考點(diǎn)一、一元二次方程的概念 ：
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：
（1）是整式方程，即等號兩邊都是整式。方程中如果有分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內(nèi)，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)項的最高次數(shù)是2。
考點(diǎn)二、一元二次方程的一般形式：
一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式，其中叫作二次項，是二次項系數(shù)；叫作一次項，是一次項系數(shù)；叫作常數(shù)項。
注意：（1）中的．因當(dāng)時，不含有二次項，即不是一元二次方程
（2）在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數(shù)時不要漏掉前面的性質(zhì)符號。
考點(diǎn)三、一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進(jìn)行求解.
考點(diǎn)四、解一元二次方程的方法
（1）直接開方法：方程能化成的形式,那么,進(jìn)而得出方程的根；
（2）配方法：①化為一般形式；②移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；③化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為的形式；
⑤如果就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果，則原方程無解．
（3）公式法：①化為一般形式；②求出判別式的值，判斷根的情況；③在的前提下,把的值代入公式進(jìn)行計算,求出方程的根。
（4）因式分解法：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個一元一次多項式的乘積；
③令每個因式分別為零；④兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。
（5）換元法：是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)，把一些形式復(fù)雜的方程通過換元方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的。
考點(diǎn)五、一元二次方程的根與系數(shù)
根與系數(shù)的關(guān)系：即的兩根為，則，。利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如
考點(diǎn)六、列一元二次方程解應(yīng)用題的具體步驟
①審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．②設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．③列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．④解：準(zhǔn)確求出方程的解．⑤驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．⑥答：寫出答案．
題型一一元二次方程的概念
【例1】若是關(guān)于的一元二次方程，則的值為（ ）
A．3B．C．0D．3或
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，知且未知數(shù)x的系數(shù)，據(jù)此可以求得a的值．
【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程，
∴，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如的方程叫做一元二次方程．掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【例2】下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A、當(dāng)時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B、該方程化簡后為，是一元一次方程，故本選項不符合題意；
C、是一元一次方程，故本選項不符合題意；
D、是一元二次方程，故本選項符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義：只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特別要注意的條件．
【變式1-1】已知關(guān)于的一元二次方程，則常數(shù)滿足的條件是（ ）
A．B．C．D．無法確定的值
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得，求解即可得到答案．
【詳解】解：是關(guān)于的一元二次方程，
，解得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，熟記一元二次方程的定義是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：、整理可得，是一元一次方程，故本選項不合題意；
、該選項的方程是分式方程，故本選項不符合題意；
、是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項符合題意；
、是二元二次方程，故本選項不符合題意．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程定義的理解，掌握其概念及表示形式是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】下列關(guān)于的方程中：，，，，， 其中，一元二次方程的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程；或能化為的整式方程是一元二次程；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷，即可求解．
【詳解】解：是一元一次方程，此項錯誤；
是一元二次方程，此項正確；
是二元二次方程，此項錯誤；
不是整式方程，此項錯誤；
是一元二次方程，此項正確；
當(dāng)時，不含未知數(shù)的二次項，不符合一元二次方程的定義，此項錯誤；
所以其中一元二次方程的個數(shù)為2個，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．
題型二一元二次方程的一般形式
【例3】若方程化為一般式后的二次項為，則一次項的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
【詳解】解：，
整理得：，
所以一元二次方程化為一般式后的一次項系數(shù)為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，一元二次方程的一般形式是（、、為常數(shù)，）．
【例4】一元二次方程化為一般形式是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程一般形式，去括號、移項、合并同類項即可得到答案．
【詳解】解：一元二次方程化為一般形式是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程定義，熟記一元二次方程的一般形式是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-1】將一元二次方程化成一般形式之后，若二次項的系數(shù)是2，則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ）
A．5，B．，C．5，3D．，3
【答案】D
【分析】先把一元二次方程化為一般式，然后問題可求解．
【詳解】解：一元二次方程化成一般形式之后二次項的系數(shù)是2，
可化為：，
則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】將一元二次方程化為一般形式后，它的各項系數(shù)的和為（ ）
A．6B．4C．2D．
【答案】D
【分析】把一元二次方程化為一般形式，得到，求和即可得到答案．
【詳解】解：化為一般形式得，
∴，
∴，
∴一元二次方程化為一般形式后，它的各項系數(shù)的和為．
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】把一元二次方程整理成一般形式為______．
【答案】
【分析】先移項合并，整理成一元二次方程一般式即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式為，且a、b、c是常數(shù)是解題的關(guān)鍵．
題型三一元二次方程的解
【例5】若是方程的一個根，則m的值是（ ）
A．16B．C．D．10
【答案】A
【分析】將代入方程，求解即可．
【詳解】解：把代入，得：，
解得：；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解．解題的關(guān)鍵是掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值．
【例6】若是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則的值等于 ．
【答案】2021
【分析】將代入方程得出，再整體代入計算可得．
【詳解】解：將代入方程得：，
則，
則原式
．
故答案為：2021．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解的概念及整體代入思想的運(yùn)算．
【變式3-1】關(guān)于的方程的解是，（a、b、c均為常數(shù)，），則方程的解是 ．
【答案】或者
【分析】令，將方程變?yōu)?，再根?jù)方程的解是，，可得，，問題隨之得解．
【詳解】令，將方程變?yōu)椋?br>∵關(guān)于的方程的解是，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案為：或者．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的知識，得到，，是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】寫出一個兩個根分別為1和的一元二次方程 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義寫出對應(yīng)的方程即可．
【詳解】解：由題意得，滿足題意的方程可以為，
即，
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】已知m是方程式的一個實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值．
【答案】8
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義可得，從而得到，，再代入計算，即可求解．
【詳解】解：∵m是方程式的一個實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．
題型四解一元二次方程
【例7】解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【詳解】（1），
這里，
∴，
∴，
∴，．
（2），
，
∴或，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．
【例8】解方程：
(1)；（用配方法）
(2)；（用公式法）
(3)．（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?br>【答案】(1)，；
(2)無實(shí)數(shù)解；
(3)，．
【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【詳解】（1）解：
即或
解得，；
（2）
，，
，
方程無實(shí)數(shù)解；
（3）
即
解得，．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的求解方法，涉及了公式法、配方法和因式分解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．
【變式4-1】選擇合適的方法解下列一元二次方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）先化為一般形式，然后因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【詳解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
即，
∴，
∴或，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）利用開平方的方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）采用因式分解法即可求解；
（4）采用因式分解法即可求解．
【詳解】（1）
，
即，；
（2）
，
即，；
（3）
即，或者，
∴，；
（4）
，
即，或者，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求解一元二次方程的知識，掌握因式分解法、配方法，是解答本題的關(guān)鍵．
【變式4-3】按要求解一元二次方程：
(1)（配方法）；
(2)（因式分解法）；
(3)（公式法）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)配方法的步驟解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）公式法解方程即可．
【詳解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴或，
∴；
（3），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法，正確的計算．
題型五解一元二次方程（換元法)
【例9】已知一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用換元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程的兩根．
【詳解】解：記，則即，
∵方程的兩根分別為，
∴或，
故，．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法和解一元二次方程．能根據(jù)已知方程的解得出或是解此題的關(guān)鍵．
【例10】若關(guān)于的方程兩個實(shí)根為，，則的根為 ．（用含，的代數(shù)式表示）
【答案】，
【分析】根據(jù)換元法可知：或，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程兩個實(shí)根為，，
∴當(dāng)時，或，
∴的根為，，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，利用整體思想是解體的關(guān)鍵．
【變式5-1】若實(shí)數(shù)x、y滿足，則的值是（ ）
A．或1B．2C．2或D．1
【答案】D
【分析】設(shè)，則方程為，解方程求出或，由此得到答案．
【詳解】解：設(shè)，則方程為
∴或，
∵，
∴，即，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握方程的特點(diǎn)選擇簡單的解法是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】已知a、b為實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（ ）
A．3或－5B．3C．－3或5D．5
【答案】B
【分析】設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．
【詳解】解：設(shè)，則原方程換元為，
，
解得，（不合題意，舍去），
的值為3．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．
【變式5-3】若，則的值為 ．
【答案】2或0/0或2
【分析】根據(jù)換元法，可得一元二次方程，解一元二次方程，可得答案．
【詳解】解：設(shè)，原方程等價于．
解得或，
∴或，
故答案為：2或0．
【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，利用得出關(guān)于的一元二次方程是解題關(guān)鍵，注意平方都是非負(fù)數(shù)．
題型六根的判別式與解的情況
【例11】關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式解答即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，即，
所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．
【例12】關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】D
【分析】由于所給方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，可知方程的且，由此可得關(guān)于的不等式，解不等式即得答案．
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，解得且，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次的根的判別式，屬于常見題型，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與方程根的個數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式6-1】若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．
【答案】A
【分析】由方程有實(shí)數(shù)根，得到判別式，即可求解．
【詳解】解：①當(dāng)時，方程為，是一元一次方程，
解得，符合題意；
②當(dāng)時，方程是一元二次方程，
∵于x的方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
即，
∴，
∴方程為一元二次方程時，m的取值范圍是且，
綜上所述：m的取值范圍是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是( )
A．B．且C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)根的判別式即可列不等式，計算即可得答案，注意．
【詳解】解：由題意可得：，
且，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．
【變式6-3】已知關(guān)于x的方程．
(1)當(dāng)時，求該方程的根
(2)當(dāng)時，請判斷該方程根的情況，并說明理由
【答案】(1)，
(2)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
【分析】（1）將b，c代入得到方程，再解方程即可；
（2）由已知可得，代入方程，再求出根的判別式并配方，即可判斷．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，
方程為：，
整理得：，
解得：，；
（2）當(dāng)時，即，
方程為：，即，
則，
∴該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程的解法以及根的判別式的運(yùn)用．
題型七根與系數(shù)的關(guān)系（求代數(shù)式）
【例13】已知，分別是方程的兩個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再把式子變形代入求值即可．
【詳解】解：∵，分別是方程的兩個根，
∴，，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方式是解答此題的關(guān)鍵．
【例14】是方程的兩個根，則的值為 ．
【答案】
【分析】若是一元二次方程的兩個根，則，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：由題意得：
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記相關(guān)結(jié)論即可．
【變式7-1】若，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，得，，將所求式子變形后整體代入即可．
【詳解】解：，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，
，，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
【變式7-2】已知一元二次方程的兩個根為、，則的值為（ ）
A．－3B．C．1D．
【答案】D
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和，兩根之積，然后把要求的式子變形，代入求值即可．
【詳解】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，
，
∴
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
【變式7-3】已知，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，求的值．
【答案】9
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得出，，通過方程的根求出，最后代入求值即可．
【詳解】解：∵已知，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，
∴，，，
∴，
∴
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根，根與系數(shù)的關(guān)系，熟記根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
題型八根與系數(shù)的關(guān)系（求參數(shù)）
【例15】已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，．若，則k的值為______．
【答案】3
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，可得出關(guān)于k的方程，解之可得出k的值，由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出關(guān)于k的不等式，解之即可得出k的取值范圍，進(jìn)而可確定k的值，此題得解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，
∴，，
∴，
解得：，．
∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得，
∴舍去．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合來求出k值是解題的關(guān)鍵．
【例16】已知關(guān)于的一元二次方程為有兩個實(shí)數(shù)根和．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求的值．
【答案】(1)的取值范圍為
(2)
【分析】（1）根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解不等式即可；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后由得到，代入得到關(guān)于的方程，解方程結(jié)合的取值范圍即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，
解得：，
即的取值范圍為；
（2）解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
，
，
即，
整理得，
解得，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根；兩個實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，．
【變式8-1】若、是關(guān)于的方程的兩個根，且求的值．
【答案】的值為
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得出，變形后得出關(guān)于的方程，求出方程的解并檢驗，即可得出答案．
【詳解】解：、是關(guān)于的方程的兩個根，
，，
，
，
，
解得：或，
當(dāng)時，方程為，
，此時方程無解；
當(dāng)時，方程為，此方程有解；
綜上所述，的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式的應(yīng)用，求出的值后必須代入“”進(jìn)行檢驗，注意：若、是一元二次方程的兩根時，則，．
【變式8-2】已知關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根，．
(1)求k的取值范圍；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，列出不等式，解不等式即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為方程即可解決問題．
【詳解】（1）解：由題意得：，
，
．
（2），，，
，
解得或，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式8-3】關(guān)于x的一元二次方程．
(1)試判斷該方程根的情況并說明理由：
(2)若，是該方程的兩個實(shí)數(shù)根，且，求m的值．
【答案】(1)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；理由見解析
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式即可求解．
（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】（1）解：有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，理由如下：
，
，
，
原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）由題意得：，，
，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式是解題的關(guān)鍵．
題型九一元二次方程的應(yīng)用（增長率問題）
【例17】某商品原價200元，連續(xù)兩次降價后售價為148元，下列所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的方程．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．
【例18】某公司銷售一種產(chǎn)品，一月份獲得利潤10萬元，由于產(chǎn)品暢銷，利潤逐月增加，一季度共獲利36.4萬元．已知2月份和3月份利潤的月增長率相同，設(shè)2、3月份利潤的月增長率為，根據(jù)題意列方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)1月份獲得的利潤和月增長率為，表示出2、3月份的利潤，再根據(jù)一季度共獲利36.4萬元得出方程．
【詳解】解：設(shè)2、3月份利潤的月增長率為，則2月份的利潤為，3月份的利潤為，
由題意得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】某公司今年銷售一種新產(chǎn)品，1月份獲得利潤20萬元，由于該產(chǎn)品暢銷，利潤逐月增加，3月份的利潤達(dá)到萬元，假設(shè)該產(chǎn)品利潤每月的增長率相同，則每月增長率為( )
A．20%B．22%C．30%D．44%
【答案】A
【分析】設(shè)兩次平均增長率為x，（）；據(jù)此模型列方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)每月的增長率為x，由題意得
解得：，(舍去)，
每月的增長率；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的在增長率中的實(shí)際應(yīng)用，掌握典型應(yīng)用模型，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】為了提高富民社區(qū)居民對“垃圾分類”的知曉率，街道工作人員用了兩個月的時間在該社區(qū)加強(qiáng)了宣傳，若社區(qū)的知曉人效的平均月增長率為，兩個月前社區(qū)對“垃圾分類”的知曉人數(shù)為a萬人，現(xiàn)在的知曉人數(shù)為b萬人，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接利用增長率表示方法進(jìn)而表示出b即可．
【詳解】解：設(shè)社區(qū)的知曉人數(shù)的平均月增長率為，
由題意可得：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式9-3】隨著冬奧會的臨近，冬奧特許商品銷售逐漸火爆．甲、乙兩家冬奧商品專賣店十月份銷售額分別為萬元和萬元，十二月份銷售額甲店比乙店多萬元．已知甲店十一、十二月份銷售額的月平均增長率是乙店十一、十二月份月平均增長率的倍，求甲店、乙店這兩個月的月平均增長率各是多少？
【答案】甲、乙兩店的平均增長率分別為，
【分析】設(shè)乙店二、三月份的平均增長率為，則甲店二、三月份的平均增長率為，則甲店三月份的銷售額為，乙店三月份的銷售額為，根據(jù)三月份銷售額甲店比乙店多萬元建立等量關(guān)系求解即可．
【詳解】解：設(shè)乙店這兩個月的平均增長率為，則甲店這兩個月的平均增長率為
，
解得：，（舍）
答：甲店的月平均增長率是；乙店的月平均增長率是．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程增長率問題，根據(jù)題意找出等量關(guān)系構(gòu)建方程是解題關(guān)鍵．
題型十一元二次方程的應(yīng)用（銷售問題）
【例19】水果店店主張阿姨以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干，以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低元，每天可多售出20斤．張阿姨決定降價銷售．設(shè)這種水果每斤的售價降低元．
(1)每天的銷售量為___________斤（用含的代數(shù)式表示）；
(2)為盡量減少天氣炎熱帶來的損耗，最大化減少庫存，如果銷售這種水果每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？
【答案】(1)
(2)1元
【分析】（1）銷售量＝原來銷售量＋增加銷售量，列式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)銷售量×每斤利潤＝總利潤列出方程求解，再根據(jù)“為了最大化減少庫存”判斷即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）將這種水果每斤的售價降低x元，
則每天的銷售量是斤
故答案為：
（2）根據(jù)題意，得：，
解得：或．
當(dāng)時，每天銷售量（斤），
當(dāng)時，每天銷售量（斤），
為了最大化減少庫存，應(yīng)?。?br>答：張阿姨需將每斤的售價降低1元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解決實(shí)際問題，讀懂題意，掌握利用一元二次方程解決實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵．
【例20】已知某商品的進(jìn)價每件是40元，現(xiàn)在的售價每件是60元，每周可賣出300件．市場調(diào)查反映，若調(diào)整價格，每漲價1元，每周可少賣出10件．設(shè)該商品每件漲價元．
(1)根據(jù)題意填寫下表：
(2)若計劃每周的利潤為6160元，該商品每件應(yīng)漲價多少？
【答案】(1)答案見解析
(2)該商品每件應(yīng)漲價元或元
【分析】（1）根據(jù)題意，直接填表即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)列方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意可得
（2）解：由（1）可得，
即，則，解得或，
答：若計劃每周的利潤為6160元，該商品每件應(yīng)漲價元或元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解實(shí)際應(yīng)用題，熟練掌握銷售問題的求解方法是解決問題 的關(guān)鍵．
【變式10-1】中國是世界上最大的茶葉種植國，擁有全球最多的飲茶人口，并發(fā)展出獨(dú)具民族特色的茶文化，茶葉產(chǎn)業(yè)作為綠色經(jīng)濟(jì)的重要組成部分，某茶商購進(jìn)一批茶葉，進(jìn)價為80元/盒，銷售價為120元/盒時，每天可售出20盒，為了擴(kuò)大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每盒茶葉每降價1元，那么平均每天可多售出2盒．在讓利于顧客的情況下，每盒茶葉降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元？
【答案】20元
【分析】設(shè)每盒茶葉降價元，則銷售量為盒，根據(jù)總利潤=每件利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)每盒茶葉降價x元，則每盒的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為盒，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵需要讓利于顧客，
∴．
∴每盒茶葉降價20元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能盈利1200元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量（個）與銷售單價（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價是多少元?
【答案】(1)
(2)當(dāng)天玩具的銷售單位是40元或20元
【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為，采用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單位是x元，由題意得，，解方程即可求解．
【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為，
由題圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)和點(diǎn)把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)，得，
解得，
∴一次函數(shù)的關(guān)系式為．
（2）設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單位是x元，
由題意得，，
解得：，，
∴當(dāng)天玩具的銷售單位是40元或20元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)以及一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，列出一元二次方程，是解答本題的關(guān)鍵．
【變式10-3】直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活，某電商在某APP上對一款成本價為每件8元的小商品進(jìn)行直播銷售．如果按每件10元銷售，每天可賣出200件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品的售價每上漲1元，每天的銷售件數(shù)就減少20件．將每件小商品的售價定為多少元時，才能使每天的利潤為640元？
【答案】將每件小商品的售價定為12元或16元時，才能使每天的利潤為640元
【分析】設(shè)每件小商品的售價定為元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷售量為件，利用總利潤=每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出每件商品的售價．
【詳解】解：設(shè)每件小商品的售價定為元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷售量為件．
依題意，得，
整理，得，
解得：，．
答：將每件小商品的售價定為12元或16元時，才能使每天的利潤為640元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
題型十一一元二次方程的應(yīng)用（面積問題）
【例21】如圖，在一塊長為30米，寬為24米的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的小路，其余部分建成花園，已知小路的占地面積為50平方米，設(shè)小路的寬為x米，則可列方程為 ．
【答案】
【分析】由兩條小路的重合部分是邊長為x米的正方形，可得出小路的占地面積矩形空地的長小路的寬矩形空地的寬小路的寬，此題得解．
【詳解】解：依題意得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【例22】某公園要在一個足夠大的草地上規(guī)劃出一個矩形草坪，矩形草坪的長為米，寬為米，并計劃在草坪上種植兩條寬均為米的兩條互相垂直的花帶（陰影部分），且兩條花帶與矩形的邊分別平行，余下的四塊矩形草坪改為種植景觀樹．

(1)已知，，且種植景觀樹的總面積為平方米，每條花帶的寬為多少米？
(2)若，每條花帶的寬均為米，且種植景觀樹的總面積為平方米，求，的值．
【答案】(1)米
(2)，
【分析】（1）將四塊矩形場地拼成一個長方形，表示出長和寬，根據(jù)面積為平方米，列一元二次方程，解方程即可；
（2）由題意，四塊矩形場地可拼合成一個長為米，寬為米的矩形，根據(jù)面積為平方米，列一元二次方程，解方程即可；
【詳解】（1）解：依題意得：，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
∴每條花帶的寬均為2米．
（2）解：∵，
∴，
又∵花帶的寬度米，
∴四塊矩形場地可合成長為米，寬為米的矩形．
依題意得：，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去），
∴．
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式11-1】如圖，在一塊長92m寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面積均為的6個矩形小塊，水渠應(yīng)挖的寬為 ．

【答案】1
【分析】挖過水渠后的6個矩形小塊可以拼成長為()，寬為()的矩形，據(jù)此列出方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)水渠應(yīng)挖的寬為，由題意得
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
水渠應(yīng)挖的寬為，
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程在圖形面積中的應(yīng)用，找出變化后的長和寬是解題的關(guān)鍵．
【變式11-2】用長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形場地，使場地的面積為，并且在垂直于墻的一邊開一個長的小門（該門用其他材料），若墻長，則該長方形場地的長為 ．

【答案】4
【分析】設(shè)長方形場地垂直于墻一邊長為，可以得出平行于墻的一邊的長為．根據(jù)長方形的面積公式建立方程即可．
【詳解】解：設(shè)長方形場地垂直于墻一邊長為，
則平行于墻的一邊的長為，
由題意得，
解得：，，
當(dāng)時，平行于墻的一邊的長為，故不合題意；
∴該長方形場地的長為米，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，長方形的面積公式的運(yùn)用，正確尋找題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式11-3】壽春農(nóng)場（文蔬苑）深受廣大同學(xué)喜愛．如圖所示，農(nóng)場內(nèi)有一長方形的空地．長為x米，寬為12米，學(xué)生部把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙為正方形，現(xiàn)計劃甲種植小青菜，乙種植花卉，丙開辟成池塘．

(1)請用含x的代數(shù)式表示花區(qū)域的邊長：_______米；
(2)若池塘的面積為32平方米，請求出x的值．
【答案】(1)
(2)x的值20或16
【分析】（1）由甲和乙為正方形，且該地長為x米，寬為12米，可得出丙的長，也即乙的邊長．
（2）由（1）已求得丙的長，再求出丙的寬，即可得出丙的面積，由此列出方程，求解x即可．
【詳解】（1）解：因為甲和乙為正方形，結(jié)合圖形可得丙的長為：米．
同樣乙的邊長也為米，
故答案為：；
（2）解：結(jié)合（1）得，丙的寬為，
所以丙的面積為：
列方程得：
解方程得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出有關(guān)的線段的長．
題型十二一元二次方程的應(yīng)用（動態(tài)幾何問題）
【例23】如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以的速度移動．如果、兩點(diǎn)同時出發(fā)，問：經(jīng)過 秒后的面積等于．

【答案】1或7或
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，，，，，根據(jù)的面積等于，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，
，，，，
根據(jù)題意得：，
當(dāng)時，，
解得：，，
當(dāng)時，，
解得：（不符合題意，舍去），，
經(jīng)過1或7或秒后，的面積為，
故答案為：1或7或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，含角的直角三角形的性質(zhì)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【例24】如圖，等腰直角三角形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B運(yùn)動，過點(diǎn)P作，，分別交于R，Q．

(1)四邊形的形狀是______；若設(shè)，則四邊形的面積可表示為______；
(2)四邊形的面積能為嗎？能為嗎？如果能，請求出P點(diǎn)與A點(diǎn)之間的距離；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)平行四邊形，
(2)能等于，不能等于，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行證明四邊形是平行四邊形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)推出，根據(jù)面積和差計算求出四邊形的面積；
（2）利用（1）列方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵等腰直角三角形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
∴四邊形的面積為
∴
故答案為：平行四邊形，；
（2）能等于，不能等于．
設(shè)當(dāng)平行四邊形的面積為時，即，
解得．
即P點(diǎn)與A點(diǎn)之間的距離為4cm時，平行四邊形的面積為．
當(dāng)平行四邊形面積為時．即，此方程無解．
所以平行四邊形面積不能為．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定，求圖形面積，解一元二次方程，正確理解平行四邊形的判定定理及圖形面積的求法是解題的關(guān)鍵．
【變式12-1】如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動，如果點(diǎn)，同時出發(fā)，，的運(yùn)動速度均為．
(1)那么運(yùn)動幾秒時，它們相距？
(2)的面積能等于60平方厘米嗎？為什么？
【答案】(1)9秒或12秒
(2)不能，理由見解析
【分析】（1）設(shè)運(yùn)動秒時，，兩點(diǎn)相距15厘米，利用勾股定理結(jié)合，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)運(yùn)動秒時，的面積等于60平方厘米，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式可得出原方程無解，即的面積不能等于60平方厘米．
【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動秒時，，兩點(diǎn)相距15厘米，
依題意，得：，
解得：，，
運(yùn)動9秒或12秒時，，兩點(diǎn)相距15厘米；
（2）的面積不能等于60平方厘米，理由如下：
設(shè)運(yùn)動秒時，的面積等于60平方厘米，
依題意，得：，
整理，得：，
，
原方程無解，即的面積不能等于60平方厘米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式12-2】如圖，中，，，，，兩點(diǎn)分別從，出發(fā)，分別以每秒個單位，個單位的速度沿邊，向終點(diǎn)，運(yùn)動，（有一個點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)則停止運(yùn)動）．

(1)在運(yùn)動的過程中，是否能夠等于？為什么？
(2)求經(jīng)過多長時間后？
【答案】(1)秒
(2)秒
【分析】（1）設(shè)運(yùn)動時間為，經(jīng)過秒后，則，，根據(jù)題意可建立關(guān)于的一元一次方程，求解即可；
（2）設(shè)經(jīng)過秒后，則，，利用勾股定理建立關(guān)于的一元二次方程，求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動時間為，
∵，，，，兩點(diǎn)分別從，出發(fā)，分別以每秒個單位，個單位的速度沿邊，向終點(diǎn)，運(yùn)動（有一個點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)則停止運(yùn)動），
∴點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的運(yùn)動時間為（秒），
點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的運(yùn)動時間為（秒），
∴的取值范圍是：，
∵，，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴經(jīng)過秒后，能夠等于；
（2）設(shè)經(jīng)過秒后，則，，
由題意得：，
解得：，（舍去），
∴經(jīng)過秒后．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，勾股定理，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式12-3】如圖所示，在中，，，，．

(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿向C點(diǎn)以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿向A點(diǎn)以2cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過t秒后，的長度為______，的長度為______．
(2)在（1）的背景下，經(jīng)過幾秒的面積等于．
(3)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿向B點(diǎn)以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動．如果，同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒的面積等于．
【答案】(1)，；
(2)當(dāng)t為或時，的面積等于
(3)經(jīng)過秒，的面積等于．
【分析】（1）根據(jù)路程等于速度乘以時間，再列代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列出方程，求解即可求出答案；
（3）畫出圖形，根據(jù)，求出邊上的高，根據(jù)面積列方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）∵的面積等于，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴當(dāng)t為或時，的面積等于；
（3）∵，，，
∴，
∴最長運(yùn)動時間為，
如圖，連結(jié)，過Q作于點(diǎn)H，
同理可得：，，，

∵，
∴，
當(dāng)?shù)拿娣e等于時，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（不合題意，舍去），．
答：經(jīng)過秒，的面積等于．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出各個線段的長度是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2022秋·四川成都·九年級成都實(shí)外?？计谥校┫铝蟹匠淌且辉畏匠痰氖牵? ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定．
【詳解】解：、為是一元二次方程，故此選項符合題意；
、是分式方程，故此選項不符合題意；
、為二元二次方程，故此選項不符合題意；
、當(dāng)時，方程不是一元二次方程，故此選項不符合題意．
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·廣西南寧·九年級三美學(xué)校校考期中）一元二次方程的一根為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將代入原方程，得到關(guān)于的一元一次方程，求解即可．
【詳解】解：把代入得：，
解得：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，是方程的解．
3．（2022秋·北京海淀·九年級?？计谥校┯门浞椒ń夥匠虝r，下列配方正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把常數(shù)項2移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方即可解答．
【詳解】解：把方程的常數(shù)項移到等號的右邊可得：，
方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到，
配方得．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步驟：①把常數(shù)項移到等號的右邊；②把二次項的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
4．（2023秋·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m等于（ ）
A．或1B．1C．D．4或1
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根列式求解即可得到答案；
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴且，
解得：，，
故選：A；
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·廣東佛山·九年級期末）三角形邊長分別為6和5，第三邊是方程的解，則此三角形的周長是（ ）
A．15B．13C．15或13D．15或17
【答案】C
【分析】先求解一元二次方程，再利用構(gòu)成三角形的條件及三角形的周長即可求解．
【詳解】解：，
解得：，，
，且，
6、5、2能構(gòu)成三角形，
，且，
6、5、4能構(gòu)成三角形，
三角形的周長是或，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程、構(gòu)成三角形的條件及三角形的周長，熟練掌握構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）若，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，再將所求式子變形，代入計算即可求出答案．
【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系定理，完全平方公式，熟練掌握定理和靈活進(jìn)行公式變形是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級?？计谀┮阎辉畏匠讨?，下列說法：①若，則； ②若方程兩根為和2，則； ③若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程必有兩個不相等的實(shí)根；④若，則方程有兩個不相等的實(shí)根．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①若，則1為方程的一個根，∴，故①正確；
②若方程兩根為和2，則：，∴，②正確；
③若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則：，
當(dāng)時，，滿足題意，
但此時方程無實(shí)數(shù)解，故③錯誤；
④若，則，
即方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，④正確；
正確的為：①②④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解的定義，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·廣東揭陽·九年級?？计谀┤鐖D是某月的月歷表，在此月歷表上可以用一個矩形圈出個位置相鄰的9個數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，設(shè)這個最小數(shù)為，則下列方程正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圈出的9個數(shù)可知最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設(shè)這個最小數(shù)為，則圈出的9個數(shù)中最大數(shù)為，由“最大數(shù)與最小數(shù)的積為192”即可列出方程，得到答案．
【詳解】解：由圈出的9個數(shù)可知：最大數(shù)與最小數(shù)的差為：，
設(shè)這個最小數(shù)為，則圈出的9個數(shù)中最大數(shù)為，
根據(jù)題意得：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)題意得出圈出的9個數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差為16是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．（2023秋·河南鄭州·九年級河南省實(shí)驗中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，則 ．
【答案】2
【分析】將代入題目中的方程，即可求得的值，本題得以解決．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個根為1，
∴，
解得，，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的解得含義．
10．（2023秋·天津北辰·九年級?？计谥校┤鬽是方程的一個實(shí)數(shù)根，則多項式的值是 ．
【答案】2016
【分析】根據(jù)一元二次方程解的意義將m代入求出，進(jìn)而將代入得出答案．
【詳解】解：m是方程的一個實(shí)數(shù)根，
，即，
，
故答案為：2016．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用及求代數(shù)式的值，能理解一元二次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·四川成都·九年級成都實(shí)外?？计谥校┮阎P(guān)于的二次方程的兩根為，，且，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得和的值，然后根據(jù)，即可求得的值．
【詳解】解：關(guān)于的二次方程的兩根為，，
，，
，
，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，．
12．（2022秋·四川成都·九年級成都實(shí)外?？计谥校┤簦ǎ榱庑蔚膬蓷l對角線，且a，b為一元二次方程的兩根，則菱形的周長為 ．
【答案】20
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，進(jìn)而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性質(zhì)，可求出菱形的邊長，再利用菱形的周長計算公式，即可求出菱形的周長．
【詳解】解：∵a、b為一元二次方程的兩根，
∴，，
∴，
∴菱形的邊長為，
∴菱形的周長為．
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、菱形的性質(zhì)以及勾股定理，利用根與系數(shù)的關(guān)系及勾股定理，求出菱形的邊長是解題的關(guān)鍵．
13．（2023秋·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）任意寫出一個以，5為根的一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)一醫(yī)院二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
，，
以，5為根的一元二次方程是：（答案不唯一），
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：，．
14．（2023秋·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)M、N分別在邊、上，連接、．若四邊形是菱形，則等于 ．

【答案】
【分析】證明，，設(shè)，，則，（x、y均為正數(shù)）．結(jié)合在中，，即，可得得，再計算即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴．
∵四邊形是矩形，
∴．
設(shè)，，則，（x、y均為正數(shù)）．
在中，，即，
解得，（不符合題意的根舍去）
∴，
∴．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的利用勾股定理建立方程是解本題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·山東菏澤·九年級菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；據(jù)此對方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意得
，，，
，
原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，，
，
；
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·山西陽泉·九年級校聯(lián)考期末）某校為改善校園環(huán)境，加大對綠化的投入，2021年對綠化投入資金10萬元，2023年對綠化投入資金萬元．現(xiàn)假定每年投入綠化資金的增長率相同，則該校投入綠化資金的年平均增長率為 ．
【答案】
【分析】設(shè)該校投入綠化資金的年平均增長率為x，利用2021年投入資金金額=2023年投入資金金額(1+年平均增長率)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)該校投入綠化資金的年平均增長率為x，
由題意得：
解得：（舍）。
∴該校投入綠化資金的年平均增長率為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系．
三、解答題
17．（2022秋·貴州畢節(jié)·九年級?？计谥校┮阎?，，且是方程的一個解，求的值.
【答案】5
【分析】先將此代數(shù)式進(jìn)行分解因式化簡．化簡后為，再將代入方程中求出，代入計算即可．
【詳解】解：，
將代入方程中可得，
解得，
則．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了分式的化簡與方程解的定義．解這類題的關(guān)鍵是利用分解因式的方法化簡分式，將已知量與未知量聯(lián)系起來．
18．（2022秋·陜西西安·九年級西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得且，
∴的值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如，其中a、b、c都是常數(shù)且的方程叫做一元二次方程．
19．（2023秋·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可得到答案；
（2）利用因式分解法求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵，，
∴
∴，
∴，；
（2）解：原方程變形得，
，
因式分解得，
，
∴，；
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?br>20．（2022秋·北京海淀·九年級清華附中?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
(2)若該方程有一個根小于1，求k的取值范圍．
【答案】(1)見詳解；
(2)
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得 ，由此可證出方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、, 根據(jù)方程有一根小于1 ，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范圍；
【詳解】（1）證明：∵在方程 中， ，
∴方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）∵，
∴，
∵方程有一根小于 1 ，
∴，
∴ 的取值范圍為 ；
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的 關(guān)鍵是（1）牢記“當(dāng) 時，方程有兩個實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根小于1 ， 找出關(guān)于的一元一次不等式
21．（2022秋·福建三明·九年級?？计谥校┠成虉鲣N售一批小家電，平均每天可售出20臺，每臺盈利40元．為了去庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，小家電的單價每降1元，商場平均每天可多售出2臺．如果商場將這批小家電的單價降低x元，據(jù)此規(guī)律，請回答：
(1)每天的銷售量是 臺（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)如果商場通過銷售這批小家電每天要盈利1050元，那么單價應(yīng)降多少元？
(3)若這批小家電的單價有三種降價方式：降價10元、降價20元、降價30元，如果你是商場經(jīng)理，你準(zhǔn)備采取哪種降價方式？說說理由．
【答案】(1)
(2)單價應(yīng)降25元
(3)采取20元的降價方式，理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行解答；
（2）由（1）及題意得，然后解方程即可；
（3）分別算出降價10元、降價20元、降價30元所得利潤，然后進(jìn)行比較即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得每天銷售量為臺；
（2）根據(jù)題意，每天盈利：元．
即有
解得，．
當(dāng)時，銷量為：（臺），
當(dāng)時，銷量為：（臺），
∵為了去庫存，
∴．
答：單價應(yīng)降25元．
（3）選擇降價20元的方式．理由如下：
當(dāng)降價10元時，利潤（元）
當(dāng)降價20元時，利潤（元）
當(dāng)降價30元時，利潤（元）
∵，且要去庫存，
∴選擇降價20元的方式．
答：采取20元的降價方式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋·陜西寶雞·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，兩點(diǎn)同時出發(fā)．

(1)出發(fā)幾秒后，線段的長為？
(2)的面積能否等于？若能，求出時間；若不能，說明理由．
【答案】(1)出發(fā)秒或2秒后，線段的長為；
(2)不能，見解析
【分析】（1）點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，表示出和的長度，利用勾股定理可列方程求解；
（2）利用三角形面積公式列出方程，根據(jù)根的判別式來判斷該方程的根的情況．
【詳解】（1）解：設(shè)秒后，線段的長為，
由題意，得：，
∴，
∴，
解得：或，
∴出發(fā)秒或2秒后，線段的長為；
（2）解：不能，理由如下：
設(shè)秒后，的面積等于，
，
∴，
∴的面積，
整理，得：，
∵，
∴方程無解，
∴的面積不能等于．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是正確的識圖，準(zhǔn)確的列出一元二次方程．
售價（元/件）
每件利潤（元）
每周銷量（件）
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