2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測第26講解三角形應(yīng)用舉例（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理，不難求出的長，即隧道的長．
【解答】解：在中，
由已知得，，且，
故
，故．
故選：．
2．如圖，在中，．是邊上的高，若，則的面積為
A．4B．6C．8D．12
【分析】直接利用三角形的面積公式以及余弦定理，勾股定理化簡求解即可．
【解答】解：
．
故選：．
3．如圖，要測量底部不能到達(dá)的某鐵塔的高度，在塔的同一側(cè)選擇、兩觀測點(diǎn)，且在、兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為、．在水平面上測得，、兩地相距，則鐵塔的高度是
A．B．C．D．
【分析】設(shè)出，則，均可用表達(dá)，進(jìn)而在中，由余弦定理和，的值列方程求得，即的長．
【解答】解：設(shè)，則，，
在中，由余弦定理知，
求得米，
故鐵塔的高度為600米．
故選：．
4．在中，，是的平分線，交于，，，則
A．2B．C．D．
【分析】先由二倍角公式求得，進(jìn)而由平方關(guān)系得到，再在中，運(yùn)用正弦定理即可求得的值．
【解答】解：是的平分線，，
，
由題意知，為銳角，
，
，
在中，由正弦定理可得，，
．
故選：．
5．在中，，，，則邊上的高為
A．B．2C．D．
【分析】先利用平方關(guān)系求得，再由及正弦定理可求得，最后由等面積法求得邊長的高．
【解答】解：，
，
，
由正弦定理有，，即，解得，
，即，
，即邊上的高為．
故選：．
6．如圖，為測量某公園內(nèi)湖岸邊，兩處的距離，一無人機(jī)在空中點(diǎn)處測得，的俯角分別為，，此時(shí)無人機(jī)的高度為，則的距離為
A．
B．
C．
D．
【分析】利用正弦定理求出，再結(jié)合選項(xiàng)化簡即可得出答案．
【解答】解：如圖所示，
由題意作，可得，，，則，，
在中，，
在中，，，
由正弦定理，
解得；
又
，
又，且、，
所以，
所以．
故選：．
7．平面四邊形為凸四邊形，且，，，，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【分析】做出圖形，可知，當(dāng)時(shí)，最?。谎娱L與，相交于，此時(shí)最大（但取不到）；利用解三角形的知識求解即可．
【解答】解：做出圖形：如圖所示，點(diǎn)在邊上移動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小為；將與延長后交于點(diǎn)，易知，．
在中，，，，故，．
，．
．．
在中，由余弦定理得，
即，解得（舍，
所以，故．
故的取值范圍是．
故選：．
8．平面四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為
A．B．C．D．
【分析】由已知利用余弦定理可得：，，可求，在中，由余弦定理可得，解得的值，根據(jù)三角形的面積公式可求四邊形的面積的值．
【解答】解：如圖，，，，，
，
在中，由余弦定理，
可得：，
整理解得：，可得：，
可得：，
由于
在中，由余弦定理，
可得：，可得：，
解得：，或舍去，
則四邊形的面積
．
故選：．
9．（多選）在中，在線段上，且，，若，，則
A．B．的面積為8
C．的周長為D．為鈍角三角形
【分析】由已知結(jié)合余弦定理余弦定理，同角平方關(guān)系及三角形的面積公式分別判斷各選項(xiàng)即可．
【解答】解：由可得，故錯(cuò)誤；
設(shè)，，
在中由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，即，，
所以，故正確；
由余弦定理可知，，
即，解可得，，故周長，故正確；
由余弦定理可得，，
故為鈍角，正確，
故選：．
10．（多選）如圖，設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若、、成等比數(shù)列，、、成等差數(shù)列，是外一點(diǎn)，，，下列說法中，正確的是
A．
B．是等邊三角形
C．若、、、四點(diǎn)共圓，則
D．四邊形面積無最大值
【分析】對于，因?yàn)椤?、成等差?shù)列，所以，，故正確；
對于，因?yàn)?、、成等比?shù)列，利用及余弦定理計(jì)算可知，進(jìn)而可知，故正確；
對于，若、、、四點(diǎn)共圓，則，根據(jù)余弦定理可得，代入計(jì)算可得，故正確；
對于，等邊中，設(shè)，，在中，由余弦定理可得：，利用四邊形面積表達(dá)式得到最值，故錯(cuò)誤．
【解答】解：對于，因?yàn)椤?、成等差?shù)列，
所以，則．解得，故正確；
對于，因?yàn)?、、成等比?shù)列，則，
由余弦定理可得，帶入得，即，所以，故正確；
對于，若、、、四點(diǎn)共圓，則，故，
根據(jù)余弦定理可得，代入計(jì)算可得，解得，故正確；
對于，等邊中，設(shè)，，
在中，由余弦定理可得：，由于，，
代入上式可得：，
所以，
所以四邊形面積的最大值為，故錯(cuò)誤．
故選：．
11．一漁船在處望見正北方向有一燈塔，在北偏東方向的處有一小島，漁船向正東方向行駛2海里后到達(dá)處，這時(shí)燈塔和小島分別在北偏西和北偏東的方向，則燈塔和小島之間的距離為海里．
【分析】根據(jù)條件求出題中所涉及到的角，再根據(jù)正弦定理分別求出，，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意畫出圖形，如圖所示；
在中，，，所以；
在中，，，所以，
由正弦定理得，所以；
在中，，，，
所以，
所以，
即、兩島之間的距離是海里．
故答案為：．
12．在中，，，，則，．
【分析】由已知利用正弦定理即可解得的值，根據(jù)余弦定理可得，解得的值，由正弦定理可得的值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．
【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
在中，由余弦定理，可得，
整理可得：，解得，負(fù)值舍去，
由正弦定理，可得，
．
故答案為：，．
13．一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形，在點(diǎn)，處各放一個(gè)目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)處，通過擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)，處的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)處，若，，，，則該正方形的邊長為．
【分析】連接、，利用余弦定理求出，由正弦定理求出，從而求出，再求和邊長的值．
【解答】解：連接、，如圖所示，
中，由余弦定理得，，
解得；
由正弦定理得，，解得，
所以，
所以，
中，由余弦定理得，，
解得，
所以該正方形的邊長為．
故答案為：．
14．在中，，以為邊在平面內(nèi)向外作正方形，使，在的兩側(cè)．
（1）當(dāng)時(shí)，；
（2）的最大值為．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得的正弦值為1，可得，可得為等腰直角三角形，在中由余弦定理可得的值；
（2）設(shè)，在中，由余弦定理可得的表達(dá)式，在中，設(shè)，由余弦定理可得的表達(dá)式，在中，由正弦定理可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)最大，求出最大值．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，在中，根據(jù)正弦定理可得，
所以，則，所以，，
由余弦定理得，
則；
（2）在中，設(shè)，
由余弦定理，
在中，設(shè)，，，所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
所以當(dāng)，即時(shí)最大為8，即，
所以的最大值為，
故答案分別為：，
15．已知是底部不可到達(dá)的建筑物，是建筑物的最高點(diǎn)，為測量建筑物的高度，先把高度為1.5米的測角儀放置在位置，測得的仰角為，再把測角儀放置在位置，測得的仰角為，已知米，，，在同一水平線上，求建筑物的高度．
【分析】利用正弦定理求得，再求出，即可求得的值．
【解答】解：中，由正弦定理得，
（米；
在中，；
；
所以，
即建筑物的高度為米．
故答案為：．
16．中，、、分別是角、、的對邊，已知，，是邊的中點(diǎn)且．
（1）求的值；
（2）求的面積．
【分析】（1）由正弦定理求出，再利用三角恒等變換求出的值；
（2）由（1）知，求出，利用求出的值，再求的面積．
【解答】解：（1）中，，，
所以，
即，解得；
由，得；
所以；
；
（2）由（1）知，所以，
所以；
又，
所以，
即，
解得，所以舍去）；
所以，
所以的面積為．
17．在①，②，③這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解．
在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，滿足____．
（1）請寫出你的選擇，并求出角的值；
（2）在（1）的結(jié)論下，已知點(diǎn)在線段上，且，求長．
【分析】（1）依次代入條件①②③，可得①②不成立，故只能選③；
（2）由（1）結(jié)論再結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而得到，結(jié)合兩角和差公式得到，利用正弦定理得到．
【解答】解：（1）若選條件①，則有，不合題意；
若選條件②，由余弦定理可得，整理得，
又因?yàn)榇藭r(shí)，不符合題意；
若選條件③，由余弦定理可得，即，
所以，
則，
因?yàn)?，所以?br>故（1）答案選：③；
（2）由（1）的，
因?yàn)?，則，
，
在中，因?yàn)椋?br>則．
18．在平面四邊形中，．
（1）若，求；
（2）若，求．
【分析】（1）解直角三角形求得，，由題意可得為邊長為2的等邊三角形，在中，運(yùn)用余弦定理計(jì)算可得所求值；
（2）設(shè)，則，，則，在直角三角形中．求得，在中，運(yùn)用正弦定理，結(jié)合二倍角公式，計(jì)算可得所求值．
【解答】解：（1）如右圖，，，
可得，
在直角三角形中，，，
可得為邊長為2的等邊三角形，
在中，，可得；
（2）如右圖，設(shè)，則，，則，
在直角三角形中，，
在中，由正弦定理可得，
即，
化簡可得，
即．
19．如圖，某市三地，，有直道互通．現(xiàn)甲交警沿路線、乙交警沿路線同時(shí)從地出發(fā)，勻速前往地進(jìn)行巡邏，并在地會(huì)合后再去執(zhí)行其他任務(wù)．已知，，，甲的巡邏速度為，乙的巡邏速度為．
（Ⅰ）求乙到達(dá)地這一時(shí)刻的甲、乙兩交警之間的距離；
（Ⅱ）已知交警的對講機(jī)的有效通話距離不大于，從乙到達(dá)地這一時(shí)刻算起，求經(jīng)過多長時(shí)間，甲、乙方可通過對講機(jī)取得聯(lián)系．
【分析】由題意設(shè)當(dāng)乙到達(dá)地時(shí)甲處在點(diǎn)，利用余弦定理求得的值即可；
設(shè)乙到達(dá)地后，經(jīng)過小時(shí)，甲、乙兩交警之間的距離為，根據(jù)題意求出的解析式，利用求得的取值范圍，從而求得結(jié)果．
【解答】解：由，，，知，．
設(shè)當(dāng)乙到達(dá)地時(shí)，甲處在點(diǎn)，則；
所以在中，由余弦定理得：
，
解得；
即此時(shí)甲、乙兩交警之間的距離為．
設(shè)乙到達(dá)地后，經(jīng)過小時(shí)，甲、乙兩交警之間的距離為，
在，
乙從地到達(dá)地，用時(shí)小時(shí)，甲從處到達(dá)地，用時(shí)小時(shí)，
所以當(dāng)乙從地到達(dá)地，此時(shí)，甲從處行進(jìn)到點(diǎn)處，且，
所以當(dāng)；
令，即，；
解得或（舍去）；
又當(dāng)時(shí)，甲、乙兩交警間的距離為，
因?yàn)榧?、乙間的距離不大于時(shí)方可通過對講機(jī)取得聯(lián)系；
所以從乙到達(dá)地這一時(shí)刻算起，經(jīng)過小時(shí)，甲、乙可通過對講機(jī)取得聯(lián)系．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則周長的取值范圍為
A．B．C．，D．，
【分析】由銳角三角形求得，由正弦定理可得，求出，關(guān)于的函數(shù)，運(yùn)用余弦函數(shù)的大小，可得所求范圍．
【解答】解：銳角可得，即，
，而，
可得，
由正弦定理可得，
可得，
，
則
，
由，可得，
即有時(shí)，可得，
時(shí)，可得，
則的范圍是，．
故選：．
2．（多選）已知中，，，，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)下列結(jié)論正確的是
A．
B．的面積為
C．
D．在的外接圓上，則的最大值為
【分析】利用余弦定理計(jì)算，利用余弦定理計(jì)算，根據(jù)面積公式計(jì)算三角形的面積，利用正弦定理計(jì)算，設(shè)，用表示出，，得出關(guān)于的三角函數(shù)，從而得到的最大值．
【解答】解：在三角形中，由余弦定理，
，故，故錯(cuò)誤；
在中，由余弦定理得：，
，故正確；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，故，故正確；
，，，，
，
為的外接圓的直徑，故的外接圓的半徑為1，
顯然當(dāng)取得最大值時(shí)，在優(yōu)弧上．
故，設(shè)，則，，
，
，，
，其中，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，故正確．
故選：．
3．已知的角，，所對的邊分別是，，，且滿足．
（1）證明：，，成等差數(shù)列；
（2）如圖，若，點(diǎn)是外一點(diǎn)，設(shè)，，求平面四邊形面積的最大值．
【分析】（1）利用和與差化簡，結(jié)合正弦定理邊化角，即可證明．
（2）利用任意三角形面積公式，結(jié)合表示平面四邊形面積，利用三角函數(shù)的有界限求解最大值．
【解答】（1）證明：由．
可得：
即
由正弦定理：，
故得，，成等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知，，則．
是等邊三角形．
由題意，，
則．
余弦定理可得：
則．
故四邊形面積．
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為
故平面四邊形面積的最大值為．

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