A．1B．2C．D．
【分析】根據余弦函數的周期性求解即可．
【解答】解：最小正周期，所以．
故選：．
2．下列函數中，最小正周期為的是
A．B．C．D．
【分析】由題意利用三角函數的周期性，得出結論．
【解答】解：由于函數不是周期函數，故排除；
由于函數的周期為，故不正確；
由于函數的周期為，故排除；
由于函數的周期為，故正確，
故選：．
3．若函數的最小正周期為，則
A．（2）B．（2）
C．（2）D．（2）
【分析】根據正切函數的周期公式求出的值，結合正切函數的單調性和取值符號進行比較即可．
【解答】解：函數的最小正周期為，
，得，
即，
則，，（2），
，
（2），
故選：．
4．函數的一個對稱中心是
A．B．C．D．
【分析】根據正切函數的圖象與性質，即可得出函數的一個對稱中心．
【解答】解：函數中，令，；
解得，；
所以時，的一個對稱中心是，．
故選：．
5．已知函數，，若函數的圖象關于對稱，則值為
A．B．C．D．
【分析】利用三角函數的對稱性，列出方程，結合已知條件求解即可．
【解答】解：函數，，若函數的圖象關于對稱，
可得，，，
所以，所以．
故選：．
6．已知函數的圖象關于軸對稱，則實數的取值可能是
A．B．C．D．
【分析】由題意根據正弦函數的對稱性即可求出的一個值．
【解答】解：的圖象關于軸對稱，
則，，
當時，的一個值是．
故選：．
7．關于函數，下列命題正確的是
A．存在，使是偶函數
B．對任意的，都是非奇非偶函數
C．存在，使既是奇函數，又是偶函數
D．對任意的，都不是奇函數
【分析】根據三角函數的性質，即可判斷所給命題的真假性．
【解答】解：對于，當，時，函數是偶函數，所以正確；
對于，當，時，函數是奇函數，所以錯誤；
對于，不存在，使函數既是奇函數，又是偶函數，所以錯誤；
對于，，時，函數是奇函數，所以錯誤．
故選：．
8．設函數與函數的對稱軸完全相同，則的值為
A．B．C．D．
【分析】根據題意，求出兩個函數的對稱軸，利用對稱軸完全相同，求出的值．
【解答】解：由題意，函數，
令，
對稱軸；
函數，
令，
對稱軸；
又函數與函數的對稱軸完全相同，
，．
故選：．
9．若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】求出角的范圍，結合正弦函數的單調性，建立不等式關系進行求解即可．
【解答】解：當，時，，，
要使在，上單調遞增，
則，得，得，
又，
．
故選：．
10．若函數在區(qū)間上單調遞減，且在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】利用余弦函數的單調性和零點，求得的取值范圍．
【解答】解：由，，
得，，
即函數的單調遞減區(qū)間為，，，
在區(qū)間，單調遞減，
且，
即，得，，
即，，
，
當時，，
由得，
在區(qū)間有零點，
滿足，
當時，，
得
綜上：，
故選：．
11．（多選）函數的圖象的一條對稱軸方程為
A．B．C．D．
【分析】由余弦函數的性質，令，，解得：，，討論即可求解．
【解答】解：令，，則解得：，，
當時，，當時，．
故選：．
12．（多選）以下函數在區(qū)間上為單調增函數的有
A．B．C．D．
【分析】先化簡函數的解析式，再利用三角函數的單調性，得出結論．
【解答】在區(qū)間上，由于，，故 沒有單調性，故排除；
在區(qū)間上，由于，，故 單調遞增，故滿足條件；
在區(qū)間上，由于，故沒有單調性，故排除；
在區(qū)間上，由于 故 單調遞增，故滿足條件，
故選：．
13．函數的定義域為 ．
【分析】直接根據正切函數的定義域，利用整體思想求出的定義域．
【解答】解：令，解得，
故函數的定義域為．
14．函數的周期為 ．
【分析】直接利用周期公式求解即可．
【解答】解：函數，的最小正周期是：．
故答案為：．
15．已知函數的圖象關于點，對稱，則的值是 ．
【分析】由題意利用正弦函數的圖象的對稱性，求出的值．
【解答】解：函數的圖象關于點，對稱，
，，
則，
故答案為：．
16．已知函數圖象的一個對稱中心為，一條對稱軸為，且的最小正周期大于，則 ．
【分析】首先把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步利用正弦型函數的性質的應用求出結果．
【解答】解：的最小正周期大于，
所以，解得．
函數圖象的一個對稱中心為，
所以，①，
函數的圖象的一條對稱軸為，
所以，②，
②①得：，，
整理得，
由于，
所以．
代入①得：，當時，
解得．
故答案為：．
17．已知函數．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期；
（Ⅲ）求函數的單調遞增區(qū)間．
【分析】（Ⅰ）由已知可求即可得解；
（Ⅱ）利用正弦函數的周期公式即可求解；
（Ⅲ）利用正弦函數的單調性即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由于函數，可得；
（Ⅱ）的最小正周期；
（Ⅲ）令，，可得：，，可得函數的單調遞增區(qū)間為：，，．
18．已知函數．
（1）判斷函數的奇偶性和周期性；
（2）若，求的取值集合．
【分析】（1）由題意利用正弦函數的奇偶性和周期性，得出結論．
（2）分類討論，結合正弦函數的圖象，求得的值．
【解答】解：（1）因為，所以是奇函數，
又因為，所以函數的周期是．
（2）由（1）知函數的周期是，當時，，
，，，，所以，；
當時，，
，，，，所以，；
當時，，
，，，等式不成立；
當時，，
，，，等式不成立；
綜上，滿足的的取值集合是．
19．在①，②恒成立，③的圖象關于點，中心對稱這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．若問題中的存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．
設函數，， 是否存在，使得函數在，上是單調的？
【分析】根據三角函數的圖象、單調性、最值和對稱性來計算即可得出結論．
【解答】解：①，，
，．此時．
當，
要使得函數在，上是單調的，，．
，．
②恒成立，．
，．此時．
，，，
要使得函數在，上是單調的，，．
，．
③的圖象關于點，中心對稱，
，，，．此時．
，，．
要使得函數在，上是單調的，，．
，．．
故答案為：①．②．③．
[B組]—強基必備
1．對于已知函數，若存在實數，，，，滿足，且，，，則的最小值為
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據余弦函數的性質可知，故而當時，取得最小值．
【解答】解：：，
，，2，，
要使取得最小，
則只需要最大，此時，
且在，上只有4對實數，使得，
此時令，，2，3，，5，則．
故的最小值為5．
故選：．
2．函數的圖象與其對稱軸在軸右側的交點從左到右依次記為，，，，，，在點列中存在三個不同的點、、，使得△是等腰直角三角形，將滿足上述條件的值從小到大組成的數記為，則 ．
【分析】令，可求對稱軸方程，進而可求，，，的坐標，由△是等腰直角三角形可知直線的斜率之積為可求，進而可求的值．
【解答】解：由，得，，
由題意得，，，，，
即，，，，，，，，
由△是等腰直角三角形，
得，
即，得，
同理△是等腰直角三角形得，得．
同理△是等腰直角三角形得，得從而有．
則，

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