A．2B．4C．6D．8
【分析】直接利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：拋物線y2＝8x，那么其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是：4．
故選：B．
2．已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（ ）
A．2B．3C．6D．9
【分析】直接利用拋物線的性質(zhì)解題即可．
【解答】解：A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，
因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，
故有：9+＝12?p＝6；
故選：C．
3．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線（ ）
A．經(jīng)過點(diǎn)OB．經(jīng)過點(diǎn)P
C．平行于直線OPD．垂直于直線OP
【分析】不妨設(shè)拋物線的方程為y2＝4x，不妨設(shè)P（1，2），可得可得四邊形QAFP為正方形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直可得答案．
【解答】解：不妨設(shè)拋物線的方程為y2＝4x，則F（1，0），準(zhǔn)線為l為x＝﹣1，
不妨設(shè)P（1，2），
∴Q（﹣1，2），
設(shè)準(zhǔn)線為l與x軸交點(diǎn)為A，則A（﹣1，0），
可得四邊形QAFP為正方形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直，
故可得線段FQ的垂直平分線，經(jīng)過點(diǎn)P，
故選：B．
4．設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A為拋物線C上第一象限上的點(diǎn)，B為l上一點(diǎn)，滿足，則直線AB的斜率為（ ）
A．B．C．3D．
【分析】作出圖形，根據(jù)拋物線的定義及已知條件可得直線AB的斜率，進(jìn)而得解．
【解答】解：作出圖形，過點(diǎn)A作AD⊥直線l，垂足為D，由拋物線的定義可知，|AD|＝|AF|，設(shè)|AF|＝m，
∵，
∴|FB|＝2|AF|＝2m，
∴，
設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則，
∴直線AB的斜率為．
故選：D．
5．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（p，0）且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，若|AF|＝1，則拋物線C的方程為（ ）
A．B．y2＝2xC．y2＝3xD．y2＝4x
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出A的坐標(biāo)，利用|AF|＝1，求解p，然后推出拋物線方程．
【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），過點(diǎn)（p，0）且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A（p，p），
因?yàn)閨AF|＝1，所以，
解得p＝．
拋物線C的方程為．
故選：A．
6．焦點(diǎn)為F的拋物線C：y2＝4x的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P在拋物線C上，在△EFP中，sin∠EFP＝sin∠FEP，則|EP|的值是（ ）
A．B．4C．2D．1
【分析】設(shè)PE的傾斜角為α，利用已知條件求出α的大小，判斷PHEF的形狀，然后求解即可．
【解答】解：過P（x軸上方）作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，
則由拋物線的定義可得|PF|＝|PH|，由sin∠EFP＝?sin∠FEP，
則△PFE中由正弦定理可知：則|PE|＝|PF|，
∴|PE|＝|PH|，
設(shè)PE的傾斜角為α，則csα＝＝＝，
α＝，四邊形PHEF是正方形，
所以：|PE|＝2．
故選：A．
7．已知第四象限內(nèi)拋物線y2＝16x上的一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離的，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ）
A．（1，﹣8）B．（1，﹣4）C．D．
【分析】由拋物線的性質(zhì)，可知焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出P的橫坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為x＝﹣4，設(shè)P的橫坐標(biāo)為x0，
第四象限內(nèi)拋物線y2＝16x上的一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離的，
則，所以x0＝1，
所以y0＝﹣4，所以M（1，﹣4）．
故選：B．
8．拋物線y＝的焦點(diǎn)到圓C：x2+y2﹣6x+8＝0上點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．6B．2C．D．
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)為F（0，4），圓的圓心坐標(biāo)與半徑，然后求出F到圓C上點(diǎn)的距離的最大值．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為F（0，4），
圓x2+y2﹣6x+8＝0的圓心為C（3，0），半徑r＝1，
F到圓C上點(diǎn)的距離的最大值為．
故選：A．
9．過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線AB與拋物線C的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)D，AA1⊥l于A1，若△AA1D的面積等于，則p＝（ ）
A．B．2C．D．4
【分析】分別求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出|BF|＝t，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，過B作BN⊥l于N，運(yùn)用拋物線的定義和三角形相似的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值．
【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣，
設(shè)|BF|＝t，由，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，
過B作BN⊥l于N，可得|BN|＝|BF|＝t，
又|AA1|＝|AF|＝3t，
在△AA1D中，＝，
即為＝，可得|BD|＝2t，
在△DMF中，＝，即為＝，
解得p＝t，
又△AA1D的面積等于，可得?3t?＝8，解得t＝，
則p＝×＝2．
故選：B．
10．若點(diǎn)A為拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，|AF|＝5，點(diǎn)P為直線x＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為（ ）
A．8B．C．D．
【分析】求出點(diǎn)A為（4，4），畫出圖形，利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：由題意可知，p＝2，F(xiàn)（1，0），由拋物線的定義可知，，
∴xA＝4，代入拋物線方程，得，不妨取點(diǎn)A為（4，4），
設(shè)點(diǎn)F關(guān)于x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)為E，則E（﹣3，0），
∴|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|＝，
故選：D．
11．（多選）已知拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0）
B．若直線MN過點(diǎn)F，則x1x2＝﹣
C．若＝，則|MN|的最小值為
D．若|MF|+|NF|＝，則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷A，利用拋物線的性質(zhì)，通過x1x2＝﹣，判斷B；根據(jù)拋物線的通徑，判斷C；通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解判斷D即可．
【解答】解：拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F（0，），所以A不正確；
根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得：MN過F時(shí)，則x1x2＝﹣，所以B正確；
若＝，則|MN|的最小值為拋物線的通徑長，為2p＝，所以C正確；
拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線方程為y＝，
過點(diǎn)M、N、P分別作準(zhǔn)線的垂線MM′，NN′，PP′，
則|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，|MM′|+|NN′|＝|MF|+|NF|＝，
所以|PP′|＝＝，
所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP′|﹣＝＝，所以D正確；
故選：BCD．
12．（多選）已知直線l過拋物線C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若線段MN的長是16，MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是6，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．拋物線C的方程是y2＝﹣8x
B．拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝2
C．直線l的方程是x﹣y+2＝0
D．△MON的面積是
【分析】設(shè)M，N的坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，可得|MN|的表達(dá)式，再由MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是6可得M，N的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而可得p的值，求出拋物線的方程，及準(zhǔn)線方程，可判斷A正確B不正確，進(jìn)而求出直線l的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出三角形MON的面積，可判斷所給命題的真假．
【解答】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由拋物線的定義可得|MN|＝﹣（x1+x2）+p＝16，
又因?yàn)镸N的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是6，所以|x1+x2|＝12，所以x1+x2＝﹣12，
所以p＝4，所以拋物線的方程為：y2＝﹣8x，所以A正確，
準(zhǔn)線方程為x＝2，所以B不正確；
設(shè)直線l的方程x＝my﹣2，
聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得y2+8my﹣16＝0，y1+y2＝﹣8m，所以x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝﹣8m2﹣4＝﹣12，
解得m＝±1，所以l的方程為：x＝±y﹣2，所以C不正確；
S△MON＝|OF|?|y1﹣y2|＝＝＝8，所以D正確；
故選：AD．
13．斜率為的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝ ．
【分析】由題意求出直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用拋物線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：由題意可得拋物線焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為y＝（x﹣1），
代入y2＝4x并化簡得3x2﹣10x+3＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝；
x1x2＝1，
∴由拋物線的定義可得|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．
故答案為：．
14．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（1，1）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若M恰好為AB的中點(diǎn)，則|AF|+|BF|＝ ；直線AB的斜率為 ．
【分析】過點(diǎn)A，B，M分別作準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足分別為A1，B1，M1，通過梯形中位線定理，結(jié)合拋物線的定義，得到關(guān)系式，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法求解直線AB的斜率即可．
【解答】解：過點(diǎn)A，B，M分別作準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|＝2；
根據(jù)梯形中位線定理，得|AA1|+|BB1|＝4．
根據(jù)拋物線的定義，得|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝4．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝2，
由，，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
則直線AB的斜率為．
故答案為：4；2．
15．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，若斜率為2的直線l過點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ．
【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，然后求解準(zhǔn)線方程，求出線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求解即可．
【解答】解：拋物線C：y2＝8x，可得準(zhǔn)線方程為：x＝﹣2，過點(diǎn)F（2，0）且斜率2的直線l：y＝2（x﹣2），
由題意可得：，可得x2﹣6x+4＝0，
直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：3，
則線段AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為：3+2＝5．
故答案為：5．
16．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P（3，m）是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P向拋物線C的準(zhǔn)線引垂線，垂足為D，若△PDF為等邊三角形，則p＝ ．
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出P、Q坐標(biāo)，再由拋物線的定義，結(jié)合等邊三角形的定義，得到的方程，可得p的值．
【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0），焦點(diǎn)為F（，0），準(zhǔn)線為l：x＝﹣，
P（3，m）是拋物線上一點(diǎn)，則m2＝6p，
由題意可得D（﹣，m），
由于△PFD為等邊三角形，則有|PF|＝|PD|＝|FD|，
即有：3+＝2p，可得p＝2．
故答案為：2．
17．已知拋物線C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩不同點(diǎn)，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，且M的橫坐標(biāo)為2，則弦長|AB|＝ ．
【分析】由橢圓方程求得F的坐標(biāo)，并求得p，設(shè)直線AB的方程為y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用導(dǎo)數(shù)寫出拋物線在A，B處的切線方程，結(jié)合已知求得A，B的橫坐標(biāo)的和，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得k，進(jìn)一步求出A，B的縱坐標(biāo)的和，再由拋物線的弦長公式求|AB|．
【解答】解：由題意可得，F(xiàn)（0，﹣2），則p＝4，拋物線方程為x2＝﹣8y．
設(shè)直線AB的方程為y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），
其中，，由，得y′＝﹣．
∴在點(diǎn)A處的切線方程為，化簡得y＝，①
同理可得在點(diǎn)B處的切線為，②
聯(lián)立①②得，由M的橫坐標(biāo)為2，得x1+x2＝4．
將AB的方程代入拋物線方程，可得x2+8kx﹣16＝0．
∴x1+x2＝﹣8k＝4，得k＝﹣．
∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝．
得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣6）＝10．
故答案為：10．
18．過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與圓（x﹣1）2+y2＝1交于C，D兩點(diǎn)，（從下至上依次為A，C，D，B）．若|BD|＝2|CA|+1，則直線l的斜率k為 ．
【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），k＞0，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義和已知條件，解方程可得直線的斜率k．
【解答】解：拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，
設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），k＞0，
設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，
由可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
即有x1+x2＝2+，x1x2＝1（x1＜x2）①，
圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心為F，半徑為1，
可得|BD|＝|BF|﹣1＝x2+1﹣1＝x2，|AC|＝|AF|﹣1+1＝x1+1﹣1＝x1，
由題意可得x2＝2x1+1②，
由①②可得x1＝，x2＝2，k＝2，
故答案為：2．
19．以拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F為圓心，p為半徑作圓交y軸于A，B兩點(diǎn)，連接FA交拋物線于點(diǎn)D（D在線段FA上），延長FA交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，則|FD|?|CD|的最大值為 ．
【分析】由題意得到以F為圓心，P為半徑的圓的方程，再令A(yù)為y軸正半軸上的點(diǎn)，從而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線AF的方程，分別與拋物線的準(zhǔn)線方程、拋物線方程聯(lián)立求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可用p表示出|FD|?|CD|，再由|AD|＝m，且m∈[1，2]，求出p的范圍，即可得出結(jié)果．
【解答】解：由題意可得拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣，
所以以F為圓心，p為半徑的圓的方程為+y2＝p2，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為圓+y2＝p2與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，不妨令A(yù)為y軸正半軸上的點(diǎn)，
由x＝0得，A（0，）；
所以直線AF的斜率為kAF＝＝﹣，因此直線AF的方程為y＝﹣x+，
由得C（﹣，p）；
由得D（，），
所以|FD|＝+＝，|CD|＝＝p，
|AD|＝＝p，
又|AD|＝m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，
因此|FD|?|CD|＝p2≤32，當(dāng)且僅當(dāng)p＝6時(shí)，取等號(hào)．
故答案為：32．
20．已知拋物線y2＝x與直線y＝k（x﹣1）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當(dāng)S△AOB＝時(shí)，求k的值．
【分析】（1）將直線AB的方程代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（2）求得弦長AB，以及點(diǎn)O到直線AB的距離，運(yùn)用三角形的面積公式，解方程即可得到所求k的值．
【解答】解：（1）證明：將直線y＝k（x﹣1）代入拋物線的方程y2＝x，
消去y可得，k2x2﹣（2k2+1）x+k2＝0，
判別式為（2k2+1）2﹣4k4＝4k2+1＞0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，
y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2（x1x2+1﹣x1﹣x2）
＝k2（1+1﹣2﹣）＝﹣1，
即有x1x2+y1y2＝0，則?＝0，
即有OA⊥OB；
（2）由（1）可得|AB|＝?
＝?，
點(diǎn)O到直線AB：y＝k（x﹣1）的距離為d＝，
則S△AOB＝d?|AB|＝???
＝＝，
解得k＝±．
21．已知點(diǎn)A（0，1），B（1，2），C是拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求△ABC周長的最小值；
（2）若C位于直線AB右下方，求△ABC面積的最大值．
【分析】（1）由拋物線的方程可得A為拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)可得C到A的距離等于到準(zhǔn)線的距離，過C作準(zhǔn)線的垂線，要使三角形ABC的周長最小，則過B作準(zhǔn)線的垂線，則最小周長為AB與B到準(zhǔn)線之和；
（2）要使三角形ABC的面積最大，則C在平行與直線AB且與拋物線相切的直線上，設(shè)切線方程，與拋物線聯(lián)立由判別式為0，求出過C的切線方程，兩條平行線的距離為C到直線AB 的距離，再由面積公式可得面積的最大值．
【解答】解：（1）由拋物線的方程x2＝4y可得焦點(diǎn)F坐標(biāo)（0，1），與A重合，準(zhǔn)線方程為：y＝﹣1
所以△ABC的周長為：AB+BC+AC，過C作CM垂直于準(zhǔn)線于D，則AC＝CD，
所以周長為：AB+BC+CD≥AB+BD，當(dāng)B，C，D在一條直線上時(shí)，周長最小，過B作準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M，交準(zhǔn)線于D，這時(shí)M與C重合，
而AB＝＝，BD＝2+1＝3
所以周長的最小值為AB+BD＝3+，
（2）直線AB所在的直線方程為：y＝x+1，即y＝x+1，
設(shè)過C與直線AB平行，且與拋物線相切時(shí)C到直線AB 的距離最大，
設(shè)過C的切線方程為：y＝x+b，由題意b＜1，
聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：x2﹣4x﹣4b＝0，
則△＝16+16b＝0，解得b＝﹣1，
所以過C的切線方程為：y＝x﹣1，
所以兩條平行線間的距離d＝＝，即C到直線AB的距離為，
所以S△ABC＝|AB|?d＝＝1，
所以三角形ABC的最大面積為1．
22．已知拋物線C：x2＝4y，過點(diǎn)D（0，2）的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩切線相交于點(diǎn)P．
（1）記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，證明k1，k2為定值；
（2）記△PAB的面積為S△PAB，求S△PAB的最小值．
【分析】（1）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，．利用拋物線方程求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化證明即可．
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），求出切線PA的方程，切線PB的方程，求出|AB|，點(diǎn)P到直線AB的距表示三角形的面積，求解S△PAB的最小值．
【解答】（1）證明：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在曲線x2＝4y上，故設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，．
因?yàn)?，所以，則，．
設(shè)直線l的斜率為k，則其方程為y＝kx+2，由得x2﹣4kx﹣8＝0，△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
所以，所以k1k2為定值．
（2）解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由（1）知切線PA的方程為①
切線PB的方程為②，
①﹣②得；
①×x2﹣﹣②×x1得．
由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2k，﹣2），
所以＝．
因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AB的距離．
所以．
因?yàn)閗2+2≥2，所以當(dāng)k＝0時(shí)，S△PAB的最小值為．
23．已知A（1，2）為拋物線y2＝2px（p＞0）上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)為拋物線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)．
（1）求直線EF的斜率；
（2）設(shè)直線l過點(diǎn)M（m，0）并交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，且＝（λ＞0），直線x＝﹣m與x軸交于點(diǎn)N，試探究與﹣的夾角是否為定值，若是則求出定值，若不是，說明理由．
【分析】（1）由A在拋物線上，可得p的值，求出拋物線的方程，設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，可得直線AE，AF的斜率，由題意可得E，F(xiàn)坐標(biāo)的關(guān)系，再由點(diǎn)差法可得EF的斜率；
（2）由題意設(shè)直線l的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出向量，，再由題意可得λ的值，可求得，所以與的夾角為．
【解答】解：（1）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），
因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）為拋物線y2＝2px（p＞0）上的一點(diǎn)，所以y2＝4x，
同時(shí)，有，，
，，
因?yàn)橹本€AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，
即即y1+y2＝﹣4，
故；
（2）設(shè)直線l的方程為l：x＝ty+m，P（x3，y3），Q（x4，y4），N（﹣m，0），
代入y2＝4x得y2﹣4ty﹣4m＝0，
所以y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4m，
因?yàn)椋遥?br>所以，
由題可知，由題可知，＝（x3+m，y3）﹣λ（x4+m，y4）＝（x3+m﹣λ（x4+m），y3﹣λy4）
＝（+m﹣λ（+m），y3﹣λy4），
又因?yàn)?m﹣λ（+m）＝+m+（+m）＝+m++＝+m﹣m＝＝0，
所以，
又所以，
所以即與的夾角為．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交y軸的正半軸于點(diǎn)B，且A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，另有直線l′∥l，且l′與拋物線C相切于點(diǎn)D，則直線AD經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）
【分析】設(shè)A（m，m2），B（0，n），根據(jù)A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，可得n＝m2+2，再根據(jù)直線的斜率公式可得直線與直線和平行，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得a＝﹣，求出直線AD的方程，即可求出直線AD經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：設(shè)A（m，m2），B（0，n），
∵拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（0，1）
又A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，
∴|BF|＝|AF|
∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2
∴直線l的斜率k＝＝﹣
∵直線l′∥l，∴直線l′的斜率為k，
設(shè)點(diǎn)D（a，a2），
∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣
∴直線AD的斜率為＝＝＝，
∴直線AD的方程為y﹣m2＝（x﹣m），
整理可得y＝x+1，
故直線AD經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），
故選：A．
2．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰為拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)F，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為M，過F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若以線段BM為直徑的圓過點(diǎn)A，則|AB|＝ ．
【分析】求出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線求出拋物線方程，設(shè)出A（x1，y1），B（x2，y2）和AB的方程，結(jié)合圓的性質(zhì)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的弦長公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：如圖所示，
由橢圓的方程可得a＝2，b＝，
∴c＝═1．可得上焦點(diǎn)F（0，1）．
又恰為拋物線x2＝2py的焦點(diǎn)F，
∴＝1，解得p＝2．
∴拋物線方程為：x2＝4y．拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，
可得M（0，﹣1）．
由題意可知：直線AB的斜率存在且不為0．
設(shè)直線AB的方程為：y＝kx+1，（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
將y＝kx+1代入x2＝4y得，化為x2﹣4kx﹣4＝0．
△＝16k2+16k＞0．得k＞0
則x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
若以線段BM為直徑的圓過點(diǎn)A，
∵AB⊥AM，∴k?＝﹣1，即k?＝﹣1
得x1＝，y1＝kx1+1＝．即A（，．），
A在拋物線x2＝4y．∴（）2＝4?．，
化為k4+k2﹣1＝0，解得k2＝，
∴|AB|＝y(tǒng)1+y2+2＝k（x1+x1）+4＝4+4k2＝2+2．
故答案為：2+2．
3．已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)F2（2，0），并且與圓相外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過動(dòng)點(diǎn)P作直線與曲線3x2﹣y2＝0交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求|OA|?|OB|的值；
（3）過點(diǎn)F2的直線l1與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)D（﹣1，0），直線ED交l于點(diǎn)M，求證：直線FM經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）兩圓外切轉(zhuǎn)化為，動(dòng)點(diǎn)P和圓心距離|PF1|＝r+2，和圓上點(diǎn)|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，滿足雙曲線定義，即可得曲線C方程為雙曲線右支；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，化簡曲線3x2﹣y2＝0，設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到m，n等式，化簡即可得值；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)k不存在時(shí)，分別求出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到FM方程；當(dāng)k存在時(shí)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得到關(guān)系式，證明關(guān)系式kFN＝kNM，可得直線過定點(diǎn)（1，0）．
【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），動(dòng)圓的半徑為r，
圓的圓心F2（﹣2，0），半徑為2，
由題意可得|PF1|＝r+2，|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，
可得P的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，可得a＝1，c＝2，b＝，
即曲線C的方程為（x≥1）；
（2）證明：設(shè)P（x0，y0），即有x02﹣＝1，
曲線3x2﹣y2＝0即為y＝x和y＝﹣x，
設(shè)A（m，m），B（n，﹣n），
由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n＝2x0，m﹣n＝2y0，
解得m＝x0+y0，n＝x0﹣y0，
則|OA|?|OB|＝2|m|?2|n|＝4|mn|＝4|（x0+y0）（x0﹣y0）|
＝4|x02﹣y02|＝4為定值．
|OA|?|OB|＝4；
（3）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，l1：x＝2 可知E（2，3），F(xiàn)（2，﹣3），
∵D（﹣1，0），所以直線ED：，
M（），所以直線FM： 即 y＝﹣3（x﹣1）
所以直線恒過（1，0）；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，l1：y＝k（x﹣2），
聯(lián)立雙曲線方程，消去y，可得 （3﹣k2）x2+4k2x﹣4k3﹣3＝0，
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）
根據(jù)韋達(dá)定理可得 ，
則直線ED的方程為，當(dāng)x＝時(shí)，y＝，M（）
設(shè)點(diǎn)N（1，0），若FM過定點(diǎn)N，則兩直線斜率相等．
即kFN＝kMN，
，
，
所以FM恒過定點(diǎn)N（1，0），
∴綜上所述，直線FM恒過定點(diǎn)（1，0）．

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