考點一、比例線段
1．線段的比：
如果選用同一長度單位量得兩條線段長度分別是，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗?br>2．成比例線段：對于四條線段，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
3．比例的基本性質(zhì)：
（1）若，則；
（2）若，則（稱為的比例中項）．
考點二、黃金分割比
1.黃金分割的定義：點把線段分割成和兩段,如果,那么線段被點黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，與的比叫做黃金比.
注意：(叫做黃金分割值).
2.作一條線段的黃金分割點：
如圖，已知線段，按照如下方法作圖：
（1）經(jīng)過點作，使.
（2）連接，在上截取.
（3）在上截取.則點為線段的黃金分割點.
注意：一條線段的黃金分割點有兩個.
考點三、相似圖形
1.相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形
注意：①相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
②“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；
2.相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．
注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．
（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比．
考點四、平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.
幾何語言：
如圖一:直線.直線分別交于，若.則
拓展：
①如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；
如圖一:直線，直線分別交于.且距離為,若,則
②經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線平分第三邊；
如圖二:在中，為中點，交于點，則
③經(jīng)過梯形一腰中點并平行于底邊的直線必過另一腰中點并等于兩底和的一半。
如圖三:在梯形中，為中點，交于點，則
考點五、平行線分線段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對應(yīng)線段成比例.
如圖四，在中，,則
如圖五，在中，交延長線于,則
（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)線段成比例
如圖四，在中，，則
如圖五，在中，交延長線于，則
考點六、相似三角形的相關(guān)概念
在和中，如果，，我們就說與相似，記作，就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.
注意：①書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點的位置要一致，即，則說明點的對應(yīng)點是，點的對應(yīng)點是，點的對應(yīng)點是；
②對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時，兩個三角形全等.
考點七、相似三角形的判定
1.判定方法（1）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似；
2.判定方法（2）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
3.判定方法（3）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；
注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.
4.判定方法（4）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.
注意：
5.要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似
考點八、相似三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.
性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.
相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
注意：要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.
性質(zhì)3：相似三角形周長的比等于相似比
如圖一：，則
由比例性質(zhì)可得：
性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方
如圖二，，則分別作出與的高和，則
注意：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.
題型一成比例線段
【例1】已知四條線段a，b，c，d成比例，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本題考查了比例線段，利用成比例線段的定義得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷．熟練掌握成比例線段的定義是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四條線段，，，成比例，
∴，即：．
故選：B．
【例2】已知線段厘米，厘米，如果線段是線段和的比例中項，那么 厘米．
【答案】
【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項的定義得到，然后利用比例性質(zhì)計算即可，解題的關(guān)鍵是理解四條線段、、、，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，當(dāng)時，線段是線段和的比例中項．
【詳解】∵線段是線段和的比例中項，
∴， 即，
∴，
故答案為： ．
【變式1-1】下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)比例線段的概念逐項判斷即可解答
【詳解】解：A．∵，∴四條線段成比例，符合題意；
B．∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；
C．∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；
D．∵，∴四條線段成比例，不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．
【變式1-2】如圖，點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項．如果，那么 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條件得，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項，
∴，
∴根據(jù)黃金分割的定義可得出：，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割．
【變式1-3】在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（ ）（精確到0.01．參考數(shù)據(jù)：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)雕像的下部高為xm，根據(jù)題意可得，求解即可；
【詳解】設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為，
∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，高度為，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴．
故選B．
【點睛】本題主要考查了比例線段的知識點和一元二次方程的計算，準(zhǔn)確列出比例方程是解題的關(guān)鍵．
題型二黃金分割
【例3】如圖，樂器上的一根弦，兩個端點固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，且，則點A，點C之間的距離為 ．（結(jié)果保留根號）
【答案】
【分析】
本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，由得，再解方程即可；
【詳解】
解：設(shè)，則，
，
，
解得（舍），
點A，點C之間的距離為，
故答案為：．
【例4】葉脈繡是以樹葉為載體，以傳統(tǒng)刺繡襯托出葉脈美的刺繡工藝品，可謂自然之美與中國傳統(tǒng)刺繡結(jié)合得相得益彰．實際上，很多葉片本身都蘊(yùn)含著黃金分割的比例，在大自然中呈現(xiàn)出優(yōu)美的樣子．如圖，點是的黃金分割點，如果的長為，那么的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計算，即可解答．
【詳解】解：點是的黃金分割點，
，
，
故答案為：．
【變式2-1】黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點E，以E為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點F，這樣就把正方形延伸為矩形，稱其為黃金矩形．若，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握，計算即可．
【詳解】解：設(shè)，
四邊形是正方形，
，
矩形是黃金矩形，
，
，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的根，
，
故選：D．
【變式2-2】某品牌汽車為打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡設(shè)計為整個車身黃金分割點位置（如圖，即車尾到倒車鏡的距離與車長之比為），若車頭與倒車鏡的水平距離為，則該車車身總長約為 （結(jié)果保留整數(shù)）．
【答案】
【分析】本題考查黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義（黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為）．據(jù)此列式解答即可．
【詳解】解：設(shè)該車車身總長為，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解且符合題意，
∴該車車身總長約為，
故答案為：．
【變式2-3】如圖，正方形的邊長為為線段的中點，為線段的黃金分割點，以為邊作正方形，則的值為 ．
【答案】
【分析】
本題主要考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)．根據(jù)黃金分割的定義可得，再結(jié)合正方形的性質(zhì)，可得，即可求解．
【詳解】解：∵正方形的邊長為2，
∴，
∵為線段的黃金分割點，
∴，
∴，
∵為線段的中點，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
題型三比例的基本性質(zhì)
【例5】若，則下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
利用比例的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：A．因為，所以，故A不符合題意；
B．因為，所以，，故B不符合題意；
C．因為，所以，，故C不符合題意；
D．因為，所以，故D符合題意；
【例6】已知線段，b，c，如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用已知條件進(jìn)而表示出a，b，c，進(jìn)而代入求出答案．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，則，
∴．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確將已知變形是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若，則▲，●，◆這三種物體的重量比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可設(shè)，利用等比性質(zhì)可得的值，設(shè)▲為x，●為y，◆為z，得到個等式，聯(lián)立可得用x表示y、z，相比即可．
【詳解】解：設(shè)，▲為，●為，◆為，
∴，
∴，
∴，
∴▲，●，◆這三種物體的重量比為．
故選：B．
【點睛】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；利用等比性質(zhì)得到所給比值的確定值是解決本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】已知非零實數(shù)x，y滿足，則的值等于 ．
【答案】
【分析】
本題考查比例的性質(zhì)，利用設(shè)參法進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，
∴；
故答案為：．
【變式3-3】已知，則代數(shù)式的值為 ．
【答案】/0.75
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．
【詳解】
解：因為，
可得：，，
把，代入，
可得：，
故答案為：．
題型四平行線分線段成比例
【例7】如圖，正方形的邊長為，為邊中點，為邊上一點，連接，相交于點．若，則的長度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．過點作交于點，根據(jù)平行線分線段成比例定理，推出，再利用勾股定理，求得，，再利用平行線分線段成比例定理，即可求出的長度．
【詳解】解：如圖，過點作交于點，
則，即，
四邊形是正方形，邊長為6，
，，，
為邊中點，
，
，，
，
，
，
，
故選：D

【例8】如圖，在銳角中，D為邊上一點，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)后得到，且點D，B的對應(yīng)點分別為A，E，交于點O，連接．下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的證明、平行線分線段成比例定理對選項逐一判斷即可得到答案．
【詳解】解：由題意知，
又∵，
∴為等邊三角形，
∴，
故A項正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
故B項正確；
∵，
∴，
∵，，
∴，
故C項正確；
根據(jù)已知條件推不出，故D項錯誤．
故選：D．
【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的證明，平行線的證明，平行線分線段成比例定理，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵，
【變式4-1】如圖，在中，D，E分別為，邊上的點，，與相交于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：，
，，
，A正確；
，
，B錯誤；
，
，C錯誤；
，
，D錯誤，
故選：A．
【變式4-2】如圖，是的直徑，，是外的一點，是線段的中點，連接交于點，且滿足四邊形是矩形，則陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】
本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，中位線，扇形的面積等知識．找到陰影部分面積與已知圖形之間的面積關(guān)系是關(guān)鍵．根據(jù)求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵是線段的中點，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
【變式4-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A為y軸正半軸上一點，過點A作x軸的平行線，交函數(shù)的圖象于點B，交函數(shù)的圖象于點C，過點C作y軸的平行線交的延長線于點D，則四邊形的面積等于 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例，設(shè)，即可確定點B和點C的縱坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得它們的長度之比，結(jié)合平行線分線段成比例和梯形的面積公式求解即可．
【詳解】解：設(shè)，
過點A作x軸的平行線，交函數(shù)的圖象于點B，交函數(shù)的圖象于點C，
，，
，，
，
，
又，軸，
，
，
四邊形的面積等于，
故答案為：15．
題型五相似三角形的判定【例9】如圖所示，點在同一直線上，滿足，，且．求證：．

【答案】見解析
【分析】先根據(jù)同角的余角相等，得，再根據(jù)“等邊對等角”可得，然后根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”得出答案.
【詳解】證明：∵，，
∴，
即.
∵，
∴，
∴..
又∵，
∴ ．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．即兩角相等的兩個三角形相似.
【例10】如圖，中，點D是邊上一點，，連接．從下列條件中，選擇一個作為附加條件①；②；③，求證：．
【答案】②，見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．可添加根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；或添加利用兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定其相似．
【詳解】證明：選擇①
∵，
∴，
∵，
∴．
【變式5-1】如圖，已知是的直徑，點D為延長線上的一點，點A為圓上一點，且，．

(1)求證：；
(2)求證：是的切線．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由于，于是得到；
（2）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，得到，由是的直徑，得到，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）連接，
∵，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴OA⊥AD，
∴是的切線．

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，和的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上．

(1)___________°；
(2)判斷與是否相似，若相似，請給出證明；若不相似，請說明理由．
【答案】(1)135
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用，網(wǎng)格以及勾股定理解決問題即可．
（2）結(jié)論：．根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．
【詳解】（1）解：觀察圖形可知，，．
故答案為135
（2）解：結(jié)論：．
理由：，，，，
，
，
．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是網(wǎng)格與勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定定理．
【變式5-3】如圖，中，在斜邊上選一點O為圓心畫圓，此圓恰好經(jīng)過點A，且與直角邊相切于點D，連接、．

(1)求證：；
(2)若，，求陰影部分圖形的周長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，由題意易知，，，證得，可得，可證得，即可證得結(jié)論；
（2）由（1）可知，，可知，，，證得為等邊三角形，易得，可得，進(jìn)而可得，，求得的長度，結(jié)合陰影部分圖形的周長為即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
由題意可知，，為直徑，
∴，則，
∵與相切于點D，
∴，則，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，由（1）可知，，
∴，則，，，
∴為等邊三角形，則，
又∵，
∴，
∴，
∴，則，
，
∴陰影部分圖形的周長為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，圓周角定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，弧長公式，連接圓心與切點是解決問題的關(guān)鍵．
題型六相似三角形的性質(zhì)
【例11】如圖在中，、分別是邊、上的點，且，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由，求證，，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到，進(jìn)而由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定及其性質(zhì)來分析、判斷、推理或解答．
【詳解】
解：過作，如圖所示：
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故選：D．
【例12】如圖，中，，，，點D、E分別是、邊上的動點，折疊得到，且點落在邊上，若恰好與相似，的長為 ．

【答案】或
【分析】
設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)得到，分兩種情況：或，即可解決問題．
【詳解】
解：設(shè)，
∴，
∵折疊得到，
∴，
當(dāng)時，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時，
∴，
∴，
∴，
∴長是或．
故答案為：或．
【點睛】
本題考查相似三角形的性質(zhì)，折疊問題，關(guān)鍵是注意要分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可解決問題．
【變式6-1】如圖，在中，，，點D是邊上的一個動點，點E在上，點D在運(yùn)動過程中始終保持，當(dāng)時，則的長為（ ）

A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用等量代換可得，然后利用兩角相等的兩個三角形的相似證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長，進(jìn)而求出的長．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】如圖，等邊被矩形所截，，線段被截成三等份．若的面積為，圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】4
【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得到，利用三角形相似的性質(zhì)可求得，同理求得，它們的差即為所求答案．
【詳解】線段被截成三等份，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
陰影部分的面積．
故答案為：4．
【變式6-3】如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，，，，，求的長．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
，，，
，
解得：，
四邊形是矩形，
，
．
題型七相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合
【例13】如圖，在中，，，，點在邊上，點在邊上，若，且平分的周長，則的長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．過點作于點，先證，求得，從而求得再利用勾股定理即可得解．
【詳解】解：過點作于點，
∵，，，
∴
∵平分的周長，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴即
∴，
∴
∴
故選：C．
【例14】如圖，在中，，于點．

(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）證明：，，
，，
，
，
，
，
即．
（2）解：，，
，，，
，，
，
，
即，
，，
．
【變式7-1】如圖，在四邊形中，，，以為腰作等腰，頂點恰好落在邊上，若，則的長是 ．
【答案】
【分析】
作，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，可得，，， 由，得到，即可求解，
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：作輔助線構(gòu)造相似三角形．
【詳解】解：過點作，交于，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，即：，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
故答案為：．
【變式7-2】如圖，在中，點E是的中點，且，點F是的三等分點（點F靠近點A）．若5，則的長為
【答案】
【分析】
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，過點F作，分別交于點，由，得出，求得，由勾股定理求出，證明，得，進(jìn)一步求出，由勾股定理可求出．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
如圖，過點F作，分別交于點，則
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∵
∴
∴
在中，，
∵，
∴
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案為：．
【變式7-3】如圖，在中，，為的中位線，延長至F，使，連接并延長交于點M，若，則的周長為 ．
【答案】
【分析】
本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理推出，進(jìn)而推出為等邊三角形，求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵為的中位線，
∴，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴的周長為；
故答案為：．
題型八相似三角形中的動點問題
【例15】如圖，在中，，E是邊上一動點，沿A→C→B的路徑移動，過點E作，垂足為D．設(shè)，的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分類討論①當(dāng)點E在上②當(dāng)點E在上的情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：在中，，
由勾股定理可得，
①當(dāng)點E在上時，如圖，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
此時，即，
∴是開口向上的一段拋物線；排除，
②當(dāng)點E在上時，，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，為開口向下的拋物線，
故選：．
【點睛】本題考查了動點問題與相似三角形的綜合．分類討論是解題關(guān)鍵，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)定理內(nèi)容是推理關(guān)鍵．
【例16】如圖，正方形的邊與矩形的邊重合，將正方形以1cm/秒的速度沿方向移動，移動開始前點A與點F重合．已知正方形的邊長為1cm，，，設(shè)正方形移動的時間為x秒，且．

(1)直接填空： cm（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)若以G、D、C為頂點的三角形同相似，求x的值；
(3)連接，過點A作交于點P，連接．若的面積記為，的面積記為，則的值會發(fā)生變化嗎？請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不會發(fā)生變化，理由見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：
（1）根據(jù)，正方形的邊長為1cm，結(jié)合題意，列出式子即可；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)時和當(dāng)時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可；
（3）證明，推出，分別求得和，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：，正方形的邊長為1cm，正方形以1cm/秒的速度沿方向移動，移動開始前點A與點F重合．
，
故答案為：；
（2）解：由題意得，，，，
當(dāng)時，
，
，
解得：；
當(dāng)時，
，
，
解得：，
當(dāng)或時，以、、為頂點的三角形同相似．
（3）解：結(jié)論：的值不會發(fā)生變化．
理由如下：
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
的值不會發(fā)生變化．
【變式8-1】如圖，在中，，翻折，使點落在直角邊上某一點處，折痕為，點、分別在邊、上，若與相似，則的長為（）

A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，可知分兩種情況，然后根據(jù)題目中的條件，利用三角形相似，可以求得的長，從而可以解答本題．
【詳解】解：由題意可得，
當(dāng)時，
則，
∵，翻折，使點落在直角邊上某一點處，
∴，
解得；
當(dāng)時，
則，
∵，翻折，使點落在直角邊上某一點處，
解得；
由上可得，的長為或，
故選：C．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換，利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】如圖，在中，，，動點從點出發(fā)到點止，動點從點出發(fā)到點止，點的運(yùn)動速度為，點的運(yùn)動速度為．若，兩點同時出發(fā)，則當(dāng)以點，，為頂點的三角形與相似時，運(yùn)動時間為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．分兩種情況：①與對應(yīng)；②與對應(yīng)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．
【詳解】解：根據(jù)題意，點從點到點的時間為；點從點到點的時間為，
如果兩點同時運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動秒時，以點、、為頂點的三角形與相似，
則．
①當(dāng)D與B對應(yīng)時，有，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)與對應(yīng)時，有．
∴，
∴，
∴．
故當(dāng)以點、、為頂點的三角形與相似時，運(yùn)動的時間是或，符合題意，
故答案為：或．
【變式8-3】如圖，在中，，，，點P從點B出發(fā)，沿以的速度向點C移動，點Q從點C出發(fā)，以的速度向點A移動，若點P、Q分別從點B、C同時出發(fā)，當(dāng)點P運(yùn)動到點C時，P、Q停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為，當(dāng) 時，與相似．

【答案】4.8或
【分析】分和是對應(yīng)邊，和是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解．
【詳解】解：和是對應(yīng)邊時，，
所以，，
即，
解得；
和是對應(yīng)邊時，，
所以，，
即，
解得．
綜上所述，當(dāng)或時，與相似．
故答案為4.8或．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，難點在于分情況討論．
題型九相似三角形的應(yīng)用
【例17】在上完相似三角形一課后，小方設(shè)計了一個實驗來測量學(xué)校教學(xué)樓的高度．如圖，在距離教學(xué)樓為18米的點處豎立一個長度為2.8米的直桿，小方調(diào)整自己的位置，使得他直立時眼睛所在位置點、直桿頂點和教學(xué)樓頂點三點共線．測得人與直桿的距離為2米，人眼高度為1.6米，則教學(xué)樓的高度為（ ）
A．15.2米B．13.6米C．12.4米D．1米
【答案】B
【分析】
本題考查相似三角形的應(yīng)用．過點作于點，交于點．則四邊形，四邊形都是矩形．利用相似三角形的性質(zhì)求出，可得結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，過點作于點，交于點．則四邊形，四邊形都是矩形．
米，米，米，米，
米．
（米，
∵，
，
，
，
（米，
（米，
故選：B．
【例18】小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物的影長為米，的影長為米，小明的影長為米，其中、、、、五點在同一直線上，、、三點在同一直線上，且，．已知小明的身高為米，則旗桿的高為 米．
【答案】
【分析】本題考查了平行投影和相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，利用相似比計算出的長，再證明，然后利用相似比計算的長，進(jìn)一步計算即可求解，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴（米），
故答案為：．
【變式9-1】“今有邑方二百步，各開中門，出東門一十五步有木，問出南門幾何步而見木？”這是《九章算術(shù)》中的一段話，如圖，大意是今有正方形小城市，邊長200步，東門在的中點處，南門在的中點處，東門正東方向15步的點處有一棵樹，則從南門往正南方向走 步能見到這棵樹．
【答案】/
【分析】
本題考查了相似三角形的應(yīng)用．證明，利用相似三角形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)可求出的長．
【詳解】
解：由題意得步，步，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴（步；
答：從南門往正南方向走步能見到這棵樹．
故答案為：．
【變式9-2】如圖，矩形是路燈旁邊的一個廣告牌，晚上，該廣告牌在路燈的燈泡照射下，點的影子在處，點的影子在處，測得，，已知O、C、F、B、E在同一水平線上，且，，，，，求路燈燈桿的高度．

【答案】路燈燈桿的高度為
【分析】
題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出，，．再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：由已知可得，，．
∵，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
解得．
∵，
∴，
解得，
∴路燈燈桿的高度為．
【變式9-3】某河流的一段如圖1所示，現(xiàn)要估算河的寬度（即河兩岸相對的兩點A，B間的距離），可以按如下步驟操作：①先在河的對岸選定一個目標(biāo)作為點A；②再在河的這一邊選定點B和點C，使；③再選定點E，使，然后用視線確定和的交點D．
(1)用皮尺測得，，，求河寬．
(2)請用所學(xué)過的知識設(shè)計一種測量旗桿高度的方案．
要求：①畫出示意圖，所測長度用a，b，c等表示，直接標(biāo)注在圖2中的線段上；②不要求寫操作步驟；③結(jié)合所測數(shù)據(jù)直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗桿高度．
【答案】(1)河寬為95m
(2)，示意圖見解析
【分析】
本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用——測量河寬和旗桿高．熟練掌握相似三角形的判斷和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．
（1）證明，得到，得到，即得．
（2）將標(biāo)桿豎立在地面適當(dāng)?shù)奈恢?，使點C、D、A三點共線，測出，．根據(jù)，，得到，得到，得到，即得旗桿高．
【詳解】（1）
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：河寬為95m．
（2）
（方法不唯一）如圖．
①將標(biāo)桿豎立在一個適當(dāng)?shù)奈恢?，使點C和標(biāo)桿的頂點D，旗桿的頂點A三點在一條直線上，
②測出，．
③計算旗桿的高度：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴旗桿的高．
題型十圖形的位似變化
【例19】如圖，與位似，其中、的對應(yīng)點分別為、，、均在圖中正方形網(wǎng)格格點上，若線段上有一點，則點P在上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本題考查坐標(biāo)的位似變換，先根據(jù)點A和的坐標(biāo)求出位似比，從而得解，掌握求一個點位似變換后點的坐標(biāo)就是用這個點的橫縱坐標(biāo)都乘以位似比或位似比的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵與位似，其中、的對應(yīng)點分別為、，、均在圖中正方形網(wǎng)格格點上，
即A點坐標(biāo)為：，點坐標(biāo)為：，
∴線段上有一點，則點P在上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為：．
故選：C．
【例20】如圖，中，，兩個頂點在軸的上方，點的坐標(biāo)是，以點為位似中心，在軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍．設(shè)點的對應(yīng)點的橫坐標(biāo)是2，則點的橫坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是位似變換的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握位似的兩個圖形是相似形和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過B和向x軸引垂線，構(gòu)造相似比為的相似三角形，那么利用相似比和所給的橫坐標(biāo)即可求得點B的橫坐標(biāo)．
【詳解】如圖，過點B， 分別作軸于D，軸于E，
∴．
∵的位似圖形是，
∴點B， C， 在一條直線上，
∴，
∴，
，
又，
．
又∵點的橫坐標(biāo)是2，點C的坐標(biāo)是，
∴，
，
，
∴點B的橫坐標(biāo)為：．
故答案為．
【變式10-1】如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，位似比為．若的面積為8，則的面積是（ ）

A．15B．16C．9D．18
【答案】D
【分析】
根據(jù)位似比等于三角形的相似比，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)—面積之比等于相似比的平方計算即可．
【詳解】
解：解：∵與位似，點O為位似中心，相似比為，
∴與的面積之比為，
∵的面積為8，
∴的面積是18，
故選：D．
【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握面積之比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陰影所示的兩個正方形是位似圖形，若位似中心在兩個正方形之間，則位似中心的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】連接各組對應(yīng)點，它們在兩個正方形之間相交于點，則點為位似中心，然后寫出點坐標(biāo)即可．
【詳解】解：如圖，點為位似中心，．

故答案為：．
【點睛】本題考查位似變換：位似的兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或共線），掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】如圖，原點是和的位似中心，點與點是對應(yīng)點，的面積是3，則的面積是 ．

【答案】12
【分析】根據(jù)點A到點O的距離和點到點O的距離，得到這兩個位似三角形的相似比，根據(jù)面積比是相似比的平方，求出的面積．
【詳解】解：∵點與點是對應(yīng)點，原點是位似中心，
∴和的位似比是1∶2，
∴和的面積的比是1∶4，
又∵的面積是3，
∴的面積是12．
故答案為：12．
【點睛】本題考查位似圖形和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比和相似比的關(guān)系．
題型十一位似變化作圖
【例21】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點坐標(biāo)分別為．
(1)將先向右平移6個單位長度，再向下平移5個單位長度得到，請畫出；
(2)以點B為位似中心，在所給的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將放大為原來的2倍得到，請畫出；
(3)請直接寫出（2）中點的坐標(biāo)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)點的坐標(biāo)為．
【分析】本題考查作圖—平移變換和作圖—位似變換．
（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出、、的對應(yīng)點，再順次連接即可；
（2）利用位似變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點，再順次連接即可；
（3）根據(jù)點的位置寫出點的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
；
（2）解：如圖，即為所求，
；
（3）解：由圖得，點的坐標(biāo)為．
【例22】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長均為1個單位．建立坐標(biāo)系后，中點坐標(biāo)為．
(1)把繞點C順時針旋轉(zhuǎn)后得到，畫出，并寫出坐標(biāo)；
(2)把以O(shè)為位似中心放大，使放大前后對應(yīng)邊長為，在第四象限畫出放大后的，并寫出坐標(biāo)．
【答案】(1)見解析，坐標(biāo)為
(2)見解析，坐標(biāo)為
【分析】
本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖及圖形位似的知識，解答此類題目的關(guān)鍵是就是尋找對應(yīng)點，要求掌握旋轉(zhuǎn)三要素、位似的特點．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義，將三角形的三個頂點分別順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點，順次連接即可得；
（2）根據(jù)位似變換的定義得出點的對應(yīng)點，順次連接即可得．
【詳解】（1）解：如下圖所示：即為所求，坐標(biāo)為；
（2）解：如下圖所示：即為所求，坐標(biāo)為．
【變式11-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，請解答下列問題：
(1)將向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度，畫出平移后的；
(2)以原點O為位似中心，畫出的位似圖形，使與的相似比為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖—平移變換、位似變換，熟練掌握平移規(guī)律，位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“橫坐標(biāo)：左減右加，縱坐標(biāo)：上加下減”的平移規(guī)律，得到平移后的點坐標(biāo)，描點，連接即可；
（2）根據(jù)位似的性質(zhì)，將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都按照位似比進(jìn)行變化，得到變換后的點坐標(biāo)，描點，連接即可．
【詳解】（1）解：點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，點，，，為點，，分別向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度所得，
，，，
，，，
如圖所示，連接，，組成的即為所求．
（2）解：，，，與的相似比為，原點O為位似中心，
，，，即，，，
如圖所示，連接，，，組成的即為所求．
【變式11-2】如圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格線的交點）為端點的線段和格點．
(1)在所給網(wǎng)格中，以格點為位似中心將線段放大2倍得到線段，畫出線段；
(2)把線段繞端點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，畫出線段．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-位似變換，旋轉(zhuǎn)變換，扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
（1）利用位似變換的性質(zhì)分別作出A，B的對應(yīng)點，即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出點A的對應(yīng)點即可．
【詳解】（1）解：連接并延長至，使，連接并延長至，使，連接，所作線段如圖所示；
（2）解：以中心，把線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，如圖所示，線段為求作的．
【變式11-3】如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，的頂點均在格點上，按要求完成如下畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
(1)在圖1中，以為邊，畫出，使和全等，D為格點，請在圖1中畫出滿足條件的所有；
(2)在圖2中，以點C為位似中心．畫出，使與位似，且位似比，點E、F為格點；
(3)在圖3中，在邊上找一個點P，且滿足．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題主要考查了作圖﹣相似變換，熟練掌握全等圖形、位似圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作出；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)即可畫出；
（3）取格點E，F(xiàn)，連接，交于點P，則點P即為所求作的點．
【詳解】（1）如圖，和和即為所作，
（2）如圖，即為所作，
；
（3）如圖所示，取格點E，F(xiàn)，交于點P．
∵，
∴，
∴．
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·一模）已知四個數(shù)a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值為（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，利用成比例線段的定義得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求d的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
即，
解得．
故選：D．
2．（2023·云南昭通·二模）如圖，點D、E分別在的邊、上，且，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得解．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選∶A．
3．（2024·河南商丘·一模）如圖，在中，，與相切于點，經(jīng)過圓心且與圓相交于點，．若，，則的直徑為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，結(jié)合同一圓的半徑相等可得到，由于直徑所對的圓周角是直角，可進(jìn)一步證明得，最后列出比例關(guān)系即可．
【詳解】連接，如解圖所示
為的切線
為的直徑
即的直徑為
故選：B．

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于畫出正確輔助線．
4．（2023·重慶渝北·一模）如圖，四邊形與四邊形是以點為位似中心的位似圖形，已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】
本題考查位似圖形的性質(zhì)．根據(jù)位似圖形的面積比等于相似比的平方即可．
【詳解】四邊形與四邊形是以點為位似中心的位似圖形，且
四邊形的面積∶四邊形的面積
∶四邊形的面積
四邊形的面積．
故選：D．
5．（2023·云南·模擬預(yù)測）如圖，在中，點D是邊的中點，按以下步驟作圖：①以頂點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點M， N ②分別以點M， N為圓心， 大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點P； ③作射線； ④以點D為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點 Q; ⑤作射線交邊于點E．若， 則的長為（ ）

A．B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】本題考查了角的平分線作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，根據(jù)基本作圖，得，根據(jù)得，繼而得到得到，得到，結(jié)合點D是邊的中點，得到，結(jié)合解答即可．
【詳解】根據(jù)基本作圖，得，
根據(jù)得，
∴，
∴，
∴，
∵點D是邊的中點，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選C．
6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，在中，.則圖中相似三角形共有（ ）

A．2對B．3對C．4對D．5對
【答案】C
【分析】首先算出三角形中角的度數(shù)，即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
．
故相似的三角形對數(shù)為4對：
故選：C．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東日照·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點A在第二象限，點B坐標(biāo)為，點C坐標(biāo)為，以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形．若點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，則點A坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作軸，軸，如圖，利用相似三角形的性質(zhì)求得和的長度，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：作軸，軸，如圖

∵， ， ，
∴，，，
∴，，
∵由題意可得：
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴
∴點A坐標(biāo)為
故選：C
【點睛】此題考查了位似的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似圖形的性質(zhì)．
8．（2023·廣東深圳·二模）如圖，已知，，，將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，直線、相交于點，連接．則以下結(jié)論中：①∽；②；③為的中點；④面積的最大值為．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形相似的判定條件即可判斷①正確；設(shè)與AB交于點G，由，可推出，再根據(jù)對頂角，即可推出，即②正確；由圓周角定理可知點A、C、B、F共圓，再結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求出，最后由等腰三角形三線合一，即證明點F為BD中點，即③正確；設(shè)點F到AC的距離為h，由AC為固定值，故h最大，面積最大，由h最大值時F點與E點重合，即可求出其面積最大值，即可判斷④．
【詳解】∵，，
∴，．
∵將△ABC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，
∴，，，
∴，即．
又∵，
∴，故①正確；
如圖，設(shè)與AB交于點G．
∵，
∴，
∵，
∴，故②正確；
∵，
∴點A、C、B、F在同一圓上，
∴，
∵，
∴，即．
∵，
∴點F為BD中點，故③正確；
設(shè)點F到AC的距離為h，
則，
∵AC長度為2，
∴當(dāng)h最大時，最大．
∵當(dāng)F點與E點重合時，，此時為h最大，如圖．
∴，故④錯誤．
綜上可知①②③正確，共3個．
故選C．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．（2024·吉林松原·一模）如圖，表示一個窗戶，窗戶的下端到地面的距離，和表示射入室內(nèi)的光線，若某一時刻在地面的影長，在地面的影長，則窗戶的高度為 ．
【答案】1.2
【分析】
本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．陽光可認(rèn)為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線與仍然平行，由此可得出一對相似三角形，由相似三角形性質(zhì)可進(jìn)一步求出的長，即窗戶的高度．
【詳解】解：∵，
，
∴，
∴，
，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
10．（2023-24九年級上·廣東揭陽·期末）兩千多年前古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)黃金分割，如圖，點P是線段上一點，若滿足，即，則稱點P是的黃金分割點．黃金分割在生活中處處可見，例如：主持人如果站在舞臺上的黃金分割點處，觀眾觀感最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是 ．
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．本題由再建立方程即可．
【詳解】解：由題意知米，，
而，即，
∴，
∴，
故答案為：
11．（2024·山西晉城·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，與關(guān)于原點位似，點及其對應(yīng)點的坐標(biāo)分別為，，則與的相似比為 ．
【答案】/
【分析】此題主要考查了位似變換，根據(jù)題意得出位似比是解題關(guān)鍵．利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合對應(yīng)點的坐標(biāo)得出位似比，即可得出答案．
【詳解】解：∵與關(guān)于原點位似，點及其對應(yīng)點的坐標(biāo)分別為，，
∴與的相似比為．
故答案為：．
12．（2024·云南昆明·一模）如圖，若，請再添加一個條件，使得，你添加的條件是 ．（寫出一個即可）

【答案】（答案不唯一）
【分析】
本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行求解即可：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似，有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
【詳解】解：添加條件，理由如下：
∵，，
∴，
故答案為：（答案不唯一）．
13．（2023·上海閔行·模擬預(yù)測）新定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做等高底三角形，這條邊叫做等底．如圖，是等高底三角形，是等底，點關(guān)于直線的對稱點是點，連接，如果點是的重心，那么的值是 ．

【答案】/
【分析】延長與交于點，根據(jù)軸對稱性質(zhì)得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根據(jù)三角形的重心定理得，設(shè)，則，由勾股定理用表示，進(jìn)而計算的值便可．
【詳解】解：延長與交于點，如圖所示：

點A關(guān)于直線的對稱點是點，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
點是的重心，
，
設(shè)，則，
，

故答案為：．
【點睛】本題主要考查了對稱變換，三角形的重心性質(zhì)，新定義，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系．
14．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與的相似比為，點是位似中心，已知點，點，．則點的坐標(biāo)為 ．（結(jié)果用含，的式子表示）

【答案】
【分析】過點分別作軸的垂線垂足分別為，根據(jù)題意得出，則，得出，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點分別作軸的垂線垂足分別為，

∵與的相似比為，點是位似中心，
∴
∵，
∴,
∴，
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了求位似圖形的坐標(biāo)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023-24九年級上·山西太原·期中）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別為邊的中點，分別與交于點P，Q．若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】
本題主要考查了平行線平行線分線段成比例定理，同時也利用了矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，如圖，延長交于G，首先利用已知條件證明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行線的性質(zhì)得到比例線段即可求出．
【詳解】解：如圖，延長交于G
，
∵E為的中點，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∵E，F(xiàn)分別為邊的中點，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
16．（2023·湖北孝感·三模）如圖1，在矩形中，動點從點出發(fā)，沿方向運(yùn)動，當(dāng)點到達(dá)點時停止運(yùn)動，過點作交于點．設(shè)點運(yùn)動路程為，如圖2所表示的是與的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點在上運(yùn)動時，的最大長度是，則矩形的面積是 ．

【答案】20
【分析】由題意可知，易證，可得，根據(jù)二次函數(shù)圖像對稱性可得在中點時，有最大值，列出二次函數(shù)解析式即可解題．
【詳解】解：若點在上時，如圖

，，
，
在和中，，，
∽，
由二次函數(shù)圖像對稱性可得在中點時，有最大值，此時，
，
即，
，
當(dāng)時，代入得到
解得：，（不合題意舍去），
，
，
∵，
矩形的面積為；
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)動點問題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了矩形面積的計算，本題中由圖像得出為中點是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．（2023·寧夏固原·一模）三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出已知關(guān)于y軸對稱的；
(2)以點O為位似中心，將放大為原來的2倍，得到，請在網(wǎng)格中畫出，并寫出點的坐標(biāo)．
【答案】(1)見解析
(2)或
【分析】
本題考查的是畫關(guān)于y軸對稱的三角形，畫關(guān)于原點位似的三角形：
（1）找到A、B、C關(guān)于y軸對稱的點，再連接相應(yīng)的點；
（2）連接，延長至點（或反向延長至點），滿足，按同樣的方法確定，再順次連接即可，再根據(jù)的位置可得其坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
點的坐標(biāo)為或．
18．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在中，，過點作，垂足為．

(1)若，，，求的長；
(2)連接，若，且，，求的長．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）證明即可求解；
（）由得到，求得，利用勾股定理可得，再證明即可求解；
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，D是的邊上的一點，連接，已知．
(1)求證：；
(2)若，，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】
此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
（1）利用相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計算求出，即可得到線段的長．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴；
（2）∵，
，
得，
解得，
20．（2023·山東聊城·三模）如圖，菱形的對角線，相交于點O，過點D作，且，連接．

(1)求證：四邊形為矩形；
(2)連接，交于點F，連接，若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而得到，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而證明四邊形為矩形即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到，，，利用勾股定理，求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出為中點，最后由直平行線分線段成比例定理，即可求出的長．
【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，
，，
，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
平行四邊形是矩形；
（2）解：四邊形是菱形，
，
由（1）得：四邊形為矩形，
，，，
在中，，
，
，
為中點，
．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理等知識，熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
21．（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖（1），在四邊形中，，，，，，動點從點開始沿邊勻速運(yùn)動，動點從點開始沿邊勻速運(yùn)動，它們的運(yùn)動速度均為．點和點同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動的時間為，．
?
(1)用含的代數(shù)式表示；
(2)當(dāng)以點，，為頂點的三角形與相似時，求的值；
(3)如圖（），延長，，兩延長線相交于點，當(dāng)為直角三角形時，求的值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）過點作于，得矩形，則，，，由勾股定理可求得的長，從而可得；
（2）分兩種相似情況加以考慮，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可完成；
（3）分和兩種情況考慮，再由相似三角形的性質(zhì)即可求得的值．
【詳解】（1）解：過點D作，如圖所示，

∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，
．
（2）①當(dāng)時，則有，
，
解得．
②當(dāng)時，則有，
，解得．
綜上所述，當(dāng)或時，以點，，為頂點的三角形與相似；
（3）①當(dāng)時，為直角三角形，如圖，
過點作于，于，
，
，
，
，
，
，
，即，
∵，
，
，，
，，
，
由，得，
解得．
②當(dāng)時，為直角三角形，如圖：則，
，
，
，即，
解得．
綜上所述，當(dāng)或時，是直角三角形．
【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．

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