“X”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．

圖1 圖2 圖3 圖4
1）“8”字模型，條件：如圖1，AB∥CD；
結(jié)論：△AOB∽△COD?eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD).
2）反“8”字模型，條件：如圖2，∠A＝∠D；
結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).
3）平行雙“8”字模型，條件：如圖3，AB∥CD；】
結(jié)論：
4）斜雙“8”字模型，條件：如圖4，∠1＝∠2；
結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC.
【例題精講】
例1．（基本模型1）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1．
（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？
（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，請(qǐng)問(wèn)一定成立嗎？并證明你的判斷．
（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．

例2．（基本模型2）（1）某學(xué)?！皩W(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目
如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長(zhǎng)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，通過(guò)構(gòu)造△ABD就可以解決問(wèn)題（如圖2）
請(qǐng)回答：∠ADB＝ °，AB＝
（2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：
如圖3在四邊形ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長(zhǎng)
例3．（培優(yōu)綜合1）如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，，連接AD，，則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為 ．

例4．（培優(yōu)綜合2）如圖，在矩形中，分別為邊，的中點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)M，N．已知，，則的長(zhǎng)為 ．
例5．（與反比例綜合）如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，點(diǎn)C（-1，0），點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，且y軸平分∠BAC，則k的值是 ．
例6．（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為．
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
(2)如圖1，連接，交線(xiàn)段于點(diǎn)，若，求的值．
(3)如圖2，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，與直線(xiàn)，分別交于、兩點(diǎn)．試問(wèn)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在射線(xiàn)上，交于點(diǎn)，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，在等邊邊長(zhǎng)為6，O是中心；在中，，，．將繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．
(1)當(dāng)、分別在、邊上，連結(jié)、，求的面積；
(2)設(shè)所在直線(xiàn)與的邊或交于點(diǎn)F，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，求的長(zhǎng)；
(3)連結(jié)，取中點(diǎn)M，連結(jié)，的取值范圍為_(kāi)________．
【變式訓(xùn)練4】．如圖1：拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4交x軸于點(diǎn)A、B，連接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．
(1)拋物線(xiàn)的解析式為 ；
(2)點(diǎn)P在第三象限的拋物線(xiàn)上，連接PC、PA，若點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，△PAC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)S＝6時(shí)，點(diǎn)G為第四象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接PG，CH⊥PG于點(diǎn)H，連接OH，若tan∠OHG，求GH的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練5】．【問(wèn)題背景】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿(mǎn)足∠BAD＝∠ACB，求證：BA2＝BD?BC；
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿(mǎn)足∠BAD＝∠ACB，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，延長(zhǎng)ED交CG于點(diǎn)F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的長(zhǎng)度；
【拓展創(chuàng)新】如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上（AB≠AD）且滿(mǎn)足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足為H，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值________．
課后訓(xùn)練
1．如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)，是上的一點(diǎn)，且，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則等于( )．
2.正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，直線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)用含的式子表示；
(2)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，求的值．
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求證：AN＝CM；
（2）若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD：AD＝2：1，求DM的長(zhǎng)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EM，設(shè)sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．
4．如圖，正方形中，為邊上任意點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．
如圖1，若點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，求證： ；

在的條件下，求的值；
如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)連接當(dāng)時(shí)，求證：．

5．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，AD=BE，CD與AE交于F．
（1）求∠AFD的度數(shù)；
（2）若BE=m，CE=n．
①求的值；（用含有m和n的式子表示）
②若=，直接寫(xiě)出的值．
6．在圖中；如圖，在正方形中，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).
（1）求證：；
（2）如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn).若，且，則線(xiàn)段______.
7．已知在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）如圖，當(dāng)時(shí)，________；
（2）如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．
專(zhuān)題05 相似三角形的基本模型（X字型）
【模型說(shuō)明】
“X”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．

圖1 圖2 圖3 圖4
1）“8”字模型，條件：如圖1，AB∥CD；
結(jié)論：△AOB∽△COD?eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD).
2）反“8”字模型，條件：如圖2，∠A＝∠D；
結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).
3）平行雙“8”字模型，條件：如圖3，AB∥CD；】
結(jié)論：
4）斜雙“8”字模型，條件：如圖4，∠1＝∠2；
結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC.
【例題精講】
例1．（基本模型1）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1．
（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？
（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，請(qǐng)問(wèn)一定成立嗎？并證明你的判斷．
（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．

【答案】（1）成立，理由見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，則DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，則AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；
（2）過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，則BE＝AB，并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而B(niǎo)E＝AB，于是有，這實(shí)際是三角形的角平分線(xiàn)定理；
（3）AD為△ABC的內(nèi)角角平分線(xiàn)，由（2）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：（1） 等邊△ABC中，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，

因?yàn)锽1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1，
∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
AD＝B1D，

綜上：這兩個(gè)等式都成立；

（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：
如圖所示，△ABC為任意三角形，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn)，
線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)

∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴，
即對(duì)任意三角形結(jié)論仍然成立；
（3）如圖（2）所示，因?yàn)镽t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，

∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線(xiàn)，
∴
∵DE∥AC，
∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形相似的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
例2．（基本模型2）（1）某學(xué)校“學(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目
如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在線(xiàn)段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長(zhǎng)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，通過(guò)構(gòu)造△ABD就可以解決問(wèn)題（如圖2）
請(qǐng)回答：∠ADB＝ °，AB＝
（2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：
如圖3在四邊形ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長(zhǎng)
【答案】（1）75，3；（2）CD＝
【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠ADB=∠OAC=75°，結(jié)合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出OD的值，進(jìn)而可得出AD的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對(duì)等邊可得出AB=AD即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E，同（1）可得出AE=，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長(zhǎng)度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理即可求出DC的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）如圖2中，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，
∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝2，．
又∵AO＝，
∴OD＝2AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝3．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3；
故答案為：75，3．
（2）如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝2．
∵BO：OD＝1：3，
∵AO＝，
∴EO＝2，
∴AE＝3．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝3，
∴AB＝AC＝6，AD＝
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，
解得：CD＝（負(fù)根已經(jīng)舍棄）．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
例3．（培優(yōu)綜合1）如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，，連接AD，，則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為 ．

【答案】
【分析】過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，可求，，設(shè)，可證，由即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，

，
，
，
，
，
，
，，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
，
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，并會(huì)根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
例4．（培優(yōu)綜合2）如圖，在矩形中，分別為邊，的中點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)M，N．已知，，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD，交點(diǎn)BF于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，證明△BEG∽△BAF，求出EG的長(zhǎng)，再證明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，從而求出NG和MG，可得MN的長(zhǎng).
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD，交點(diǎn)BF于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，
由題意可知：EH∥BC，
∴△BEG∽△BAF，
∴，
∵AB=4，BC=6，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，
∴BE=2，AF=3，
∴，
∴EG=，
∵EH∥BC，
∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴，,
∴，，
即，，
∴，，
∵E為AB中點(diǎn)，EH∥BC，
∴G為BF中點(diǎn)，
∴BG=GF=BF=，
∴NG==，MG=BG=，
∴MN=NG+MG=，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)EH，得到相似三角形.
例5．（與反比例綜合）如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，點(diǎn)C（-1，0），點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，且y軸平分∠BAC，則k的值是 ．
【答案】
【分析】作BE⊥x軸，垂直為E，先證明△AOC≌△CEB，得OC=BE=1,AO=CE；再證明△AOC≌△AOD，得OC=OD=1；設(shè)DE=m，通過(guò)證明△BED∽△AOD，構(gòu)造方程，求出m，確定E的坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】解：作BE⊥x軸，垂直為E,則∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠ACO=∠CBE，
∵∠AOC=∠CEB=90°，
∴△AOC≌△CEB，
∴OC=BE=1,AO=CE．
∵y軸平分∠BAC，
∴∠CAO=∠DAO，
∵OA=OA, ∠AOC=∠AOD=90°，
∴△AOC≌△AOD，
∴OC=OD=1．
設(shè)DE=m，則CE=OA=2+m，
∵BE∥OA，
∴△BED∽△AOD，
∴，
即： ，
∴，
解得，（不合題意，舍去），
∴OE=OD+DE=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為()，
∴ ．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，見(jiàn)到△ABC為等腰直角三角形，考慮做輔助線(xiàn)，化斜為直，構(gòu)造全等或相似，這是解決平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)的常見(jiàn)思路，要深刻領(lǐng)會(huì)．
例6．（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為．
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
(2)如圖1，連接，交線(xiàn)段于點(diǎn)，若，求的值．
(3)如圖2，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，與直線(xiàn)，分別交于、兩點(diǎn)．試問(wèn)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)或2；(3)為定值，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解即可；
（2）構(gòu)造相似三角形和，利用直線(xiàn)的解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)關(guān)于的代數(shù)式，利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可；
（3）通過(guò)輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形并用含有的代數(shù)式表示出和，再分別用兩個(gè)三角函數(shù)表示，代入中，最后化簡(jiǎn)即可．
【詳解】（1）拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)
∴，解得：；∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：．
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．則，
，∴
令，則，∴
∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和
設(shè)直線(xiàn)：，，，∴直線(xiàn)的解析式為：．
∵，軸，∴當(dāng)時(shí)，，∴
設(shè)，則
∴
∵，∴，
解得，．∴當(dāng)或2時(shí)，．
（3）為定值，
理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)．
∵，，對(duì)稱(chēng)軸是，∴
設(shè)，則，，
在中，，∴，
在中，，∴
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)以及運(yùn)用三角函數(shù)解直角邊是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】將補(bǔ)成矩形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得，結(jié)合已知可求、，再由即可求出CE．
【詳解】解：如解圖，補(bǔ)成矩形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴設(shè)，則，
又∵在矩形中，，
∴，
∴，即，
解得．
∴．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，直角三角形的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在射線(xiàn)上，交于點(diǎn)，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ．
【答案】12
【分析】如圖（見(jiàn)解析），延長(zhǎng)BQ交射線(xiàn)EF于點(diǎn)M，先根據(jù)中位線(xiàn)定理得出，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義、平行線(xiàn)的性質(zhì)以及等腰三角形的定義得出，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可求出EM的長(zhǎng)．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)BQ交射線(xiàn)EF于點(diǎn)M
、分別是、的中點(diǎn)
平分
由得
即
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，在等邊邊長(zhǎng)為6，O是中心；在中，，，．將繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．
(1)當(dāng)、分別在、邊上，連結(jié)、，求的面積；
(2)設(shè)所在直線(xiàn)與的邊或交于點(diǎn)F，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，求的長(zhǎng)；
(3)連結(jié)，取中點(diǎn)M，連結(jié)，的取值范圍為_(kāi)________．
【答案】(1)
(2)
(3)1≤DM≤5
【分析】（1）由O是等邊三角形的中心，可知OM=，進(jìn)而得到，從而EO∥BM，所以可得OD=EN，即可求解；
（2）易證△AEF∽△OBF，得到，設(shè)AF=x，OF=y，求解即可；
（3）取AE的中點(diǎn)N，連接MN，DN，由D、N在⊙A上，可知即MN-DN ≤DM≤DN+MN，易知MN是△AEC的中位線(xiàn)，從而求得．
【詳解】（1）連接AO，并延長(zhǎng)交BC于M，連接OB
∵O是等邊△ABC的中心
∴∠OBM=30°，BM=MC，AM⊥BC
∴OM==
∴
∴EO∥BM
延長(zhǎng)EO交AC于N，則△AEN為等邊三角形
∵EO∥BM
∴
∴ON=OE，CN=DN=AD=2
∴OD=EN=2
∴
（2）連接OB，OA，如圖，
∵O是等邊△ABC的中心
∴∠OBA=30°，OA=OB=2
∴
∵∠DAE=30°
∴AE=4，DE=
在△AEF和△OBF中
∵∠ABO=∠AED=30°，∠AFE=∠BFO
∴△AEF∽△OBF(AA)
∴
設(shè)AF=x，OF=y，則
解得，,
所以
（3）取AE的中點(diǎn)N，連接MN，DN，
∵D,N在⊙A的圓上
∴當(dāng)D、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DM最大或最小，
即MN-DN ≤DM≤DN+MN，
∴MN-2≤DM≤MN+2
當(dāng)D、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)如圖1時(shí)，
△AND為等邊三角形，
∴∠NDA=∠DAC=60°，
∴MN∥AC
∵M(jìn)，N為中點(diǎn)
∴MN=
∴DM≥1
當(dāng)D、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)如圖2時(shí)，
△AND為等邊三角形，
∴∠NDA=∠BAC=∠CAE=60°，
∴MN∥AC
∵M(jìn)，N為中點(diǎn)
∴MN=
∴DM≤5
故答案為：1≤DM≤5
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位線(xiàn)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)及方程思想，綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4】．如圖1：拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4交x軸于點(diǎn)A、B，連接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．
(1)拋物線(xiàn)的解析式為 ；
(2)點(diǎn)P在第三象限的拋物線(xiàn)上，連接PC、PA，若點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，△PAC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)S＝6時(shí)，點(diǎn)G為第四象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接PG，CH⊥PG于點(diǎn)H，連接OH，若tan∠OHG，求GH的長(zhǎng)．
【答案】(1)y＝x2+3x﹣4
(2)St2t
(3)
【分析】（1）利用三角函數(shù)求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線(xiàn)PA的解析式，設(shè)直線(xiàn)AP交y軸于點(diǎn)D，確定點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)S＝S△ADC+S△PDC求出S的表達(dá)式即可；
（3）根據(jù)（2）中的關(guān)系式求出t值，確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，連接CP，則軸，過(guò)點(diǎn)O作，GP交CH的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，根據(jù)△COK∽△PCH，得tan∠CPH，求出G點(diǎn)坐標(biāo)，得出GM，再根據(jù)tan∠MCH＝tan∠CPH，得出MH，即可得出GH的長(zhǎng)．
(1)
解：由圖像知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4交y軸于點(diǎn)C，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4，
∴OB＝OC＝4，OAOC＝1，
即B（﹣4，0），A（1，0），
∴，
解得，
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2+3x﹣4；
(2)
解：點(diǎn)P（t，t2+3t﹣4），
設(shè)直線(xiàn)PA的解析式為y＝kx+b
∴，
∴，
∴直線(xiàn)PA的解析式為y＝（t+4）x﹣4﹣t，
設(shè)直線(xiàn)AP交y軸于點(diǎn)D，則D（0，﹣4﹣t），
∴S＝S△ADC+S△PDCCD?（xA﹣xP）t2t；
(3)
解：由（2）知St2t＝6，
解得t＝﹣3或t＝4（舍去），
∴點(diǎn)P（﹣3，﹣4），
∵點(diǎn)C（0，﹣4），連接CP，則軸，
過(guò)點(diǎn)O作，OK交CH的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，
∴OK⊥CK，∠HOK＝∠OHG，
∵tan∠OHG，
∴設(shè)KH＝3m，OK＝4m，
∵∠PCH+∠KCO＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠KCO＝∠HPC，
又∵∠PHC＝∠CKO＝90°，
∴△COK∽△PCH，
∴，
∴CH＝3m，PH，
在Rt△CPH中，tan∠CPH，
設(shè)GP交CO于點(diǎn)M，則CM＝PC?tan∠CPH＝2，
∴點(diǎn)M（0，﹣2），
設(shè)直線(xiàn)PM的解析式為y＝k1x﹣2，把P（﹣3,﹣4）代入得k1，
∴直線(xiàn)PM的解析式為，
令，
解得x＝﹣3 （舍）或，
∴G（），
∴GM，
在Rt△CMH中，tan∠MCH＝tan∠CPH，
∴MH，
∴GH．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5】．【問(wèn)題背景】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿(mǎn)足∠BAD＝∠ACB，求證：BA2＝BD?BC；
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿(mǎn)足∠BAD＝∠ACB，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，延長(zhǎng)ED交CG于點(diǎn)F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的長(zhǎng)度；
【拓展創(chuàng)新】如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上（AB≠AD）且滿(mǎn)足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足為H，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值________．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）8；（3）．
【分析】（1）要證明BA2＝BD?BC，只需證明，由已知判定即可解答；
（2）由3AD＝2AC 可知的相似比為，從而得出，設(shè)BD=4x，則BA=6x，BC=9x，再過(guò)F點(diǎn)作，交BC于M點(diǎn)，利用平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形和等腰三角形，利用已知線(xiàn)段關(guān)系證明DF=FM，從而得出，由此即可求出BE長(zhǎng)，
（3）延長(zhǎng)BC到G，使CG=AC，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥AG垂足為M，構(gòu)造，由已知求出相似比為，再設(shè)，，解即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵∠BAD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴，
∴，
∴BA2＝BD?BC；
（2）解：由（1）可得，
又∵3AD＝2AC
∴，
設(shè)BD=4x，則BA=6x，BC=9x，
如解圖2，過(guò)F點(diǎn)作，交BC于M點(diǎn)，
∴∠ABD＝∠FMD，
∵BE＝ED，
∴∠ABD＝∠EDB，
又∵∠MDF＝∠EDB，
∴∠MDF＝∠FMD，
∴MF＝DF＝1，
由可得，，
∴，，
由∵BG＝2，MF＝DF＝1，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：延長(zhǎng)BC到G，使CG=AC，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥AG垂足為M，
∴∠CAG＝∠G，
∴∠ACB＝∠CAG+∠G=2∠CAG＝2∠G，
∵∠ACB＝2∠BAD，∴∠BAD=∠CAG＝∠G，
∵，∴，即，∴，
∵，即，∴
又∵∠B=∠B，∠BAD＝∠G，
∴，∴，
設(shè)，，則，，，
在中，，
在中，，
∴，解關(guān)于x的方程得：，，
當(dāng)時(shí)，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，．
綜上所述：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等，解題關(guān)鍵是能通過(guò)作合適的輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形并最終求得結(jié)果．
課后訓(xùn)練
1．如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)，是上的一點(diǎn)，且，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則等于( )．
【答案】
【分析】先過(guò)點(diǎn)D作GD∥EC交AB于G，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得BG=GE，再根據(jù)GD∥EC，得出，最后根據(jù)，即可得出答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作GD∥EC交AB于G，
∵AD是BC邊上中線(xiàn)，
，即BG=GE，
又∵GD∥EC，
。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，關(guān)鍵是求出AE、EB、EG之間的關(guān)系
2.正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，直線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)用含的式子表示；
(2)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，是定值
(3)
【分析】根據(jù)翻變換的性質(zhì)可以得到，加上對(duì)頂角相等得到的，從而得到，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，再根據(jù)比例的性質(zhì)得到，加上對(duì)頂角相等得到的證明出： ，最終得到對(duì)應(yīng)角相等得出結(jié)果．
如圖中，連接，證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；
證明是等邊三角形，可得結(jié)論．
【詳解】（1）如圖中，設(shè)交于點(diǎn)．

四邊形是正方形，
，，
，
由翻折變換的性質(zhì)可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），是定值．
理由：如圖中，連接，．

四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
同法可證，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求證：AN＝CM；
（2）若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD：AD＝2：1，求DM的長(zhǎng)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EM，設(shè)sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）證明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AN＝CM；
（2）證明△AND∽△BMD，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝，則可得出答案；
（3）延長(zhǎng)ME，AN相交于點(diǎn)H，證明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，證得HN＝MN，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BM于點(diǎn)G，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】（1）證明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，
∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，
∴∠ACN＝∠CBM，
又∵AC＝BC，
∴△ACN≌△CBM（AAS），
∴AN＝CM；
（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，
∴△AND∽△BMD，
∴，
設(shè)AN＝x，則BM＝2x，
由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，
∵AN2+CN2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝12，
∴x＝，
∴CM＝，CN＝，
∴MN＝，
∴DM＝＝；
（3）解：延長(zhǎng)ME，AN相交于點(diǎn)H，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，
∴AN∥BM，
∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，
∴△AHE≌△BME（AAS），
∴AH＝BM，
又∵BM＝CN，CM＝AN，
∴CN＝AH，
∴MN＝HN，
∴∠HMN＝45°，
∴∠EMB＝45°，
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BM于點(diǎn)G，
∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，
∴sin∠EBG＝＝k，
又∵AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∴BE＝，
∴EG＝k，
∴EM＝EG＝k＝k．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，正方形中，為邊上任意點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．
如圖1，若點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，求證： ；

在的條件下，求的值；
如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)連接當(dāng)時(shí)，求證：．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，求出，證明，得到，通過(guò)等量代換可得結(jié)論；
（2）設(shè)，則，在中，利用勾股定理求出，進(jìn)而可求的值；
（3）連接，首先證明，進(jìn)而可求，然后可證，得出，結(jié)合可證，即可得到，問(wèn)題得證．
【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

，
，
又平分，
，
，
，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：設(shè)，則，
在中，，即，
解得：或(舍去)，
∴；
（3）證明：如圖，連接，

，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等，作出合適的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，AD=BE，CD與AE交于F．
（1）求∠AFD的度數(shù)；
（2）若BE=m，CE=n．
①求的值；（用含有m和n的式子表示）
②若=，直接寫(xiě)出的值．
【答案】（1）60°；（2）①；②
【分析】（1）利用SAS證出△ABE≌△CAD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和和等邊三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交CD于點(diǎn)H，可證△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，然后列出比例式，結(jié)合（1）中全等即可求出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可設(shè)，然后根據(jù)相似三角形的判定定理證出△AFD∽ABE，列出比例式即可求出a的值，然后用m和n表示出EF和DF，再結(jié)合已知條件即可求出結(jié)論．
【詳解】解（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠BCA=∠BAC=60°
又AD=BE，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ADC=∠BEA
∵∠BDF＋∠ADC =180°
∴∠BDF+∠BEF=180°，
∴∠B+∠DFE=180°，
∵∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠AFD=∠B=60°
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交CD于點(diǎn)H，
∴△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，
∴，
由（1）△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=m，則BD=CE=n，
∴，，
∴
（3）∵
可設(shè)
則AE=AF＋EF=
∵∠AFD=∠B=60°，∠DAF=∠EAB
∴△AFD∽ABE
∴
即
解得：
∴，
∵=
∴
整理，得
∴或（不符合實(shí)際，舍去）
【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)，此題難度較大，構(gòu)造相似三角形并列出比例式是解決此題的關(guān)鍵．
6．在圖中；如圖，在正方形中，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).
（1）求證：；
（2）如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn).若，且，則線(xiàn)段______.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MP⊥BC交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知，即可得到結(jié)論；
（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，又知，
∴，，
∴，解得：，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用三角形相似求出正方形的邊長(zhǎng)是解決第2小題的關(guān)鍵．
7．已知在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）如圖，當(dāng)時(shí)，________；
（2）如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.
【分析】（1）連接DE，利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得出DE∥AB, DE=AB, 則△ABP∽△DEP，進(jìn)而得出答案；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交BC于點(diǎn)F，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出F是CD的中點(diǎn)，進(jìn)而得出BD=DF=FC，進(jìn)而得出即可．
【詳解】（1）解：連接DE，
∵點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，BD=CD，
∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，
∴DE∥AB, DE=AB,
∴△ABP∽△DEP，
故答案為
（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交BC于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，EF∥AD，
∴F是CD的中點(diǎn)，
∵CD=2BD，
∴BD=DF=FC，
又∵PD∥EF，
∴BP=PE．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)以及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，正確作出平行線(xiàn)是解題關(guān)鍵．

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