了如下頻數(shù)分布表：
(1)請你在圖1，圖2中分別繪出頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖；
(2)請你對這塊試驗(yàn)田里的水稻穗長進(jìn)行分析；
(3)求這塊試驗(yàn)田里穗長在范圍內(nèi)的谷穗的概率．
【變式10-3】某校對九年級學(xué)生參與“力學(xué)”“熱學(xué)”“光學(xué)”“電學(xué)”四個類別的物理實(shí)驗(yàn)情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，每位同學(xué)僅選其中的一個類別．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：
(1)求和的值；
(2)求表示參與“熱學(xué)”實(shí)驗(yàn)的扇形圓心角的度數(shù)；
(3)參與“電學(xué)”實(shí)驗(yàn)的同學(xué)在做“燈泡亮了”的實(shí)驗(yàn)時，提出如下問題：如圖，電路圖上有四個開關(guān)、、、和一個小燈泡，閉合開關(guān)或同時閉合開關(guān)、、都可使小燈泡發(fā)光．若隨機(jī)閉合其中的兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率是多少？請你利用樹狀圖或列表的方法解答．
一、單選題
1．（2022上·廣東清遠(yuǎn)·九年級統(tǒng)考期末）已知粉筆盒里只有3支黃色粉筆和2支紅色粉筆，每支粉筆除顏色外均相同，現(xiàn)從中任取一支粉筆，則取出黃色粉筆的概率是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022下·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）小明有兩根長度分別為和的木棒，他想釘一個三角形的木框．現(xiàn)有5根木棒供他選擇，其長度分別為．小明隨手拿了一根，恰好能夠組成一個三角形的概率為（ ）
A．B．C．D．1
3．（2022上·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿正五邊形的邊，每次隨機(jī)順時針或逆時針跳動1步或2步（每步長度與長相等），則點(diǎn)跳躍兩次后，恰好落在點(diǎn)處的概率為（ ）

A．B．C．D．
4．（2022上·云南昆明·九年級統(tǒng)考期末）不透明的盒子中裝有紅、黃色的小球共20個，除顏色外無其他差別，隨機(jī)摸出一個小球，記錄顏色后放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個，下圖顯示了某數(shù)學(xué)小組開展上述摸球活動的某次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果．
下面四個推斷中正確的是（ ）
①當(dāng)摸球次數(shù)是300時，記錄“摸到紅球”的次數(shù)是99，所以“摸到紅球”的概率是0.33；
②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“摸到紅球”的頻率總在0.35附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“摸到紅球”的概率是0.35；
③可以根據(jù)本次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算出盒子中約有紅球7個；
④若再次開展上述摸球活動，則當(dāng)摸球次數(shù)為500時，“摸到紅球”的頻率一定是0.40．
A．①②B．①③C．②③D．②④
5．（2023上·廣西玉林·九年級統(tǒng)考期末）在一個不透明的袋子中有1個黑球，2個白球，這些球除顏色外的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，現(xiàn)隨機(jī)摸出1個球記下顏色，然后放回?fù)u勻，又隨機(jī)摸出1個球記下顏色，有下列說法：①第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球；②第一次摸出黑球的概率是；③兩次都摸到黑球的概率是，則以上說法正確的個數(shù)是（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
6．（2023下·全國·九年級期末）同一元素中質(zhì)子數(shù)相同，中子數(shù)不同的各種原子互為同位素，如與、與．在一次制取的實(shí)驗(yàn)中，與的原子個數(shù)比為，與的原子個數(shù)比為，若實(shí)驗(yàn)恰好完全反應(yīng)生成，則反應(yīng)生成的概率（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率
B．投一枚硬幣，“正面朝上”的概率不能用列舉法計(jì)算
C．必然事件發(fā)生的概率是1
D．概率很小的事件不可能發(fā)生
8．（2022上·浙江舟山·九年級校聯(lián)考期中）隨機(jī)抽檢一批毛衫的合格情況，得到如下的頻數(shù)表．下列說法錯誤的是（ ）
A．抽取100件的合格頻數(shù)是90B．抽取200件的合格頻率是0.95
C．任抽一件毛衫是合格品的概率為0.90D．出售2000件毛衫，次品大約有100件
二、填空題
9．（2023下·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）七巧板是我國古代勞動人民的一項(xiàng)發(fā)明，被譽(yù)為“東方模板”它山五塊等腰直角三角形、一塊正方形、一塊平行四邊形組成．如圖，某同學(xué)利用七巧板拼成的正方形玩“滾小球游戲”，小球可以在該正方形上自山滾動，并隨機(jī)地停留在某塊板上，則小球停留在陰影部分的概率是 ．

10．（2023下·上海浦東新·八年級?？计谀┎煌该鞯牟即镉?個黃球、3個紅球，它們除顏色外其它都相同，那么
（1）從布袋中任意摸出一個球，這個球恰好是紅球的概率是 ．
（2）從布袋中一次摸出兩個球，這兩個球顏色相同的概率是 ．
11．（2023下·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學(xué)?？计谀┮粋€質(zhì)地均勻的正方形骰子的六個面上分別有到的點(diǎn)數(shù)，將骰子拋擲兩次，拋第一次，將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為，拋第二次，將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為，則點(diǎn)落在直線上的概率為 ．
12．（2023上·湖北隨州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是一幅長3.2米、寬2米的長方形中國國際進(jìn)口博覽會宣傳畫．為測量宣傳畫上熊貓圖案的面積，現(xiàn)將宣傳畫平鋪在地上，向長方形宣傳畫內(nèi)隨機(jī)投擲骰子（假設(shè)骰子落在長方形內(nèi)的每一點(diǎn)都是等可能的），經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)骰子落在熊貓圖案中的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.12附近，由此可估計(jì)宣傳畫上熊貓圖案的面積為 平方米．
13．（2023下·江西撫州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，有3個涂成黑色的小方格，若再從余下的6個小方格中隨機(jī)選取1個涂成黑色，則完成的圖案為軸對稱圖案的概率是 ．

14．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）有6張大小形狀相同的卡片，正面分別寫有1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字，將它們的背面朝上洗勻后，任意抽取一張，記卡片上的數(shù)字為，能使關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)的概率是 ．
15．（2023下·上海青浦·八年級統(tǒng)考期末）從①，②，③，④四個關(guān)系中，任選兩個作為條件，那么選到能夠判定四邊形是平行四邊形的概率是 ．
16．（2023下·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┰谝粋€不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字，1，2，它們除了數(shù)字不同外，其他都完全相同．小紅從布袋中隨機(jī)摸出一個小球，記下數(shù)字作為的值，不放回，再從布袋中隨機(jī)摸出一個小球，記下數(shù)字作為的值，使得關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率是 ．
三、解答題
17．（2023下·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）淘氣和笑笑做擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）游戲，他們共做了100次試驗(yàn)，結(jié)果如下：
(1)計(jì)算“1點(diǎn)朝上”的頻率和“6點(diǎn)朝上”的頻率；
(2)笑笑將一枚骰子任意投擲一次，求朝上的點(diǎn)數(shù)為1的概率；
(3)淘氣將一枚骰子任意投擲一次，求朝上的點(diǎn)數(shù)不小于4的概率．
18．（2022上·湖北隨州·九年級統(tǒng)考期末）某校為了了解九年級男生的體質(zhì)鍛煉情況，隨機(jī)抽取部分男生進(jìn)行1000米跑步測試，按照成績分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，其中良好的學(xué)生人數(shù)占抽取學(xué)生總數(shù)的，學(xué)校繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
(1)求被抽取的合格等級的學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
(2)為了進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)校決定每天組織九年級學(xué)生開展半小時跑操活動，并準(zhǔn)備從上述被抽取的成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)選取1名擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，小明是被抽取的成績優(yōu)秀的一名男生，求小明被選中擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)的概率；
(3)學(xué)校即將舉行冬季1000米跑步比賽，預(yù)賽分為A，B，C三組進(jìn)行，選手由抽簽確定分組，求某班甲、乙兩位選手在預(yù)賽中恰好分在同一組的概率是多少？請畫出樹狀圖或列表加以說明．
19．（2023上·河南信陽·九年級校聯(lián)考期末）某校在課后服務(wù)中，成立了以下社團(tuán)：A．計(jì)算機(jī)，B．圍棋，C．籃球，D．書法每人只能加入一個社團(tuán)，為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中圖1中D所占扇形的圓心角為150°．請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有 ___________人；
(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
(3)若該校共有1800學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計(jì)這1800名學(xué)生中大約有___________名學(xué)生參加了籃球社團(tuán)；
(4)在書法社團(tuán)活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學(xué)中有兩名是男同學(xué)，兩名是女同學(xué)．現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀圖或表格求恰好選中一男一女的概率．
20．（2022上·廣東廣州·九年級廣州市天河中學(xué)?？计谀┠承拍昙墝W(xué)生參加體育“五選一”自選項(xiàng)目測試進(jìn)行抽樣調(diào)查，調(diào)查學(xué)生所報自選項(xiàng)目的情況統(tǒng)計(jì)如下：
(1)________，________；
(2)該校有九年級學(xué)生350人，請估計(jì)這些學(xué)生中選“跳繩”的約有多少人？
(3)在調(diào)查中選報“鉛球”的4名學(xué)生，其中有3名男生，1名女生，為了了解學(xué)生的訓(xùn)練效果，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生進(jìn)行“鉛球”選項(xiàng)測試，請用列舉法或樹狀圖法求所抽取的兩名學(xué)生中恰好有1名男生和1名女生的概率．
21．（2023下·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）有三把不同的鑰匙，，和兩把不同的鎖，，其中鑰匙只能打開鎖，鑰匙只能打開鎖，鑰匙不能打開這兩把鎖．
(1)隨機(jī)取出一把鑰匙，取出鑰匙的概率是___________；
(2)隨機(jī)取出一把鑰匙開任意一把鎖，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求一次打開鎖的概率
22．（2023下·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）一個口袋中裝有個白球、個紅球，這些球除顏色外完全相同，將口袋中的球攪拌均勻，求：
(1)隨機(jī)摸出一球，發(fā)現(xiàn)是白球．
如果將這個白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
如果這個白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
(2)如果將口袋中加入若干個白球，并取出相同數(shù)量的紅球，然后再從中隨機(jī)摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸了次球，發(fā)現(xiàn)有次摸到紅球，請你估計(jì)加入______ 個白球．
累計(jì)拋擲次數(shù)
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
蓋面朝上次數(shù)
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
蓋面朝上頻率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530
種子總數(shù)
發(fā)芽種子數(shù)
發(fā)芽的頻率
組別
極差
平均分
中位數(shù)
方差
甲
4
b
8
1.05
乙
7.8
2.46
穗長
頻數(shù)
4
8
12
13
10
5
類別
頻數(shù)（人數(shù)）
頻率
力學(xué)
熱學(xué)
光學(xué)
電學(xué)
合計(jì)
抽取件數(shù)（件）
100
150
200
500
800
1000
合格頻數(shù)
a
141
190
475
764
950
合格頻率
0.90
0.94
b
0.95
0.955
0.95
朝上的點(diǎn)數(shù)
1
2
3
4
5
6
出現(xiàn)的次數(shù)
15
14
25
20
13
13
自選項(xiàng)目
立定跳遠(yuǎn)
三級蛙跳
跳繩
實(shí)心球
鉛球
人數(shù)/人
頻率

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