考點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念
一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).
其中是自變量，分別表示函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．
注意：二次函數(shù)的判斷方法：
①函數(shù)關(guān)系式是整式；②化簡后自變量的最高次數(shù)是2；③二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
考點(diǎn)二、二次函數(shù)解析式
（1）一般式：（是常數(shù)，）
（2）頂點(diǎn)式：（是常數(shù)，），其中為頂點(diǎn)坐標(biāo)
（3）交點(diǎn)式： (是拋物線與軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，即一元二次方程的兩個(gè)根 )。
考點(diǎn)三、與之間的關(guān)系
函數(shù)平移到的兩種方法：
①（口訣:左加右減）（口訣:上加下減）；
②（口訣:上加下減）（口訣:左加右減）；
考點(diǎn)四、二次函數(shù)的圖像性質(zhì)
考點(diǎn)五、二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況
考點(diǎn)六、二次函數(shù)與實(shí)際問題
解決此類問題的基本思路:
（1）理解問題;（2）分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系;
（3）利用公式或者關(guān)系列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍;
（4）在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值;
（5）檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。
注意：最值有時(shí)不在頂點(diǎn)處，則要利用函數(shù)的增減性來確定
題型一二次函數(shù)的定義
【例1】下列各式中是二次函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如（a、b、c為常數(shù)，且）的函數(shù)，由此問題可求解．
【詳解】解：A、不是二次函數(shù)，故不符合題意；
B、是二次函數(shù)，故符合題意；
C、，不是二次函數(shù)，故不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，函數(shù)才是二次函數(shù)，故不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【例2】當(dāng) 時(shí)，是關(guān)于x的二次函數(shù)．
【答案】1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得，并且注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即，即可解答．
【詳解】解：由題意得，
解得，
，
，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】形如的函數(shù)是二次函數(shù)，根據(jù)定義逐一判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、，是一次函數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、分母上有未知數(shù)，不是二次函數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、，當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、是二次函數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的識別，掌握二次函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】函數(shù)為開口向上的拋物線，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義和性質(zhì)得到且，解方程和不等式后可得到答案．
【詳解】解：∵函數(shù)為開口向上的拋物線，
∴函數(shù)是二次函數(shù)，
∴且，
由得，
由得到，
∴，
故答案為：1
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解一元二次方程、解一元一次不等式等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】已知函數(shù)（m為常數(shù)）．
(1)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，求m的值．
(2)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)且．
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問題；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問題．
【詳解】（1）解：依題意且，
所以；
（2）解：依題意，
所以且．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，屬于中考常考題型．
題型二求二次函數(shù)解析式
【例3】下表中y與x的數(shù)據(jù)滿足我們初中學(xué)過的某種函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)表達(dá)式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)表中y與x的數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：，將表中代入函數(shù)關(guān)系式，即可得結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)表中y與x的數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：，
將表中代入函數(shù)關(guān)系式，
得，
解得，
∴函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，代入，
也適合所求得的函數(shù)關(guān)系式．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是掌握利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式．
【例4】已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的表達(dá)式．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線為：，再把代入，從而可得答案．
【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線為：，
把代入可得：
，
解得：，
∴拋物線為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，根據(jù)給定的條件設(shè)出合適的表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線的解析式為 ．
【答案】
【分析】設(shè)拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)是，再代入即可得出答案．
【詳解】設(shè)拋物線上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
可知，
所以，
代入，得，
即，
所以拋物線的解析式為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)對稱表示出坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，y有最小值，求二次函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】由題意可得，二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將代入解析式求解即可．
【詳解】解：由題意可得，二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：
將代入解析式可得，，解得
即．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的幾種表示形式，正確的設(shè)出方程進(jìn)行求解．
【變式2-3】二次函數(shù)過點(diǎn)，，三點(diǎn)，求的值．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：把，，代入中得：
，
解得．
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟知二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足對應(yīng)的二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
題型三二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【例5】已知點(diǎn)在拋物線上，且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)進(jìn)行討論，然后根據(jù)函數(shù)的增減性即可得出答案
【詳解】解：∵
∴或
∴或
∵拋物線的對稱軸為：
∵
∴點(diǎn)A比點(diǎn)B與對稱軸的距離遠(yuǎn)，
∴
∵
∴點(diǎn)A比點(diǎn)B與對稱軸的距離遠(yuǎn)，
∴
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵
【例6】、、是拋物線上三點(diǎn)，，，的大小關(guān)系為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，對稱軸為直線，然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大?。?br>【詳解】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
而離直線的距離最遠(yuǎn)，點(diǎn)離直線最近，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
【變式3-1】若二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則應(yīng)該滿足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱軸不小于1列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：二次函數(shù)，
二次函數(shù)的對稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸交于正半軸，其圖象上有三點(diǎn)，，，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別計(jì)算出自變量為 、-1、 對應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù) 即可得到 、、的大小關(guān)系；
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
二次函數(shù)的圖象與y軸交于正半軸，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式
【變式3-3】若，，為二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為 ．（用 “>”號表示）
【答案】
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線，然后通過比較三個(gè)點(diǎn)到對稱軸的遠(yuǎn)近確定函數(shù)值的大小．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，
而到直線的距離為
到直線的距離為，
到直線的距離為,
∴到直線的距離最遠(yuǎn)，到直線的距離最近，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型四二次函數(shù)的幾何變換
【例7】將拋物線向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，得到拋物線的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：平移后拋物線的解析式為：
即為：
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移．熟記相關(guān)結(jié)論即可．
【例8】拋物線可由如何平移得到（ ）
A．先向右平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位
B．先向右平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位
C．先向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位
D．先向左平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位
【答案】C
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律求則可．
【詳解】解：將拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位即可得到拋物線．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的平移和拋物線解析式，熟練掌握拋物線平移的變化規(guī)律：“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】將拋物線平移后得到拋物線，下列平移方法正確的是（ ）
A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位
C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，進(jìn)行平移判斷即可．
【詳解】解：將拋物線平移后得到拋物線，平移方法為：先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的平移規(guī)律，掌握左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．
【變式4-2】若拋物線平移得到，則必須（ ）
A．先向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位
B．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位
C．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位
D．先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位
【答案】D
【分析】左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減．
【詳解】解：A：平移后拋物線的解析式為：，即，不符合題意；
B：平移后拋物線的解析式為：，即，不符合題意；
C：平移后拋物線的解析式為：，即，不符合題意；
D：平移后拋物線的解析式為：，即，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的平移．熟記相關(guān)結(jié)論即可．
【變式4-3】把的圖象向上平移個(gè)單位，向左平移個(gè)單位

(1)求新圖象的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸；
(2)畫出圖象；
(3)求平移后的函數(shù)的最大值或最小值，并求對應(yīng)的的值．
【答案】(1)解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為
(2)見解析
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最大值，最大值為
【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”寫出平移后的拋物線的解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式列表，并作函數(shù)圖象即可；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．
【詳解】（1）解：平移后的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為．
（2）解：列表：
描點(diǎn)連線：

（3）解：如圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減；并用規(guī)律求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
題型五一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象
【例9】在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象大致如圖（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分別利用函數(shù)解析式分析圖象得出答案．
【詳解】解：解：A、二次函數(shù)開口向下，；一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、二次函數(shù)開口向下，；一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，，兩函數(shù)圖象符合題意；
C、二次函數(shù)開口向上，；一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、一次函數(shù)解析式為：，圖象應(yīng)該與y軸交在負(fù)半軸上，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的圖象，正確得出k的符號是解題關(guān)鍵．
【例10】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)和一次函數(shù)的大致圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象的開口方向和對稱軸的位置可得出的范圍，再根據(jù)的范圍判斷一次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限，由此逐項(xiàng)判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、二次函數(shù)的開口向下，
，
二次函數(shù)的對稱軸在軸的左側(cè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B、二次函數(shù)的開口向下，
，
二次函數(shù)的對稱軸在軸的右側(cè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，故B正確，符合題意；
C、二次函數(shù)的開口向上，
，
二次函數(shù)的對稱軸在軸的右側(cè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
D、二次函數(shù)的開口向上，
，
二次函數(shù)的對稱軸在軸的左側(cè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，故D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷，對于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)時(shí)，拋物線向上開口，當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定拋物線對稱軸的位置，當(dāng)與同號時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)，當(dāng)與異號時(shí)，對稱軸在軸右側(cè)．
【變式5-1】函數(shù)與（且）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分四種情況討論，再判斷圖像即可．
【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸是y軸，頂點(diǎn)在y軸正半軸；一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一，二，三象限，
當(dāng)，時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸是y軸，頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸；一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一，三，四象限，
所以B不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸是y軸，頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸；一次函數(shù)圖像經(jīng)過第二，三，四象限，
當(dāng)，時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸是y軸，頂點(diǎn)在y軸正半軸；一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一，二，四象限，
所以C不符合題意，D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像，一次函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)與圖像的位置的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．反之也可．
【詳解】解：A、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相吻合，故此選項(xiàng)符合題意；
C、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先分兩種情況進(jìn)行分析，當(dāng)a大于0時(shí)，可以確定一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致走向； 同理當(dāng)a小于0時(shí)也可以，再結(jié)合兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)即可得出答案．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線過一、三象限，拋物線開口向上；當(dāng)時(shí)，直線過二、四象限，拋物線開口向下，可得B、C、D錯(cuò)誤，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象的識別，掌握一次函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象的特征是解題關(guān)鍵．
題型六二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系
【例11】如圖是二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，根據(jù)圖象判斷：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論序號是（ ）

A．①③④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①②④⑤
【答案】B
【分析】拋物線與軸交點(diǎn)的位置判斷①；開口方向結(jié)合的符號，判斷②，特殊點(diǎn)和對稱軸，判斷③④⑤．
【詳解】解：由圖可知，拋物線開口向上，，對稱軸為直線，
∴，
∴，故④錯(cuò)誤；
拋物線與軸交于負(fù)半軸，
∴，故①正確；
∴，
∴；故②正確；
由圖可知，當(dāng)時(shí)，，故③正確；
∴，
∵，
∴，
∴；故⑤正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．從圖象中有效的獲取信息，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【例12】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在與之間，下列結(jié)論①；②；③；④；⑤．其中正確的有( )

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】由拋物線的開口方向判斷與的關(guān)系，由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷與的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，則．
對稱軸，則，
拋物線與軸交于正半軸，則，
．
故①正確；
②拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
故②正確；
③，即時(shí)，，對稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，
故③不正確；
④頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的對稱軸直線，
，
．
故④正確；
根據(jù)圖象，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在與之間，
∴當(dāng)時(shí)，則，故⑤正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)的系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與軸的交點(diǎn)拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．
【變式6-1】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③為任意實(shí)數(shù)；④；其中正確的結(jié)論有（ ）

A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖象，可得出，，的正負(fù)，再結(jié)合拋物線的對稱軸為直線和開口向下，即可解決問題．
【詳解】解：由圖象可知，圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，與y軸交于正半軸，
∴，，，
∴，
∴．
故①錯(cuò)誤．
∵拋物線的對稱軸是直線，
∴時(shí)與時(shí)的函數(shù)值相等．
又由圖象可知，
時(shí)，函數(shù)值大于．
所以時(shí)，函數(shù)值也大于．
即．
故②正確．
因?yàn)閽佄锞€開口向下，且對稱軸為直線，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值．
則當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，總有，
即．
故③錯(cuò)誤．
因?yàn)閽佄锞€與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，
即．
故④正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)所給圖象得出，，的正負(fù)并巧妙的利用拋物線的對稱性是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)拋物線的開口向下可知，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸可知，由拋物線的對稱軸可得出a、b的關(guān)系，再對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，
∴，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，即，故B正確，不符合題意；
∴，
∴，故A正確，不符合題意；
∵拋物線的對稱軸為直線，，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
對于任意實(shí)數(shù)，
∴，
∴，故C正確，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上，即，而，
∴，
∴，故D錯(cuò)誤， 符合題意．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，二次函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口，當(dāng)a與b同號時(shí)（即），對稱軸在y軸左邊； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即），對稱軸在y軸右邊．
【變式6-3】二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸是直線，下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得，，，，可得，根據(jù)可得，根據(jù)可得，當(dāng)時(shí)，，把代入得，，即可得．
【詳解】解：∵函數(shù)圖象開口向上，
∴，
∵對稱軸是直線，
∴，
∴，，
∵函數(shù)圖象與y軸的負(fù)半軸相交，
∴，
∴，
故A錯(cuò)誤，
∵，
∴，
故B正確，
∵，
∴，
故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
把代入得，，
即，
故D錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
題型七二次函數(shù)與解不等式
【例13】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 ．

【答案】
【分析】解方程，得出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象即可解答．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，
解得：
∴二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，
由函數(shù)圖象可得的的取值范圍為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，明確題意并掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
【例14】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對稱軸是且經(jīng)過兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式．
(2)并直接寫出時(shí)，的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)值代入二次函數(shù)解析式，結(jié)合對稱軸組建方程組求解參數(shù)；
（2）圖象法求解不等式，取圖中直線（含兩點(diǎn)）下方的拋物線對應(yīng)的自變量取值．
【詳解】（1）解：由，
時(shí)，時(shí)，，
∴．
∵拋物線的對稱軸是且經(jīng)過兩點(diǎn)，
∴解得，
∴．
（2）根據(jù)圖象，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，圖象法求解不等式；理解函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)．則關(guān)于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】拋物線在直線上方部分對應(yīng)的x的取值范圍即為不等式的解集．
【詳解】解：由圖可知，當(dāng)時(shí)，拋物線在直線上方，
因此不等式的解集是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)求不等式的解集，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為( )

A． B．C．D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．
【詳解】解：∵一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，
根據(jù)圖象可得關(guān)于x的不等式的解集是：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)求不等式的解集問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，則不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】首先確定兩個(gè)圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖像的位置可知，當(dāng)直線在拋物線下方時(shí)，一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值，即可求出不等式的解集．
【詳解】解：觀察圖像可知當(dāng)時(shí)，,．
在交點(diǎn)之間時(shí)，一次函數(shù)的圖像在拋物線下方，即，
所以不等式的解集是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式與函數(shù)的關(guān)系及函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，理解圖像點(diǎn)的坐標(biāo)特征和數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．
題型八利用二次函數(shù)解決最值問題
【例15】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為和，拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍 .
【答案】或
【分析】根據(jù)拋物線求出對稱軸，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的表達(dá)式，分兩種情況討論：時(shí)或時(shí)，利用拋物線的性質(zhì)分析求解．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為：，
當(dāng)時(shí)，，
拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的表達(dá)式，
當(dāng)時(shí)，且拋物線過點(diǎn)時(shí)，
，
解得：（不符合題意，舍去），
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，
，
解得：（不符合題意，舍去），
當(dāng)且拋物線的頂點(diǎn)在線段上時(shí)，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，且拋物線過點(diǎn)時(shí)，
，
解得：，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，
，
解得：（舍去），
綜上，的取值范圍為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解對稱軸的含義，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，巧妙運(yùn)用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
【例16】如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，對稱軸是直線﹒

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使的周長最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
【答案】(1)
(2)存在點(diǎn)使的周長最小，
【分析】（1）根據(jù)對稱軸，可求出的值，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出的值，即可解答；
（2）連接交對稱軸于點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)的周長最小，利用二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：由對稱軸，可得，
將代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，連接交對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長最小，

根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，利用中點(diǎn)公式可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入，可得：
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
存在點(diǎn)使的周長最小，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)，軸對稱中最短路徑問題，利用兩點(diǎn)之間線段最短找出使得的周長最小的點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則a的值為 ．
【答案】4或
【分析】由題意可知的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，在，，解得，即可求解答案．
【詳解】解：的對稱軸為直線，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，在，函數(shù)有最小值，
∵的最小值為，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，在，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，
∴，
解得；
綜上所述：的值為4或．
故答案為：4或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在指定的范圍內(nèi)準(zhǔn)確求出函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，）和（，）．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)當(dāng)時(shí)，y有最小值，求m的值．
【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；
(2)或．
【分析】（1）將點(diǎn)（，）和（，）代入，得到關(guān)于和的二元一次方程，然后求解即可；
（2）先求出二次函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)的范圍在對稱軸的左側(cè)、包含對稱軸以及在對稱軸的右側(cè)三種情況展開分類討論，結(jié)合每種情況二次函數(shù)的增減性確定取最小函數(shù)值時(shí)的取值，求出對應(yīng)的m的值即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)（，）和（，）代入，得
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；
（2）由（1）知拋物線的對稱軸是直線，開口向上，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，y有最小值，
∴，
解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)y有最小值，
∴，
解得或（舍去）；
當(dāng)且，即時(shí)y有最小值，不合題意，舍去；
綜上，m的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的性質(zhì)，能夠根據(jù)函數(shù)的增減性求函數(shù)最值是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接，，求的面積的最大值；
(3)當(dāng)時(shí)，拋物線有最小值5，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】用待定系數(shù)法即可求解；
(2)先求直線的表達(dá)式，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn),由即可求解.
(3)當(dāng)時(shí), 即, 則時(shí), 拋物線取得最小值; 當(dāng)時(shí), 即, 則時(shí), 拋物線取得最小值，進(jìn)而求解；
【詳解】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：,
又∵
∴；
（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn),

當(dāng)時(shí)，,
∴點(diǎn),
設(shè)直線的表達(dá)式為，
把和代入得：
，解得
∴直線的表達(dá)式為,
設(shè)點(diǎn), 則點(diǎn),
∴，
∵，
∴有最大值，最大值為；
（3）∵，
即拋物線的最小值是，
即和不可能在拋物線對稱軸兩側(cè)；
當(dāng)時(shí), 即,
則時(shí)，拋物線取得最小值，
即,
解得:(舍去)或,
即；
當(dāng)時(shí), 即,
則時(shí), 拋物線取得最小值,
即,
解得:或(舍去)，
綜上,或；
【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.
題型九二次函數(shù)新定義問題
【例17】新定義：為二次函數(shù)（，a，b，c為實(shí)數(shù)）的 “圖像數(shù)”，如：的“圖像數(shù)”為，若“圖像數(shù)”是的二次函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（ ）
A．B．C．或2D．2
【答案】C
【分析】先根據(jù)“圖像數(shù)”的定義將轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)解析式，然后把二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程解的問題即可解答
【詳解】解：∵若“圖像數(shù)”是的二次函數(shù)解析式為，
根據(jù)題意得，解得．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程解的問題是答本題的關(guān)鍵．
【例18】定義：如果兩個(gè)二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，方向相反且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，則稱其中一個(gè)二次函數(shù)為另一個(gè)二次函數(shù)的美麗函數(shù)．如與互為美麗函數(shù)．
(1)求的美麗函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若的圖像的頂點(diǎn)為P，且經(jīng)過它的美麗函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)Q．
①求證：這兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為P，Q；
②點(diǎn)M是在P，Q之間的圖像的動點(diǎn)，軸交的圖像于點(diǎn)N，求MN長度的最大值．
【答案】(1)
(2)①見解析，②2
【分析】（1）對一般式配方，，根據(jù)定義得解；
（2）①，得，，于是；由的圖象經(jīng)過點(diǎn)Q，求解得，于是，．驗(yàn)證經(jīng)過點(diǎn)，得證結(jié)論；
②設(shè)，則，得，由點(diǎn)M在P，Q之間，得，故時(shí)，最大值為2．
【詳解】（1）解：，
∴其美麗函數(shù)的表達(dá)式；
即；
（2）①，
∴．
∴．
∴．
∵的圖象經(jīng)過點(diǎn)Q，
∴，解得．
∴，．
對于，
當(dāng)時(shí)，，
∴經(jīng)過點(diǎn)．
∴兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為P，Q．
②由①，，，，．
設(shè)，
∵軸交的圖像于點(diǎn)N，
∴．
∴
∵點(diǎn)M在P，Q之間，
∴．
∴當(dāng)時(shí)，值最大，最大值為2．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；熟練運(yùn)用解析式確定點(diǎn)坐標(biāo)，通過點(diǎn)坐標(biāo)確定線段長是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】我們定義一種新函數(shù)：形如（且）的函數(shù)叫做“絕對值“函數(shù)．小明同學(xué)畫出了“絕對值”函數(shù)的圖象（如圖所示），并寫出下列五個(gè)結(jié)論：
①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，和；
②圖象具有對稱性，對稱軸是直線；
③當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減??；
④當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的最小值是9；
⑤當(dāng)與的圖象恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)或
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】分別令和即可對結(jié)論①進(jìn)行判斷；觀察函數(shù)的圖象即可對結(jié)論②進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù)的圖象和增減性即可對結(jié)論③進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，可對結(jié)論④進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，與平行可分兩種情況進(jìn)行討論：①經(jīng)過點(diǎn)，②與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，分別求出b的值即可對結(jié)論⑤進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵令，得，
令，則
解得，
∴與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，和，
∴結(jié)論①正確；
觀察函數(shù)的圖象可知：函數(shù)具有對稱性，對稱軸為，
故結(jié)論②正確；
∵函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，且對稱軸為x=2，
∴當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，
故結(jié)論③不正確；
∵當(dāng)或5時(shí)，，
∴當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的最小值是0．
故結(jié)論④不正確；
∵函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，
又∵與平行，
∴當(dāng)與的圖象恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，有以下兩種情況：
①經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)b=1，
②當(dāng)與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
將整理得：，
∴判別式，
解得：．
故結(jié)論⑤正確，
綜上所述：正確的結(jié)論是①②⑤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
【變式9-2】我們定義：若點(diǎn)在某一個(gè)函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，我們稱點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)的“好點(diǎn)”若關(guān)于的二次函數(shù)對于任意的常數(shù)，恒有兩個(gè)“好點(diǎn)”，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】“好點(diǎn)”的橫縱坐標(biāo)相等，即：，，整理得：，，即可求解．
【詳解】解：“好點(diǎn)”的橫縱坐標(biāo)相等，
，
，
，
整理得：，
，故當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，且與軸沒有交點(diǎn)，
故上式成立，
，
解得：，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，要求學(xué)生熟悉函數(shù)的基本性質(zhì)，能熟練求解函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)等．
【變式9-3】定義為函數(shù)的“特征數(shù)”．如函數(shù)的特征數(shù)為，函數(shù)的特征數(shù)為，若特征數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為 ．
【答案】0或
【分析】先根據(jù)“特征數(shù)”的定義寫出函數(shù)解析式，分與兩種情況，分別求解．
【詳解】解：特征數(shù)為的函數(shù)解析式為，分兩種情況：
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
若函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的根的判別式為0，
即，
解得，
綜上可知，a的值為0或，
故答案為：0或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．
題型十二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【例19】某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個(gè)長，寬的長方形水池進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1），同時(shí)，再建造一個(gè)周長為12m的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池2）.如果設(shè)水池的邊AD加長長度DM為，加長后水池1的總面積為，設(shè)水池2的邊的長為，水池2的面積為.

(1)直接寫出，關(guān)于x的函數(shù)解析式.
(2)當(dāng)水池1與水池2的面積相等時(shí)，求此時(shí)x的值.
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，求W的最大值和此時(shí)x的值.
【答案】(1)，
(2)當(dāng)或時(shí)，水池1與水池2的面積相等
(3)當(dāng)時(shí)，最大，最大值為
【分析】（1）根據(jù)長方形的面積公式解答即可；
（2）當(dāng)時(shí)，可得關(guān)于x的方程，解方程即得答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可
【詳解】（1），
（2）當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴當(dāng)或時(shí)，水池1與水池2的面積相等；
（3）當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握解一元二次方程的方法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【例20】某商場購進(jìn)一種每件成本為80元的新商品，在商場試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系：

(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)疫情期間，有關(guān)部門規(guī)定每件商品的利潤率不得超過，那么將售價(jià)定為多少，來保證每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是多少？
(3)在試銷過程中，受國家扶持，每銷售一件新產(chǎn)品，國家補(bǔ)貼商場a元（），并要求包含補(bǔ)貼后每件的利潤不高于36元，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)：每件補(bǔ)貼經(jīng)費(fèi)a元后，每天銷售的總利潤仍隨著售價(jià)的增大而增大，求出a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)將售價(jià)定為100元，每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是1000元
(3)
【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，利用待定系數(shù)法可求出其解析式，再求出x的取值范圍即可；
（2）根據(jù)利潤（售價(jià)單價(jià)）銷售量，由題意可求出的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；
（3）根據(jù)包含補(bǔ)貼后每件的利潤不高于36元及該商品每天銷售的總利潤仍隨著售價(jià)的增大而增大，即可得出關(guān)于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，
由所給函數(shù)圖象可知：，
解得：．
，
令，則，
解得：．
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：∵，
，
，
每天的利潤W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為；
根據(jù)題意可得：
，
解得：，
，
，
∴當(dāng)時(shí)，W有最大值，
且（元）．
答：將售價(jià)定為100元，每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是1000元；
（3）解：根據(jù)題意可知：，
解得：，即售價(jià)不能高于元，
根據(jù)題意可得：，
∵該商品每天銷售的總利潤仍隨著售價(jià)的增大而增大，
，
解得：，
∵，
．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．
【變式10-1】某水果店王阿姨到水果批發(fā)市場打算購進(jìn)一種水果銷售，經(jīng)過討價(jià)還價(jià)，實(shí)際價(jià)格每千克比原來少2元，發(fā)現(xiàn)原來買這種水果80千克的錢，現(xiàn)在可買88千克．

(1)現(xiàn)在實(shí)際購進(jìn)這種水果每千克多少元？
(2)王阿姨準(zhǔn)備購進(jìn)這種水果銷售，若這種水果的銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元/千克）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
②請你幫王阿姨拿個(gè)主意，將這種水果的銷售單價(jià)定為多少時(shí)，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】(1)實(shí)際購進(jìn)這種水果每千克20元
(2)①；②銷售單價(jià)定為30元時(shí)利潤最大，最大利潤為1100元
【分析】（1）設(shè)實(shí)際購進(jìn)這種水果每千克元，根據(jù)“原來買這種水果80千克的錢，現(xiàn)在可買88千克”列出一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）①設(shè)一次函數(shù)的解析式為，將，代入解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；②設(shè)利潤為，根據(jù)利潤銷售收入進(jìn)貨金額得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)實(shí)際購進(jìn)這種水果每千克元，
由題意得：，
解得：，
即實(shí)際購進(jìn)這種水果每千克20元；
（2）解：①設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
由圖知，圖像過點(diǎn)，，將其代入函數(shù)解析式可得，
解得，
與的函數(shù)關(guān)系式為；
②設(shè)利潤為，由題意知
，
即，
即銷售單價(jià)定為30元時(shí)利潤最大，最大利潤為1100元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．
【變式10-2】如圖，小朋友燃放--種手持煙花，這種煙花每隔1.6秒發(fā)射一發(fā)花彈，每一發(fā)花彈的飛行路徑，爆炸時(shí)的高度均相同．小朋友發(fā)射出的第一發(fā)花彈的飛行高度h（米）隨飛行時(shí)間t（秒）變化的規(guī)律如下表．
(1)根據(jù)這些數(shù)據(jù)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示h（米）與t（秒）之間的關(guān)系．直接寫出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式__________；
(2)當(dāng)?shù)谝话l(fā)花彈發(fā)射2.2秒后，第二發(fā)花彈達(dá)到的高度為多少米？
(3)為了安全，要求花彈爆炸時(shí)的高度不低于19米．小朋友發(fā)現(xiàn)在第一發(fā)花彈爆炸的同時(shí)，第二發(fā)花彈與它處于同一高度，請分析花彈的爆炸高度是否符合安全要求？
【答案】(1)
(2)8.28米
(3)花彈的爆炸高度不符合安全要求
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，猜測函數(shù)圖象為拋物線，設(shè)其解析式為，把點(diǎn)代入求解即可；
（2）由當(dāng)?shù)谝话l(fā)子彈發(fā)射后，第二發(fā)子彈發(fā)射，把代入求解即可；
（3）根據(jù)這種煙花每隔1.6秒發(fā)射一發(fā)花彈，每一發(fā)花彈的飛行路徑，爆炸時(shí)的高度均相同，發(fā)射第一發(fā)花彈的函數(shù)表達(dá)式為，可得發(fā)射第二發(fā)花彈的函數(shù)表達(dá)式為，令，求得，從而求得，即可求解．
【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，函數(shù)圖象近似拋物線，
設(shè)其解析式為，
把點(diǎn)代入得，，
解得，
∴函數(shù)解析式為，
故答案為：；
（2）解：當(dāng)?shù)谝话l(fā)子彈發(fā)射后，第二發(fā)子彈發(fā)射，
把代入得，，
答：第二發(fā)花彈達(dá)到的高度為8.28米；
（3）解：∵這種煙花每隔1.6秒發(fā)射一發(fā)花彈，每一發(fā)花彈的飛行路徑，爆炸時(shí)的高度均相同，發(fā)射第一發(fā)花彈的函數(shù)表達(dá)式為，
∴發(fā)射第二發(fā)花彈的函數(shù)表達(dá)式為，
∵小朋友發(fā)現(xiàn)在第一發(fā)花彈爆炸的同時(shí)，第二發(fā)花彈與它處于同一高度，
則令，得，
解得，
此時(shí)，
故花彈的爆炸高度不符合安全要求．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)求得其解析式，分析變化趨勢，可以代值檢驗(yàn)，從實(shí)際問題分析轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求解．
【變式10-3】如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長度的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)移動，如果點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，

(1)寫出的面積關(guān)于出發(fā)時(shí)間的函數(shù)解析式及的取值范圍；
(2)四邊形的面積隨出發(fā)時(shí)間如何變化？寫出函數(shù)解析式及的取值范圍．
【答案】(1)
(2)四邊形的面積隨出發(fā)時(shí)間成二次函數(shù)關(guān)系變化，
【分析】（1）根據(jù)題意，用表示出線段、，求解即可；
（2）四邊形的面積為減去的面積，即可求解．
【詳解】（1）解：∵在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長度的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)移動，
∴，，
∴的面積關(guān)于出發(fā)時(shí)間的解析式為．
（2）解：四邊形的面積隨出發(fā)時(shí)間成二次函數(shù)關(guān)系變化，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與圖形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，用表示出線段、．
題型十一二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例21】已知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使的值最??？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；
(3)設(shè)點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) B的坐標(biāo)，由點(diǎn)，求出直線的解析式，利用配方法求出拋物線的對稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接，設(shè)，根據(jù)的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，
得，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在，
連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵拋物線的解析式為，
∴拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)直線的解析式為
將點(diǎn)，代入，
得，解得，
∴直線的解析式為，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）連接，

設(shè)，
的面積
，
當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，
此時(shí)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，最短路徑問題與二次函數(shù)，圖形面積問題與二次函數(shù)，正確掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【例22】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)C．

(1)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)D，使最短，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且是以為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)共線時(shí)，最短，即的長度，然后求出所在直線表達(dá)式為，然后個(gè)代入求解即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，然后求出，，根據(jù)題意，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）如圖所示，連接，

∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)系對稱軸對稱
∵
∴當(dāng)點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)共線時(shí)，最短，即的長度，
∵拋物線
∴對稱軸為
當(dāng)時(shí)，
∴
當(dāng)時(shí)，
解得，
∴，
設(shè)所在直線表達(dá)式為
∴，解得
∴所在直線表達(dá)式為
∴將代入得，
∴；
（2）如圖所示，

∵，
∴，
∵是以為腰的等腰三角形
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式11-1】綜合與探究
如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值，并寫出最大值為多少；
(3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)二次函數(shù)解析式為
(2)當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為
(3)存在點(diǎn)使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且或或或
【分析】（1）根據(jù)，，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)，，求出直線的解析式，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得的長關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)最值的計(jì)算方法即可求解；
（3）根據(jù)題意可求出的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)，分類討論：第一種情況：如圖所述，點(diǎn)在直線下方；第二種情況：如圖所示，點(diǎn)在直線上方；圖形結(jié)合，即可求解．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴，則，
把，代入二次函數(shù)解析式得，
，解得，，
∴二次函數(shù)解析式為．
（2）解：由（1）可知，二次函數(shù)解析式為，且，，
∴設(shè)直線所在直線的解析式為，
∴，解得，，
∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為．
（3）解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，且，
∴令時(shí)，，則，，
∴，且
在中，，，
∴，
第一種情況：如圖所述，點(diǎn)在直線下方，

四邊形是菱形，則，，且直線的解析式為，
∴設(shè)直線所在直線的解析為，把點(diǎn)代入得，，解得，，
∴直線的解析式為，設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∴，，
∴，整理得，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即；
第二種情況：如圖所示，點(diǎn)在直線上方，

四邊形是菱形，，，且，，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴，整理得，，解得，（與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去），，即，
∴設(shè)所在直線的解析式為，把點(diǎn)代入得，，
∴直線的解析式為，
根據(jù)題意，設(shè)，
∴，整理得，，
∴，即，，
∴或，
綜上所述，存在點(diǎn)使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．
【變式11-2】如圖，拋物線l的頂點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)A，B為拋物線上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)，線段交y軸于點(diǎn)D，，，．

(1)求拋物線l的函數(shù)表達(dá)式；
(2)將拋物線l平移到拋物線，設(shè)平移后點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)為，，若點(diǎn)A落在直線上，且以A、B、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，試確定平移后拋物線的表達(dá)式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)題意求出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線的對稱軸為軸，設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)和以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出，坐標(biāo)，即可得出平移的方向和長度，從而寫出平移后的拋物線解析式．
【詳解】（1）由圖知點(diǎn)在軸的正半軸，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且與軸交于點(diǎn)，，，
、、三點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
，，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將，代入得：，
解得：．
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）將拋物線平移后，點(diǎn)A落在直線上，即點(diǎn)在上，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
，
平移后的，
根據(jù)平移的性質(zhì)可知，平移后的要么在直線上，要么在與直線平行的平行線上，
即，和不可能互為對角線，
，，
以、、，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
要滿足以、、，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
則和為菱形的邊，且．
，
，
設(shè)，則，
，
即，
解得，
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，相對于，，
，，
拋物線向右平移了3個(gè)單位長度，向上平移了個(gè)單位長度，
則拋物線的解析式為：；
②當(dāng)時(shí)，，，相對于，
，，
拋物線向右平移了3個(gè)單位，向下平移了個(gè)單位，
則拋物線的解析式為：．
綜上所述，平移后拋物線的表達(dá)式為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移等知識點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．
【變式11-3】如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)為拋物線上的點(diǎn)，連接交直線于，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在直線上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，列方程組，解之即可得到答案；
（2）令，則，求得，作，垂足為，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，得到方程，求得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得到答案；
（3）求得，設(shè)，分兩種情況①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解： 拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的解析式是；
（2）解：令，則，
，
如圖，作，垂足為，

則，
，
，，
又是中點(diǎn)，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)是：，；
（3）解：令，則，
，
，
設(shè)，
，
，
①當(dāng)時(shí)，

，
，
解得：，（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
；
②當(dāng)時(shí)，

，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵
一、單選題
1．（2022秋·福建福州·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)，下列敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A．圖象開口向上B．圖象的對稱軸為直線
C．函數(shù)有最小值D．時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵，
∴拋物線開口向上，圖象有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值；故A、C正確；
∵，
∴圖象的對稱軸為直線，故B正確；
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，故D錯(cuò)誤；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·福建龍巖·九年級校聯(lián)考期中）將拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．
【詳解】解：將拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，
所得新拋物線的解析式為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移規(guī)律．關(guān)鍵是掌握拋物線的平移規(guī)律．
3．（2022秋·陜西延安·九年級校考期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于和兩點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍是（ ）

A． B．C．D．或
【答案】D
【分析】由拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可解決問題．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸相交于和兩點(diǎn)，函數(shù)開口向下，
∴函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍是或，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．
4．（2022春·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面，水面寬，如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圖中可以看出，所求拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為軸，可設(shè)此函數(shù)解析式為：，利用待定系數(shù)法求解．
【詳解】解：設(shè)此函數(shù)解析式為：，
由題意得：在此函數(shù)解析式上，
則
即得，
那么．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．
5．（2022秋·江西南昌·九年級?？计谥校┫卤碇辛谐龅氖且粋€(gè)二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的兩組對應(yīng)值：
下列各選項(xiàng)中可能錯(cuò)誤的是（ ）
A．這個(gè)函數(shù)的圖象開口方向無法確定
B．這個(gè)函數(shù)的圖象對稱軸是直線
C．如果時(shí)，函數(shù)y的值算的增大而或小，那么這個(gè)函數(shù)有最大值
D．二次函數(shù)與軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，可得拋物線對稱軸為直線，由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，可得拋物線解析式為，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)．
【詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
拋物線對稱軸為直線，
故選項(xiàng)B正確；
設(shè)這個(gè)函數(shù)的解析式為，
代入點(diǎn)，得，
故這個(gè)函數(shù)的解析式為，
不能確定的值，即這個(gè)函數(shù)的圖象開口方向無法確定，
故選項(xiàng)A正確；
如果時(shí)，函數(shù)y的值算的增大而或小，
這個(gè)函數(shù)的圖象開口向下，
故選項(xiàng)C正確；
時(shí)，，
，不能確定與的大?。?br>故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
6．（2023秋·新疆伊犁·九年級?？计谀┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①；②；③；④方程一定有實(shí)數(shù)根，其中正確的結(jié)論為（ ）
A．②③B．①③C．①②③D．①②
【答案】C
【分析】拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷①，對稱軸結(jié)合特殊點(diǎn)，判斷②，對稱性和特殊點(diǎn)，判斷③；圖象法判斷④．
【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴，所以①正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，即，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)和之間，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，所以③正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∵當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值為3，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∵，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根，所以④錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象中有效的獲取信息，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）直線l過點(diǎn)且與y軸垂直，若二次函數(shù)（其中x是自變量）的圖像與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且其對稱軸在y軸右側(cè)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直線l：，化簡拋物線可得，令，利用判別式，解出，由對稱軸在y軸右側(cè)可求即可解答．
【詳解】解：∵直線l過點(diǎn)且與y軸垂直，
∴直線l為，
∵化簡拋物線可得，
∴令，即，
∵二次函數(shù)（其中x是自變量）的圖像與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵對稱軸在y軸右側(cè)，
，
∴，
∴．
故選擇D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題、拋物線對稱軸、一元二次方程的根的判別式等知識點(diǎn)，掌握二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根問題是解題關(guān)鍵．
8．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形邊長為4，E、F、G、H分別是上的點(diǎn)，且．設(shè)A、E兩點(diǎn)間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了動點(diǎn)的函數(shù)圖象，先判定圖中的四個(gè)小直角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，得函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合選項(xiàng)的圖象可得答案．
【詳解】解：正方形邊長為4，
，
是的二次函數(shù)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上
從4個(gè)選項(xiàng)來看，開口向上的只有A和B，C和D圖象開口向下，不符合題意
但是的頂點(diǎn)在軸上，故B不符合題意，只有A符合題意
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正確地寫出函數(shù)解析式并數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．（2022秋·福建龍巖·九年級校聯(lián)考期中）二次函數(shù)的圖象如圖，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第 象限．

【答案】三
【分析】由二次函數(shù)的圖象可判斷出b、c的符號，再進(jìn)行判斷一次函數(shù)的圖象所在的象限，即可求解．
【詳解】解：∵對稱軸，
∴，
∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于正半軸，
∴
∴一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，且，經(jīng)過二、四象限，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
∴不經(jīng)過第三象限，
故答案為：三．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級?？计谥校佄锞€如圖所示，則一元二次方程的解為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)圖像中二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，即可得到答案．
【詳解】解：由圖象可得二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，
故的解為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的一元二次方程的根，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·河北邯鄲·九年級校考期中）如圖，一段拋物線：，記為，它與軸交于點(diǎn)，；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，交軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，交軸于點(diǎn)；如此進(jìn)行下去．

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
（2）若在第段拋物線上，則 ．
【答案】
【分析】求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可確定的坐標(biāo)；觀察圖形可知第偶數(shù)號拋物線都在軸下方，然后求出拋物線的表達(dá)式，再將的橫坐標(biāo)代入計(jì)算即可得解．
【詳解】解：令，則 ，
解得 ，即 ，，
由旋轉(zhuǎn)得：，
∴的坐標(biāo)為，
，
故答案為： ．
由圖可知，拋物線在軸下方，相當(dāng)于拋物線向右平移個(gè)單位得到，
拋物線解析式為 ，
，在第段拋物線上，
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)，找出相應(yīng)規(guī)律求解是解題關(guān)鍵．
12．（2022秋·福建福州·九年級?？计谥校┮幻猩沏U球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離（單位：）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離為 m．
【答案】10
【分析】推出的距離就是當(dāng)高度時(shí)x的值，所以解方程可求解．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
解得：（不合題意，舍去），
則鉛球推出的距離為是10m
故答案為：10
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，此題把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題來解，滲透了函數(shù)與方程相結(jié)合的解題思想方法．
13．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）若，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為 ．（用“＜”連接）
【答案】
【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，開口向下，對稱軸為，則拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：拋物線
則，開口向下，對稱軸為，
則拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
，，到對稱軸的距離分別為：、、
則
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)開口方向確定出拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小以及正確求得點(diǎn)到對稱軸的距離．
14．（2021秋·福建莆田·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢之點(diǎn)”，例如點(diǎn)，，，…都是“夢之點(diǎn)”．已知關(guān)于的方程的兩根分別為，2，若二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢之點(diǎn)”，則“夢之點(diǎn)”是 ．
【答案】，
【分析】根據(jù)“夢之點(diǎn)”定義得出這樣的點(diǎn)都在直線上，根據(jù)二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢之點(diǎn)”， 令，整理得：，根據(jù)關(guān)于的方程的兩根分別為，2，得出關(guān)于x的方程的兩根分別為，2，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)都在直線上，
又∵二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢之點(diǎn)”，
∴令，
整理得：，
∵關(guān)于的方程的兩根分別為，2，
∴關(guān)于x的方程的兩根分別為，2，
∴“夢之點(diǎn)”是，．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，一元二次方程解的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出“夢之點(diǎn)”都在直線上．
15．（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)根的判別式得出，求出，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出此二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出只要使二次函數(shù)在的范圍內(nèi)與x軸有交點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程在的范圍內(nèi)有解，得出使時(shí)，且頂點(diǎn)在x軸上或x軸下方即可，即，解得：，即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
令，
則此二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
只要使二次函數(shù)在的范圍內(nèi)與x軸有交點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程在的范圍內(nèi)有解，
∴使時(shí)，且，
即，
解得：，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將一元二次方程方程的解抽象為二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)．
16．（2020秋·福建龍巖·九年級龍巖初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的上的一個(gè)動點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連接．則線段的最大值是_________．

【答案】
【分析】連接，由拋物線關(guān)于y軸對稱，得到，因此是的中位線，得到，當(dāng)過時(shí)，長最大，長最大，求出B的坐標(biāo)是，得到，由勾股定理求出，由三角形中位線定理即可求解．
【詳解】解：連接，

∵拋物線關(guān)于y軸對稱，
∴，
∵是線段的中點(diǎn)，
∴，
∴是的中位線，
∴，
∴當(dāng)長最大，長最大，
當(dāng)過時(shí)，長最大，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴B的坐標(biāo)是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半徑是2，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是明白當(dāng)過時(shí)，長最大，由三角形中位線定理即可求解．
三、解答題
17．（2023秋·北京朝陽·九年級和平街第一中學(xué)?？计谥校┮阎魏瘮?shù).
(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出該函數(shù)的圖象；
(2)當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先解方程得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為4；當(dāng)時(shí)，，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
根據(jù)對稱軸為直線，得拋物線必過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，解得，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
過以上五點(diǎn)描點(diǎn)、連線作出拋物線，如圖，
（2）解： 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且，
當(dāng)時(shí)，y有最大值為4；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023春·河北滄州·九年級?？计谥校┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，四邊形的面積的最大值為
【分析】（1）將、的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；
（2）由于的面積為定值，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，的面積最大；過作y軸的平行線，交直線于，交軸于，求得直線的解析式，可設(shè)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線的解析式求出、的縱坐標(biāo)，即可得到的長，以為底，點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得的面積，由此可得到關(guān)于四邊形的面積與點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形的最大面積及對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
，
解得：，
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，

，設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)，
解得：，，
∴，，
，
當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，四邊形的面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
19．（2022秋·江西南昌·九年級?？计谥校┠碁I江公園一處噴水景觀，噴出的水柱的軌跡呈拋物線形狀，數(shù)學(xué)小組對此展開測量：測得噴水頭P距地面1.1m，水柱軌跡點(diǎn)在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.6m；將收集到數(shù)據(jù)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中是水柱軌跡點(diǎn)到噴水頭的水平距離，是水柱軌跡點(diǎn)到地面的高度．

(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)現(xiàn)有另一水柱從距點(diǎn)P高0.2m的Q處噴出，其軌跡的解析式為，落點(diǎn)恰好為A點(diǎn)右邊的B點(diǎn)處．
①求；
②水柱，兩者的最大高度相差多少？
【答案】(1)
(2)①2米；②1.3米
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式求解即可；
（2）①先求出的函數(shù)表示式，再求出拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；
②利用拋物線的性質(zhì)求出的頂點(diǎn)，進(jìn)一步即可求出答案．
【詳解】（1）根據(jù)題意可得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故拋物線的解析式是，
把點(diǎn)代入，得：，
解得：，
∴拋物線的解析式是；
（2）①由題意可得：，
代入，得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴，即，
令，
解得：，
∴，即，
∴米；
②∵，
∴的最大高度是3.6米，
∵，
∴的最大高度是4.9米，
∴水柱，兩者的最大高度相差1.3米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．
20．（2021秋·陜西渭南·九年級校考期中）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．

(1)求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)（不與、重合），軸，且交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】（1）在拋物線解析式中，令可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，令則可求得、的坐標(biāo)；
（2）由、的坐標(biāo)可求得直線的解析式為，則可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可用表示出的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得線段的長度最大時(shí)的值，可求得點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：對于，令，則，
∴，
令，則，
解得：，，
∴，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)的解析式為，過點(diǎn)和，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵軸，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，最大，
此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值等知識．掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春·福建福州·八年級校考期末）已知拋物線．
(1)求證：該拋物線與x軸總有交點(diǎn)；
(2)若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且，對于該拋物線上的任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，總有．
①求該拋物線的函數(shù)解析式；
②若直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)（P，Q都不與A，B重合），直線，分別與y軸交于點(diǎn)M，N，設(shè)M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為m，n，求證：為定值．
【答案】(1)見解析
(2)①；②見解析
【分析】（1），即可證明該拋物線與軸總有交點(diǎn)；
（2）①由，可得或，又對于該拋物線上的任意兩點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，總有，所以當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，所以．將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得出和的值即可得出結(jié)論；②設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線和直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，．所以．
【詳解】（1）解：，
，
該拋物線與軸總有交點(diǎn)；
（2）①，
或，
對于該拋物線上的任意兩點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，總有，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
．
．
又，
．
該拋物線的解析式為．
②證明：該拋物線的解析式為．
直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，
可設(shè)，
，
直線的解析式為：，
直線的解析式為：，
，，，，
．
令，
整理得，
，．
．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系等知識，本題計(jì)算量較大，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋·福建福州·九年級?？计谥校┠吵袖N售一款洗手液，這款洗手液成本為每瓶16元，當(dāng)銷售單價(jià)定為每瓶20元時(shí)，每天可售出60瓶．市場調(diào)查反應(yīng)，銷售單價(jià)每上漲1元，則每天少售出5瓶．若設(shè)這款洗手液的銷售單價(jià)上漲x元，每天的銷售利潤為y元．
(1)每天的銷售量為________瓶，每瓶洗手液的利潤是________元．（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)若這款洗手液的日銷售利潤y達(dá)到300元，則銷售單價(jià)應(yīng)上漲多少元？
(3)當(dāng)銷售單價(jià)上漲多少元時(shí)（物價(jià)部門規(guī)定銷售單價(jià)不得高于23元），這款洗手液每天的銷售利潤最大，最大利潤為多少元？
【答案】(1)，
(2)銷售單價(jià)應(yīng)上漲2元或6元
(3)當(dāng)銷售單價(jià)上漲3元時(shí)，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利為315元．
【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)每上漲1元，則每天少售出5瓶，則每天的銷售量為瓶，每瓶洗手液的利潤為元；
（2）利用這款洗手液的日銷售利潤=每瓶洗手液的利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）利用這款洗手液的日銷售利潤=每瓶洗手液的利潤×每天的銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)最值．
【詳解】（1）設(shè)這款洗手液的銷售單價(jià)上漲x元，根據(jù)銷售單價(jià)每上漲1元，則每天少售出5瓶，每天的銷售量為瓶；
每瓶洗手液的利潤為元；
（2）依題意得：，
整理得：，
解得：．
答：銷售單價(jià)應(yīng)上漲2元或6元；
（3）由題意得：，
∵，∴當(dāng)時(shí)y隨x的增大而減小，
∵銷售單價(jià)不得高于23元
∴當(dāng)時(shí)，y最大，最大值為315．
答：當(dāng)銷售單價(jià)上漲3元時(shí)，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利潤為315元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
的符號
開口方向
向上
向下
對稱軸
直線
直線
頂點(diǎn)坐標(biāo)
增減性
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小﹔
當(dāng)時(shí)隨的增大而增大
當(dāng)時(shí)隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)隨的增大而減小
最值
當(dāng)時(shí)，有最小值
當(dāng)時(shí)，有最大值
判別式
一元二次方程
的根的情況
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
沒有實(shí)數(shù)根
二次函數(shù)的圖象
拋物線與軸的交點(diǎn)
，
沒有交點(diǎn)
x
…
0
1
3
…
y
…
0
3
4
0
…
···
···
···
···
t/秒
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
h/米
1.8
7.3
11.8
15.3
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…
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