A．a(chǎn)2＝2b2B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2bD．3a＝4b
【分析】由橢圓離心率及隱含條件a2＝b2+c2得答案．
【解答】解：由題意，，得，則，
∴4a2﹣4b2＝a2，即3a2＝4b2．
故選：B．
2．以橢圓的長軸端點(diǎn)作為短軸端點(diǎn)，且過點(diǎn)（﹣4，1）的橢圓的焦距是（ ）
A．16B．12C．8D．6
【分析】求出橢圓短軸的端點(diǎn)坐標(biāo)（0，±3），從而可以設(shè)出所求橢圓方程，結(jié)合它經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，1）列出關(guān)于a2的等式，然后求解橢圓的焦距．
【解答】解：以橢圓的長軸端點(diǎn)作為短軸端點(diǎn)（0，±3），
因此可設(shè)所求的橢圓方程為，
∵經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，1），
∴＝1，解之得a2＝18，a＝3，b＝3，則c＝3，
因此，所求橢圓的焦距為6．
故選：D．
3．已知橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．±2B．C．D．±3
【分析】利用橢圓的離心率，列出方程求解m即可．
【解答】解：橢圓的離心率為，
可得＝，
解得m＝．
故選：B．
4．過點(diǎn)（2，），焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓+＝1有相同的離心率的橢圓方程為（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【分析】設(shè)出橢圓方程，利用點(diǎn)在橢圓上，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓+＝1有相同的離心率的橢圓方程+＝λ（λ＞0），
把點(diǎn)（2，）代入橢圓方程，
可得：λ＝2，
所求橢圓方程為：+＝1．
故選：D．
5．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c＞0，C的長軸長為2a，過F1的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，4|BF2|＝5|AB|，則|AF2|＝（ ）
A．B．a(chǎn)C．D．a(chǎn)
【分析】設(shè)出橢圓方程，利用已知條件，結(jié)合橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：由題意設(shè)橢圓方程為：（a＞b＞0），連接AF2，
如圖所示：∵|AF1|＝3|BF1|，則|BA|＝4|F1B|，
又4|BF2|＝5|AB|＝20|F1B|，可得|BF2|＝5|BF1|，
由橢圓定義可得：|AF1|+|AF2|＝2a＝6|F1B|，所以|BF1|＝a，
|AF1|＝a，可得|AF2|＝2a﹣a＝a，
故選：D．
6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，以C上點(diǎn)M為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)F，并與y軸交于A，B兩點(diǎn)．若，則C的焦距為（ ）
A．B．2C．D．4
【分析】用c表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂徑定理得出A，B的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，計(jì)算c的值即可．
【解答】解：設(shè)F（c，0），把x＝c代入橢圓方程可得+＝1，解得y2＝，
不妨設(shè)M在第一象限，則M（c，），故圓M的半徑為，
∴AB＝，∴A（0，+），B（0，﹣），
∴＝（﹣c，+），＝（﹣c，﹣），
∴＝c2+﹣（﹣c2）＝4，解得c2＝2，c＝，
∴橢圓C的焦距為2c＝2．
故選：C．
7．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過點(diǎn)F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（ ）
A．+y2＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【分析】根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得橢圓的方程．
【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，
∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，
∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y軸上．
在Rt△AF2O中，cs∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF2F1＝，
根據(jù)cs∠AF2O+cs∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以橢圓C的方程為：+＝1．
故選：B．
8．已知橢圓，焦點(diǎn)F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）．過F1（﹣2，0）作傾斜角為60°的直線L交上半橢圓于點(diǎn)A，以F1A，F(xiàn)1O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形OF1AB，點(diǎn)B恰好也在橢圓上，則b2＝（ ）
A．B．C．4D．12
【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），四邊形OF1AB為平行四邊形，推出y1＝y(tǒng)2，推出x1＝﹣x2，又F1A∥OB，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用c＝2，所以a2﹣b2＝c2即可求出b2，得到選項(xiàng)．
【解答】解：依題意可知，c＝2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
因?yàn)樗倪呅蜲F1AB為平行四邊形，所以y1＝y(tǒng)2，
又，，
所以x1＝﹣x2，又F1A∥OB，
且直線F1A的傾斜角為60°，所以，
因?yàn)閥1＝y(tǒng)2，x2＝﹣x1，所以x1＝﹣1，x2＝1，，
所以，將其代入，得?
又c＝2，所以a2﹣b2＝c2②
所以聯(lián)立①②解得，，
故選：B．
9．（多選）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，點(diǎn)P（1，1）在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)Q在橢圓上，則以下說法正確的是（ ）
A．|QF1|+|QP|的最小值為2a﹣1
B．橢圓C的短軸長可能為2
C．橢圓C的離心率的取值范圍為
D．若，則橢圓C的長軸長為
【分析】由焦距的值及P的坐標(biāo)可得PF2⊥x軸，由橢圓的定義到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，當(dāng)P，F(xiàn)2，Q三點(diǎn)共線時(shí)|QP|+|QF1|取到最小值，因?yàn)镻在橢圓內(nèi)可得b＞1，可得短軸長大于2，由P在橢圓內(nèi)可得長軸長2a大于|PF1|+|PF2|，進(jìn)而可得橢圓的離心率的范圍；，可得F1為PQ的中點(diǎn)，由P，F(xiàn)1的坐標(biāo)求出Q的坐標(biāo)，進(jìn)而由兩點(diǎn)間的距離求出長軸長2a＝|QF1|+|QF2|的值．
【解答】解：由|F1F2|＝2可得：F2（1，0），所以PF2⊥x軸，
A中，|QF1|+|QP|＝2a﹣|QF2|+|QP|＝2a﹣（|QF2|﹣|QP|）≥2a﹣|PF2|＝2a﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值為2a﹣1，所以A正確；
B中，因?yàn)镻在橢圓內(nèi)，b＞1，所以短軸長2b＞2，故B不正確；
C中，因?yàn)镻在橢圓內(nèi)，所以長軸長2a＞|PF1|+|PF2|＝1+，所以離心率e＝＜＝，所以e∈（0，），所以C不正確；
D中，因?yàn)椋訤1為PQ的中點(diǎn)，而F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），P（1，1），所以Q（﹣3，﹣1），
所以長軸長2a＝|QF1|+|QF2|＝+＝+，所以D正確，
故選：AD．
10．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
【分析】利用已知條件列出不等式求解即可．
【解答】解：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
可得1﹣m＞m＞0，解得m∈．
故答案為：（0，）．
11．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若C的短軸長為，且兩個焦點(diǎn)恰好為長軸的2個相鄰的五等分點(diǎn)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【分析】利用已知條件求出b，結(jié)合兩個焦點(diǎn)恰好為長軸的2個相鄰的五等分點(diǎn)，得到ac關(guān)系式，然后求解a，即可得到橢圓方程．
【解答】解：橢圓的短軸長為，即，∴，即a2﹣c2＝24（*）．
∵2個焦點(diǎn)恰好為長軸的2個相鄰的五等分點(diǎn)，
∴，得a＝5c，代入（*）式，
解得c＝1，a＝5，
故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
12．已知橢圓＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，若|AF1|﹣|BF2|＝，則△AF1F2的面積為 ．
【分析】由橢圓的焦半徑公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，設(shè)直線AF1的方程為y＝k（x+1），直線BF2的方程為y＝k（x﹣1），（其中k＞0），，可得xA，由，可得xB
即可得k2，從而求得yA即可．
【解答】解：設(shè)直線AF1的方程為y＝k（x+1），直線BF2的方程為y＝k（x﹣1），（其中k＞0）．
，可得xA＝，由，可得xB＝，
由橢圓的焦半徑公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，
故，
∴，解得k2＝1，
∴xA＝0，yA＝1，
∴則△AF1F2的面積為s＝．
故答案為：1．
13．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，短軸長為2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是 ．
【分析】利用已知條件求出a，b，結(jié)合橢圓的定義，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解表達(dá)式的最小值即可．
【解答】解：據(jù)題意，b＝1，解得a＝2，，
于是|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
所以
＝，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|＝2|PF1|，即，時(shí)等號成立．
故答案為：．
14．已知橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，總有∠AFB≥120°，則橢圓C離心率的取值范圍為 ．
【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，則四邊形AFBE是平行四邊形，于是把原問題轉(zhuǎn)化為求∠FAE≤60°時(shí)，離心率的取值范圍；然后在△AFE中，結(jié)合橢圓的定義、余弦定理和基本不等式列出關(guān)于離心率e的不等式，解之即可得解．
【解答】解：如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，則四邊形AFBE是平行四邊形，
∵∠AFB≥120°，∴∠FAE≤60°．
設(shè)AE＝m，AF＝n，
由橢圓的定義可知，m+n＝2a，由基本不等式的性質(zhì)可知，mn≤，
在△AFE中，由余弦定理知，cs∠FAE＝＝
＝，
∵∠FAE≤60°，
∴cs∠FAE∈[，1），
∴1﹣2e2，解得，
∵0＜e＜1，
∴離心率e∈（0，]．
故答案為：（0，]．
15．如圖，過原點(diǎn)O的直線AB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作x軸、AB的垂線AP．AQ交橢圓C于點(diǎn)P．Q，連接BQ交AP于一點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率是 ．
【分析】設(shè)A，Q的坐標(biāo)，由題意可得B，P的坐標(biāo)，由AB⊥AQ及B，M，N三點(diǎn)共線可得，將A，Q的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得+＝0，進(jìn)而可得a，b的關(guān)系，再由a，b，c之間的關(guān)系求出橢圓的離心率．
【解答】解：設(shè)A（x1，y1），Q（x2，y2）），
則B（﹣x1，﹣y1），P（x1，﹣y1），
由AB⊥AQ，則，
再由B，M，Q三點(diǎn)共線，則，
故，即，
又因?yàn)?，?br>即+＝0，
所以，故橢圓C的離心率是．
故答案為：．
16．已知橢圓+＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是 ．
【分析】求得橢圓的a，b，c，e，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接PF'，運(yùn)用三角形的中位線定理和橢圓的焦半徑半徑，求得P的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的斜率公式，可得所求值．
【解答】解：橢圓＝1的a＝3，b＝，c＝2，e＝，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接PF'，
線段PF的中點(diǎn)A在以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓，
連接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，
設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），可得3﹣m＝4，可得m＝﹣，n＝，
由F（﹣2，0），可得直線PF的斜率為
＝．
另解：由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝2，|FF'|＝2c＝4，
可得cs∠PFF'＝＝，
sin∠PFF'＝＝，
可得直線PF的斜率為＝．
故答案為：．
17．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）已知某橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)；
（2）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．
【分析】（1）設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再由已知結(jié)合定義求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再由已知結(jié)求得a，b的值，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程：（a＞b＞0），
則2a＝|PF1|+|PF2|＝，
∴a＝．
∵b2＝a2﹣c2＝1，
∴橢圓方程：；
（2）設(shè)橢圓：（a＞b＞0），
由題可知：a＝，b＝，
∴橢圓方程：．
18．已知橢圓的短軸長為2．
（1）若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）A為橢圓C的上頂點(diǎn)，B（0，3），橢圓C上存在點(diǎn)P，使得．求橢圓C的離心率的取值范圍．
【分析】（1）先求出b的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入建立方程進(jìn)行求解即可．
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)長度關(guān)系，聯(lián)立方程組求出P的橫坐標(biāo)，結(jié)合橢圓x的范圍以及離心率關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）由題意可得2b＝2，即b＝1．
因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)，所以，
所以，解得a2＝4．
故橢圓C的方程為．
（2）由（1）可知A（0，1），設(shè)P（x，y），則①
因?yàn)椋詜PB|2＝3|PA|2，
所以x2+（y﹣3）2＝3[x2+（y﹣1）2]，即x2+y2＝3．②
聯(lián)立①②，解得．
因?yàn)椹乤≤x≤a，所以0≤x2≤a2，所以，解得a2≥3，
于是，即，
則，即，即．
故橢圓C的離心率的取值范圍是．
19．已知橢圓，C的中心為O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，且|OB|、|OA|、|OF2|成等比數(shù)列．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）判斷△F1AB的形狀，并說明理由．
【分析】（1）由題意可得A，B，F(xiàn)2的坐標(biāo)，再由|OB|、|OA|、|OF2|成等比數(shù)列．可得，ab，c之間的關(guān)系，再由橢圓中a，b，c之間的關(guān)系求出離心率；
（2）由題意知A，B，F(xiàn)1的坐標(biāo)，和題意b2＝ac，可得向量以＝0，即可得向量的垂直，即三角形為直角三角形．
【解答】解（1）設(shè)橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b，2c，
則|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c，
由題設(shè)可得b2＝ac及b2＝a2﹣c2可得c2+ac﹣a2＝0，
即e2+e﹣1＝0，解得e＝，而e∈（0，1），
所以橢圓的離心率為e＝；
（2）設(shè)橢圓的方程為：+＝1（a＞b＞0），則A（0，b），B（a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），
因?yàn)閎2＝ac，＝（﹣c，﹣b），＝（a，﹣b），
所以＝﹣ac+b2＝0，所以AF1⊥AB，
即△ABF1為直角三角形．
20．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；
（2）如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)△POF2為等邊三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根據(jù)直角形和橢圓定義可得；
（2）根據(jù)三個條件列三個方程，解方程組可得b＝4，根據(jù)x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，從而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，
【解答】解：（1）連接PF1，由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，
故曲線C的離心率e＝＝﹣1．
（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P（x，y）存在當(dāng)且僅當(dāng)：|y|?2c＝16，
?＝﹣1，+＝1，
即c|y|＝16，①
x2+y2＝c2，②
+＝1，③
由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，
由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，從而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，
當(dāng)b＝4，a≥4時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P．
所以b＝4，a的取值范圍為[4，+∞）．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．圓錐曲線與空間幾何體具有深刻而廣泛的聯(lián)系．如圖所示，底面半徑為1，高為3的圓柱內(nèi)放有一個半徑為1的球，球與圓柱下底面相切，作不與圓柱底面平行的平面α與球相切于點(diǎn)F，若平面α與圓柱側(cè)面相交所得曲線為封閉曲線τ，τ是以F為一個焦點(diǎn)的橢圓，則τ的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意作出平面圖形，當(dāng)α與底面趨于平行時(shí)，τ幾乎成為一個圓，因此離心率可以充分接近0．當(dāng)α與底面的夾角最大時(shí)，τ的離心率達(dá)到最大，
【解答】解：當(dāng)α與底面趨于平行時(shí)，τ幾乎成為一個圓，因此離心率可以充分接近0．
當(dāng)α與底面的夾角最大時(shí)，τ的離心率達(dá)到最大，下面求解這一最大值．
如圖，A，B為長軸，F(xiàn)為焦點(diǎn)時(shí)，e最大．a(chǎn)+c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，
所以，則e＝＝．
則離心率的取值范圍是．
故選：B．
2．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心．當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化時(shí)，橢圓C的離心率為 ．
【分析】由題意可得取特殊情況時(shí)GI存垂直于x軸，由于這些IG的傾斜角時(shí)不隨P的為變化的，所以IG始終垂直于x軸，設(shè)P的坐標(biāo)，由重心性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得的比值，由△MIN與△MPE相似可得I的坐標(biāo)，再由三角形PF1F2的面積相等，內(nèi)切圓的半徑代入可得a，c的關(guān)系，求出離心率．
【解答】解：當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化時(shí)，取P特殊情況在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，
由此可得不論P(yáng)在何處，GI始終垂直于x軸，
設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)分別為Q，N，A，如圖所示：
設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長交x軸于M點(diǎn)，連接GI并延長交x軸于N，
則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，
可得重心G（，）所以I的橫坐標(biāo)也為，|ON|＝，
由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG＝PA，F(xiàn)1Q＝F1N，NF2＝AF2，
所以PF1﹣PF2＝（PQ+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON＝，
而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+，PF2＝a﹣，
由角平分線的性質(zhì)可得＝，
即＝，所以可得OM＝，
所以可得MN＝ON﹣OM＝﹣＝，
所以ME＝OE﹣OM＝x0﹣＝，
所以＝＝，即IN＝?PE＝?y0，
s＝（PF1+F1F2+PF2）?IN＝，即（2a+2c）＝，
所以整理為：＝，
故答案為：．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），下頂點(diǎn)為P，過點(diǎn)M（0，）的動直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，P，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線，且PA＝，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)橢圓C的離心率為何值時(shí)，對任意的動直線l，總有PA⊥PB？
【分析】（1）當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，即l：y＝b，作AD⊥x軸交x軸于點(diǎn)D，則根據(jù)＝，可得A（c，b），由PA＝PF＝＝a＝，求出a＝，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，由PA⊥PB，得kPA?kPB＝＝﹣1，從而求出e＝；當(dāng)直線l不平行于x軸時(shí)，由e＝，把橢圓可化為x2+3y2＝3b2，設(shè)直線l的方程為y＝kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+3k2）＝0，利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出PA⊥PB，由此求出當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，對任意的動直線l，總有PA⊥PB．
【解答】解：（1）當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，即l：y＝b，
如圖，作AD⊥x軸交x軸于點(diǎn)D，則根據(jù)＝，可得A（c，b），
且PA＝PF＝＝a＝，解得a＝，
又因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得c2＝a2＝1，所以b2＝3﹣1＝2，
所以橢圓C的方程為；
（2）①當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，
由PA⊥PB，得kPA?kPB＝＝﹣1，
∴a2＝3b2，又a2＝b2+c2，∴2a2＝3c2，∴e2＝，
∵e∈（0，1），∴e＝．
②當(dāng)直線l不平行于x軸時(shí)，下面證明當(dāng)e＝時(shí)，總有PA⊥PB，
事實(shí)上，由①知橢圓可化為＝1，∴x2+3y2＝3b2，
設(shè)直線l的方程為y＝kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+3k2）＝0，
∴，x1x2＝，
∵，，
∴＝x1x2+（y1+b）（y2+b）＝
＝
＝
＝+
＝﹣＝0．
∴PA⊥PB，
綜上，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，對任意的動直線l，總有PA⊥PB．

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