人教版九年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略專題07相似三角形的基本模型(K字型)(原卷版+解析)(人教版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．
1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型）（直角型）（鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.
2）一線三等角模型（異側(cè)型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2 圖3
①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例題精講】
例1．（基本模型）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
例2．（培優(yōu)綜合1）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．
例3．（培優(yōu)綜合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．
（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．
例4．（培優(yōu)綜合3）⑴如圖1，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求證：AC＝BE.
⑵如圖2，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求證：；②連接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；
⑶如圖3，在△ABD中，點C在AB邊上，且∠ADC＝∠ABD，點E在BD邊上，連接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接寫出的值.
例5．（與反比例函數(shù)綜合）如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是邊上的一個動點（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，將沿對折后，點恰好落在上的點處，則的值為．
例6．（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線過點和點，其頂點為點C，連接AB，點D在拋物線上A、C兩點之間，過點D作軸，垂足為點F，DF與AB交于點E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）連接AD、BD，設(shè)的面積為S，點D的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．
（3）點M在坐標(biāo)軸上，試探究平面內(nèi)是否存在點N，使點A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
課后訓(xùn)練
1．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動點，連接并延長交圖象的另一支于點，在第二象限內(nèi)有一點，滿足，當(dāng)點運動時，點始終在函數(shù)的圖象上運動，若，則的值為（）
A．－6B．－12C．－18D．－24
2．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（）
A．B．C．D．
3．如圖，在中，，點在上，連接，，，，則線段．

4．如圖，是直角三角形，，，點A在反比例函數(shù)的圖象上．若點B在反比例函數(shù) 的圖象上，則k的值為
5．如圖，已知D是等邊邊AB上的一點，現(xiàn)將折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E、F分別在AC和BC上．如果，則的值為．
6．已知在中，，，，為邊上的一點．過點作射線，分別交邊、于點、．
（1）當(dāng)為的中點，且、時，如圖1，_______：
（2）若為的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，_______；
（3）若改變點到圖3的位置，且時，求的值．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．
8．等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；
(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；
(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．
9．（1）問題
如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．
10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；
（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=-交x軸于A、B兩點，點C在拋物線上，且點C的橫坐標(biāo)為-1，連接BC交y軸于點D．
(1)如圖1，求點D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，點P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點P作PG⊥x軸于G，點E在線段PG上，連接AE，過點E作EF⊥AE交線段DB于F，若EF=AE，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，線段PE的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，點H在線段OB上，連接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求點P的坐標(biāo)．
12．如圖，矩形ABCD中，E為AD邊上一點（不與點A、D重合），EF⊥BE交CD于點F．

（1）求證：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，點G為BC中點，AG交BE于點K，H為AB邊上一點，∠BEH＝45°，BD交EF于點J，當(dāng)＝時，求；

（3）若AB＝BC，點K為線段BE的三等分點（BK＜EK），點J為射線EF上一點，且EK＝EJ，當(dāng)＝_________時（直接寫結(jié)果），tan∠DJE＝．

專題07 相似三角形的基本模型（K字型）
【模型說明】
“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．
1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型）（直角型）（鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.
2）一線三等角模型（異側(cè)型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2 圖3
①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例題精講】
例1．（基本模型）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；
拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．
【詳解】探究：證明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
當(dāng)CP=CE時，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
當(dāng)PC=PE時，△ACP≌△BPE，
則PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
當(dāng)EC=EP時，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，即，解得：，
∴AP=ABPB=，
綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
例2．（培優(yōu)綜合1）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．
【答案】3．
【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進行計算，即可得出BE的長．
【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，
∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．
例3．（培優(yōu)綜合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．
（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．
【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，證明見解析；（2），證明見解析；（3）．
【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．證明△AHF≌△FJD（SAS），可得結(jié)論；
（2）如圖②中，結(jié)論：．證明△AHF∽△FJD，可得結(jié)論；
（3）如圖③中，結(jié)論：，證明方法類似（2）．
【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．
理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，
∴BH=CH，CJ=JE，
∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ=AH，F(xiàn)H=JE=DJ，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF≌△FJD（SAS），
∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；
（2）如圖②中，結(jié)論：．
理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，
∴，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF；
（3）如圖③中，結(jié)論：，
理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=180°-α，
∴CJ=JE，，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．
例4．（培優(yōu)綜合3）⑴如圖1，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求證：AC＝BE.
⑵如圖2，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求證：；②連接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；
⑶如圖3，在△ABD中，點C在AB邊上，且∠ADC＝∠ABD，點E在BD邊上，連接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接寫出的值.
【答案】（1）見解析；（2）①見解析；② ；（3） .
【分析】（1）利用AAS證明可得AC=BE；
（2）①先證明△DAC∽△CBE，再利用相似三角形的性質(zhì)可得；
②根據(jù)∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，從而求出相應(yīng)的線段長度，得到tan∠CDB的值．
（3）根據(jù)∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，從而得到AD的長，根據(jù)∠BCE+∠BAD=180°，以E為圓心，EC長為半徑畫弧，交BC于點H，連接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，則.
【詳解】（1）證明：如圖1，
，
又，
又
（2）①證明：∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°，
∠DCA+∠A+∠CDA=180°，∠A=∠DCE，
∴∠ADC=∠ECB，
∵∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE，
②如圖2，
∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ABD，
AB=AC+BC=
∴
解得AD=5，
設(shè)∠DBA=∠CDA=α，
∴∠CDG=90-2α，
∴∠CGD=2α，
∴∠GCB=∠GBC=α，
∴CG=GB，
設(shè)CG=GB=x，
解得
（3）如圖3，
∵∠ADC=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ADB，
解得AD=5，
∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°，
∴∠ADC+∠DCA=∠BCE，
以E為圓心，EC長為半徑畫弧，交BC于點H，連接EH，
∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，
∵∠B=∠ADC，
∴∠BEH=∠ACD，
∴△BEH∽△ADC，
故答案為
【點睛】此題考查了相似三角形得性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出相關(guān)的線段長度，最后一問以EC為腰作等腰三角形為解題關(guān)鍵．
例5．（與反比例函數(shù)綜合）如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是邊上的一個動點（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，將沿對折后，點恰好落在上的點處，則的值為．
【答案】
【分析】過點作軸于點，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到，進而證明，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到，通過矩形EAOM的性質(zhì)得到EM的長度，進而得到DB的長度，最后在中應(yīng)用勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，過點作軸于點，
∵四邊形AOBC為矩形，OA=3，OB=4，
∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．
∴，，，．
∵點F在邊BC上，點E在邊AC上，
∴，．
又∵點E，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，．
∴，．
∴，．
∴，．
∵沿EF對折后得到，
∴，，．
∴．
∵軸，∴
∴，．
∴．
∴．∴．
∵四邊形AOBC是矩形，∴．
又∵軸，∴．∴四邊形EAOM是矩形，
∴．
在中，滿足，
即，解得．故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與長度之間的關(guān)系以及勾股定理，作出合適的輔助線，熟練應(yīng)用以上知識點是解題關(guān)鍵．
例7．（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線過點和點，其頂點為點C，連接AB，點D在拋物線上A、C兩點之間，過點D作軸，垂足為點F，DF與AB交于點E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）連接AD、BD，設(shè)的面積為S，點D的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．
（3）點M在坐標(biāo)軸上，試探究平面內(nèi)是否存在點N，使點A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）可求出直線AB的解析式，進而求得E點的坐標(biāo)，表示出DE，然后利用三角形面積公式可求得△ABD的面積；
（3）當(dāng)△ABM為直角三角形時，可找到滿足條件的點N，分三種情況分別討論可求得N點坐標(biāo)．
【詳解】（1）∵拋物線過點和點，
∴，
解得，
∴此拋物線的解析式為．
（2）∵，
∴頂點C的坐標(biāo)為，
∵點D在拋物線上A，C兩點之間，點D的橫坐標(biāo)為m，
∴，
由點和點得出直線AB的解析式為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)m的值為時，S有最大值．
（3）∵以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形，
為直角三角形，
①當(dāng)，則M在y軸上時，過點B作軸，軸，交于Q點，如圖1，
由點和點可知，，，
則有∽，
∴，即，解得，
∵≌，
∴，，
∴，
②當(dāng)，則M在x軸上時，作軸于H，軸于G，如圖2，
由點和點可知，，
則有∽，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴G，H重合，
∴，
∴，
③當(dāng)時，則M只能在y軸上，作軸于P，軸于Q，如圖3，
∵，
∴，
而，，
∴，
在與中，
∴≌（）
∴，，
∵直線AB的解析式為，
∴直線AM的解析式為，
∴，
∴，
∴，
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為或或．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等．在（2）中求得E坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．本題考查知識點較基礎(chǔ)，難度適中．
課后訓(xùn)練
1．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動點，連接并延長交圖象的另一支于點，在第二象限內(nèi)有一點，滿足，當(dāng)點運動時，點始終在函數(shù)的圖象上運動，若，則的值為（）
A．－6B．－12C．－18D．－24
【答案】B
【分析】連接OC，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，通過角的計算找出∠AOE＝∠COF，結(jié)合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再由，得出，可得出CF?OF的值，進而得到k的值．
【詳解】如圖，連接OC，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，
∵由直線AB與反比例函數(shù)的對稱性可知A、B點關(guān)于O點對稱，
∴AO＝BO，
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB，
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵，
∴，
∴CF＝2AE，OF＝2OE，
又∵AE?OE＝3，
∴CF?OF＝|k|＝4×3＝12，
∴k＝±12，
∵點C在第二象限，
∴k＝?12，
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?OF＝12．解決該題型題目時，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出結(jié)論．
2．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長公式求得結(jié)果．
【詳解】解：連接，
四邊形是矩形，
，，
為的中點，為的中點，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
矩形是中心對稱圖形，過矩形的中心．
過點，且，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
解得，或4，
或4，
當(dāng)時，，則，
，
四邊形的周長；
同理，當(dāng)時，四邊形的周長；
故選：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．
3．如圖，在中，，點在上，連接，，，，則線段．

【答案】
【分析】作CE＝AC交AB于E，證明△DCE是等腰三角形，過點D作DF⊥CE于F，求出CF＝2，然后證明△ABC∽△CDF，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式計算即可．
【詳解】解：如圖，作CE＝AC交AB于E，則∠A＝∠CEA，CE＝4，
∵∠ADC＝∠DCE＋∠CEA，∠ADC＝2∠A，∴∠DCE＝∠A＝∠CEA，∴DC＝DE，
過點D作DF⊥CE于F，則CF＝EF＝＝2，
∵∠DCE＝∠A，∠DFC＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△CDF，∴，
在Rt△ABC中，，
∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，通過作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，是直角三角形，，，點A在反比例函數(shù)的圖象上．若點B在反比例函數(shù) 的圖象上，則k的值為
【答案】?8
【分析】求函數(shù)的解析式只要求出B點的坐標(biāo)就可以，過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系數(shù)法即可．
【詳解】過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．
設(shè)點A的坐標(biāo)是（m，n），則AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因為點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則mn＝2，
∵點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴B點的坐標(biāo)是（?2n，2m），
∴k＝?2n?2m＝?4mn＝?8．
故答案為：?8．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點的坐標(biāo)的問題，求出圖象上點的橫縱坐標(biāo)的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式．
5．如圖，已知D是等邊邊AB上的一點，現(xiàn)將折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E、F分別在AC和BC上．如果，則的值為．
【答案】7：8
【分析】設(shè)AD=2x，DB=3x，連接DE、DF，由折疊的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性質(zhì)即可求得CE:CF的值．
【詳解】設(shè)AD=2x，DB=3x，則AB=5x
連接DE、DF，如圖所示
∵△ABC是等邊三角形
∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60°
由折疊的性質(zhì)得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60°
∴∠ADE+∠BDF=180°?∠EDF=120°
∵∠BDF+∠DFB=180°?∠B=120°
∴∠ADE=∠DFB
∴△ADE∽△BFD
∴
即CE：CF=7：8
故答案為：7：8
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形相似是本題的關(guān)鍵．
6．已知在中，，，，為邊上的一點．過點作射線，分別交邊、于點、．
（1）當(dāng)為的中點，且、時，如圖1，_______：
（2）若為的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，_______；
（3）若改變點到圖3的位置，且時，求的值．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【分析】（1）由為的中點，結(jié)合三角形的中位線的性質(zhì)得到從而可得答案；
（2）如圖，過作于過作于結(jié)合（1）求解再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；
（3）過點分別作于點，于點，證明,可得再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解同法求解從而可得答案．
【詳解】解：（1）為的中點，

故答案為：
（2）如圖，過作于過作于

由（1）同理可得：

故答案為：
（3）過點分別作于點，于點，
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；
（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；
（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．
【詳解】解：當(dāng)時，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如圖3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如圖4圖5圖6，連接EF．
在中，，，
，
如圖4，當(dāng)E在線段AC上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，或舍
如圖5，當(dāng)E在AC延長線上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，或舍，
③如圖6，當(dāng)E在CA延長線上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，或（舍），
綜上：或．
【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點．
8．等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；
(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；
(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．
【答案】(1)等邊三角形；(2)；(3)4
【分析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再證得PE＝PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結(jié)論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE＝PC來實現(xiàn)；
（2）由（1）不難得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長求出GC的長，從而求出GB的長，下面的關(guān)鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長，有∠ABC的度數(shù)，可以求出BE、EP的長，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可．
【詳解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，
，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等邊三角形．
（2）過E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，
∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，
∴GC＝2CF＝8，
∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝2，BE＝2，
∴EH＝BE?PE÷BP＝，
∴S△GBE＝；
（3）∵在BPE中，∠B＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠FPC＝120°，
∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴，
設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x．
∴＝，
解得：x＝2或4．
當(dāng)x＝2時，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
過E作EH⊥BC于H，
則EH＝BE?sin∠B＝2，BH＝2，
∴PH＝0，
即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x＝2不合題意，舍去；
當(dāng)x＝4時，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
則△BEP是等邊三角形，
∴PE＝4．故PE＝4．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意對全等三角形和等邊三角形的應(yīng)用．
9．（1）問題
如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可證到，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）由可得,即可證到，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）證明,求出，再證,可求,進而解答即可．
【詳解】解：（1）證明：如圖1，
，
，
，
又
，
；
（2）結(jié)論仍成立；
理由：如圖2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似，正切值的求法，能夠通過構(gòu)造角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．
10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；
（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

【答案】（1）；（2）發(fā)生變化，，證明見解析；（3）
【分析】（1）結(jié)合“一線三等角”推出，從而證得結(jié)論即可；
（2）利用條件證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；
（3）作延長線于點，過點作，交于點，交于點，結(jié)合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和，最后利用勾股定理計算即可．
【詳解】（1）解：∵，∴．
在和中，
∴，∴．
（2）發(fā)生變化，．證明：由（1）得，，，∴，
∴，∴．
（3）如圖所示，作延長線于點，過點作，交于點，交于點，則，，，
由（1）同理可證，，
∴，，
∴，，
∴．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準(zhǔn)確證明三角形全等或相似，并熟練運用其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=-交x軸于A、B兩點，點C在拋物線上，且點C的橫坐標(biāo)為-1，連接BC交y軸于點D．
(1)如圖1，求點D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，點P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點P作PG⊥x軸于G，點E在線段PG上，連接AE，過點E作EF⊥AE交線段DB于F，若EF=AE，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，線段PE的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，點H在線段OB上，連接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)（0，2）
(2)
(3)（，）
【分析】（1）先根據(jù)拋物線解析式求出點B、點A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，即可求得D點坐標(biāo)；
（2）過E作x軸平行線l，過A、F作l的垂線段，垂足分別為N、M，證明出△ANE≌△EMF，得AN=EM，NE=MF，用t、d表示出F點坐標(biāo)，將該坐標(biāo)代入直線BC解析式即可得d與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過C作CQ⊥PG于Q，由∠CEF=∠AEH，知△CEQ∽△EHG，得：，即，求出HG的表達式，可得用t表示的AH的長度，再利用，可得EH-CE與CE的關(guān)系，代入EH-CE=即可得CE關(guān)于t的表達式，由勾股定理得到關(guān)于t的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：令拋物線中的y=0，即，
解得：x=-4或x=1，
當(dāng)x=-1時，y=4，即C（-1，4），
即A（-4，0），B（1，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得：，
即直線BC解析式為y=-2x+2，
當(dāng)x=0時，y=2，
則點D的坐標(biāo)為．
（2）解：過E作x軸平行線l，過A、F作l的垂線段，垂足分別為N、M，如圖所示，
由∠AEN+∠FEM=90°，∠AEN+∠EAN=90°知∠FEM=∠EAN，
∵AE=EF，
∴△ANE≌△EMF，
∴AN=EM，NE=MF，
∵P點橫坐標(biāo)為t，PE=d，
∴P（t，yP），NE=t+4=MF，EG=yP－d=AN=EM，其中，
∴F點橫坐標(biāo)為：t+EM=t+yP－d，
F點縱坐標(biāo)為：EG－MF=yP－d－（t+4），
將F點坐標(biāo)代入y=-2x+2得：
yP－d－（t+4）=－2（t+yP－d）+2，
化簡得：3d=，
即．
（3）解：過C作CQ⊥PG于Q，如圖所示，
∵∠CEF=∠AEH，∠AEF=90°，
∴∠EFH=90°，
則∠CEQ+∠ECQ=∠CEQ+∠HEG=90°，
∴∠ECQ=∠HEG，
∴△CEQ∽△EHG，
∴，
由（2）知，EG=yP－d=，
∴QE=4-EG=，CQ=-1-t，
∴，
∴HG=，，
∴，AH=AG+GH=t+4+=，
即，
∵EH-CE=，
∴=，
即：，
∵C（－1，4），E（t，），
∴由勾股定理得：（t+1）2+（-4）2=（）2，
解得：（舍）或，
∴P（，）．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形判定及性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及一元二次方程的解法等知識點．作出輔助線構(gòu)造出全等三角形及相似三角形是解題關(guān)鍵．
12．如圖，矩形ABCD中，E為AD邊上一點（不與點A、D重合），EF⊥BE交CD于點F．

（1）求證：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，點G為BC中點，AG交BE于點K，H為AB邊上一點，∠BEH＝45°，BD交EF于點J，當(dāng)＝時，求；

（3）若AB＝BC，點K為線段BE的三等分點（BK＜EK），點J為射線EF上一點，且EK＝EJ，當(dāng)＝_________時（直接寫結(jié)果），tan∠DJE＝．

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）
【分析】（1）證明△ABE∽△DEF，可得結(jié)論．
（2）如圖2中，過點H作HM⊥EH交BE于M，過即可點M作MN⊥AB于N．設(shè)AH=m，BH=5m，證明△EAH≌△HNM（AAS），推出MN=AH=m，AE=HN，設(shè)AE=HN=x，可得BN=5m-x，由MN∥AE，推出，可得，整理得，x2-5xm+6m2=0，解得x=2m或3m，接下來分兩種情形分別求解．
（3）如圖3中，作∠MEB=∠J，過點M作MN⊥ME交BE于N，過點N作NP⊥AB于P．由△JDE∽△EMB，推出，設(shè)DE=2k，BM=3k，由△EAM∽△MPN，推出，設(shè)PM=a，則AE=2a，推出AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，推出PN，PB=，由PN∥AE，推出，推出，求出a與k的關(guān)系即可解決問題．
【詳解】（1）證明：如圖1中，

在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF，
∴，
∴EA?ED=AB?DF；
（2）解：如圖2中，過點H作HM⊥EH交BE于M，過點M作MN⊥AB于N，過點E作ET⊥BD于T．

∵，
∴設(shè)AH=m，BH=5m，
∵∠EHM=90°，∠HEM=45°，
∴∠HEM=∠HME=45°，
∴HE=HM，
∵∠EAH=∠EHM=∠MNH=90°，
∴∠EHA+∠MHN=90°，∠MHN+∠HMN=90°，
∴∠EHA=∠HMN，
∴△EAH≌△HNM（AAS），
∴MN=AH=m，AE=HN，設(shè)AE=HN=x，
∴BN=5m-x，
∵MN∥AE，
∴，
∴，
整理得，，
∴或，
①當(dāng)時，
∵BE平分∠ABD，EA⊥BA，ET⊥BD，
∴EA=ET，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，即，
整理得：，
解得：或(舍去)，
∴DE=，AD=AE+DE=，BG=，
∵AE∥BG，
∴，
∴EK=EB，
∵tan∠ABE=tan∠DBE=，
∴EJ=EB，
∴；
②當(dāng)時，同理可得；
綜上所述，的值為或；
（3）解：如圖3中，作∠MEB=∠J，過點M作MN⊥ME交BE于N，過點N作NP⊥AB于P．

∵∠MEB=∠J，
∴tan∠MEB=tan∠J=，
∵∠BEJ=∠A=90°，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∴△JDE∽△EMB，
，
設(shè)DE=2k，BM=3k，
∵∠EMA+∠AEM=90°，∠EMA +∠NMP=90°，
∴∠AEM =∠NMP，
∵Rt△EAM∽Rt△MPN，
，
設(shè)PM=a，則AE=2a，
∴AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，
∴PN，PB=，
∵PN∥AE，
∴，
∴，
∴（負根已經(jīng)舍棄），
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．

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