A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行
B．內(nèi)有兩條相交直線與平行
C．內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等
D．，垂直于同一平面
【分析】根據(jù)平面平行的判定定理，即可得出正確的結(jié)論．
【解答】解：對(duì)于，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，如兩個(gè)相交平面，可以找出無(wú)數(shù)條平行于交線的直線，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于，內(nèi)有兩條相交直線與平行，根據(jù)兩平面平行的判定定理知，，所以正確；
對(duì)于，內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等，如兩個(gè)相交平面，可以找出無(wú)數(shù)條直線平行于平面，所以也能得出無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)、垂直于同一個(gè)平面時(shí)，與也可以相交，所以錯(cuò)誤．
故選：．
2．有下列四個(gè)條件：①，，； ②，；③，，； ④、是異面直線，，，．其中能保證直線平面的條件是
A．①②B．①③C．①④D．②④
【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定定理進(jìn)行判斷．
【解答】解：①若，，，則直線平面，故符合題意；
②若，時(shí)，則或直線平面，故不符合題意；
③若，，時(shí)，則或直線平面，故不符合題意；
④、是異面直線，，，，則直線平面，故符合題意．
綜上所述，符合題意的條件是①④．
故選：．
3．如圖，在三棱錐中，，分別為，的中點(diǎn)，過的平面截三棱錐得到的截面為．則下列結(jié)論中不一定成立的是
A．B．C．平面D．平面
【分析】對(duì)于，推導(dǎo)出，，從而；對(duì)于，過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，從而；對(duì)于，由，得平面；對(duì)于，與平面有可能相交．
【解答】解：對(duì)于，，分別為，的中點(diǎn)，，
過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，
，，故正確；
對(duì)于，過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，
，故正確；
對(duì)于，，平面，平面，平面，故正確；
對(duì)于，的位置不確定，與平面有可能相交，故錯(cuò)誤．
故選：．
4．如圖所示的四個(gè)正方體中，，是正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號(hào)為
A．①②B．②③C．③④D．①②③
【分析】首先由線面平行的判定可知①正確，由此排除選項(xiàng)，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，由此排除，即可得到正確答案．
【解答】解：對(duì)①，連接交于點(diǎn)，則，易知平面，即①正確，故排除；
對(duì)③，由正方體的性質(zhì)可知，平面平面，又在平面內(nèi)，故平面，即③正確，故排除．
故選：．
5．設(shè)、、為平面，、為直線，給出下列條件：
①、，，；
②，；
③，；
④，，．
其中能使成立的條件是
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】①由面面平行的判斷定理與定義可得：可能或者與相交．②由平面與平面平行的傳遞性可得：．③由平面與平面的位置關(guān)系可得：可能或者與相交．④由線面垂直的定義可得：，又因?yàn)椋裕?br>【解答】解：①若、，，，由面面平行的判斷定理與定義可得：可能或者與相交．所以①錯(cuò)誤．
②若，，由平面與平面平行的傳遞性可得：．所以②正確．
③若，，則由平面與平面的位置關(guān)系可得：可能或者與相交．所以③錯(cuò)誤．
④若，，由線面垂直的定義可得：，又因?yàn)?，所以．所以④正確．
故選：．
6．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，點(diǎn)在棱上，，若平面，則的值為
A．1B．C．3D．2
【分析】連結(jié)，交于，連結(jié)，則，再由點(diǎn)在棱上，，平面，能求出，
【解答】解：連結(jié)，交于，連結(jié)，
四棱錐的底面是平行四邊形，，
點(diǎn)在棱上，，平面，
，
．
故選：．
7．如圖，四棱柱中，為平行四邊形，，分別在線段，上，且，在上且平面平面，則
A．B．C．D．
【分析】推導(dǎo)出，平面平面，由在上且平面平面，得，從而．
【解答】解：四棱柱中，為平行四邊形，
，分別在線段，上，且，
，平面平面，
在上，平面，且平面平面，
，
．
故選：．
8．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是上底面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【分析】分別取棱、的中點(diǎn)、，連接，可證平面平面，得點(diǎn)在線段上．由此可判斷當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，最??；當(dāng)與或重合時(shí)，最大．然后求解直角三角形得答案．
【解答】解：如下圖所示：
分別取棱、的中點(diǎn)、，連接，連接，
、、、為所在棱的中點(diǎn)，，，
，又平面，平面，
平面；
連接，由，，，，
可得，，則四邊形為平行四邊形，
則，而平面，平面，則平面．
又，平面平面．
又是上底面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，
點(diǎn)在線段上．
在△中，，
同理，在△中，求得，則為等腰三角形．
當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，最小為，
當(dāng)與或重合時(shí)，最大為．
線段長(zhǎng)度的取值范圍是，．
故選：．
9．（多選）如圖所示，為矩形所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是
A．B．平面C．平面D．平面
【分析】通過直線與平面平行的判定定理，即可判斷正確；由線面的位置關(guān)系，即可得到直線在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤．
【解答】解：對(duì)于，由于為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，故正確；
對(duì)于，由于，平面，平面，則平面，故正確；
對(duì)于，由于，平面，平面，則平面，故正確；
對(duì)于，由于平面，故錯(cuò)誤．
故選：．
10．（多選）下列四個(gè)正方體圖形中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：在中，連接，則，由正方體性質(zhì)得到平面平面，
平面，故成立；
若下底面中心為，則，面，
與面不平行，故不成立；
過作，則是中點(diǎn)，
則與平面相交，則與平面相交，
與面不平行，故不成立；
連接，則，，則，平面，故成立．
故選：．
11．已知三個(gè)互不重合的平面，，，且直線，不重合，由下列條件：
①，；②，；③，，；
能推得的條件是 ．
【分析】根據(jù)線面，線線，面面平行的性質(zhì)和判定定理，判斷出即可．
【解答】解：①，；可能；
②，；面面平行的性質(zhì)得出成立；
③，，；若與相交，可能與相交，
故答案為：②
12．平面平面，，，點(diǎn)，，直線，相交于，已知，，，則 ．
【分析】用面面平行的性質(zhì)，可得，根據(jù)比例關(guān)系即可求出．
【解答】解：平面，，，，，直線與交于點(diǎn)，
，共面，且，
①若點(diǎn)在平面，的外部，
，
，，，
，解得，
．
②點(diǎn)在平面，的之間，
則，即，解得，
則，
故答案為：2或34．
13．（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在直三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上，平面，則的值為 ．
【分析】取 的中點(diǎn)， 的中點(diǎn)，連接，，證明平面平面，得平面，由此可得的值．
【解答】解：如圖，
取 的中點(diǎn)， 的中點(diǎn)，
連接，，
由，，分別為，， 的中點(diǎn)，
得，．
平面，平面，
平面；
平面，平面，
平面，
又，平面平面，
則平面．
由為 的中點(diǎn)，可知的值為．
故答案為：．
14．如圖所示，在四棱錐中，平面，，底面為梯形，，，，點(diǎn)在棱上，若平面，則 ．
【分析】連接交于點(diǎn)，連接，先由線面垂直的性質(zhì)定理可知，再結(jié)合線面垂直的判定定理得面，從而有．結(jié)合為等腰△以及，可推出也為等腰△，，于是，最后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證得，，從而得解．
【解答】解：如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，
平面，面，，
，，、面，面，
面，．
，，，，
又，，為等腰直角三角形，，
．
平面，面，且平面平面，
，
．
故答案為：2．
15．如圖，在三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，，分別為和的中點(diǎn)．求證：
（1）平面；
（2）平面．
【分析】（1）推導(dǎo)出，由此能證明平面．
（2）取的中點(diǎn)，連接，．推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．
【解答】證明：（1）、分別是和中點(diǎn)．
，
又平面，平面，
平面．
（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．
為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
且，
在三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，
且，是的中點(diǎn)，且，
且，四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，
平面．
16．如圖，在四棱錐中，已知底面為平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設(shè)平面平面，點(diǎn)在上，求證：為的中點(diǎn)．
【分析】（Ⅰ）由底面為平行四邊形，得到，由此能證明平面．
（Ⅱ）由平面平面，平面，得到，由點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，能證明為的中點(diǎn)．
【解答】證明：（Ⅰ）底面為平行四邊形，，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）平面平面，點(diǎn)在上，
平面，平面，
，
點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
17．如圖，在正方體中，、分別是平面、平面的中心，證明：
（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）平面平面．
【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出，由此能證明平面．
（Ⅱ）推導(dǎo)出，得平面，由平面，能證明平面平面．
【解答】證明：（Ⅰ）由是正方體，可知，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）由是正方體，，
平面，平面，
平面，
由（Ⅰ）知，平面，
又，平面平面．
18．如圖，在三棱柱中，、分別是棱，的中點(diǎn)，求證：
（1）平面；
（2）平面平面．
【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，證明，再由線面平行的判定可得平面；
（2）由為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，證得四邊形為平行四邊形，得到，進(jìn)一步得到平面．再由平面，結(jié)合面面平行的判定可得平面平面．
【解答】證明：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，
四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，是三角形的中位線，則，
又平面，平面，
平面；
（2）為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
且，則四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面．
又平面，，且平面，平面，
平面平面．
19．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面．
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)使得，，，四點(diǎn)共面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，可得，由直線與平面平行的判定可得平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接交于，在上取點(diǎn)，使，連接，，則，，，四點(diǎn)共面，然后證明即可．
【解答】解：（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
，分別為，的中點(diǎn)，，，
又四邊形是平行四邊形，，，
為的中點(diǎn)，，．
，，則四邊形為平行四邊形，
．
平面，平面，
平面；
（2）存在點(diǎn)符合題目條件，且此時(shí)．
取的中點(diǎn)，連接交于，在上取點(diǎn)，使，
連接，，則，，，四點(diǎn)共面．
證明如下：在平行四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，
，又是的中點(diǎn)，
是的重心，且．
又，，
，，
與確定一個(gè)平面，而直線，
，則，，，四點(diǎn)共面．
故在線段上存在一點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面．
20．如圖，四邊形與均為平行四邊形，，，分別是，，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．
【分析】（1）由面面平行推出線面平行即可；（2）由線線平行推出面面平行即可．
【解答】證明：（1）如圖，連接，則必過與的交點(diǎn)，
連接，則為的中位線，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因?yàn)?，分別為平行四邊形的邊，的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面．
又為中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，
又平面，平面，所以平面，
又與為平面內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面平面．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．空間四邊形的兩條對(duì)角線、所成角為，設(shè)，．則過的中點(diǎn)且平行于、的截面四邊形的面積為 ．
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理知，、的長(zhǎng)為其第三邊的一半，根據(jù)平行四邊形的面積公式即得結(jié)論．
【解答】解：設(shè)截面四邊形為，、、分別是、、的中點(diǎn)，
則四邊形為平行四邊形，
，，或
截面四邊形的面積為．
過的中點(diǎn)且平行于、的截面四邊形的面積為6．
故答案為：6．
2．已知長(zhǎng)方體中，，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是該長(zhǎng)方體底面上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則面積的取值范圍是 ．
【分析】補(bǔ)全所給截面后，易得兩個(gè)平行截面，從而確定點(diǎn)所在線段，再分析何時(shí)最大，何時(shí)最小即可得解．
【解答】解：：補(bǔ)全截面為截面如圖，設(shè)，
直線與平面不存在公共點(diǎn)，
平面，
易知平面平面，
，
且當(dāng)與重合時(shí)，最短，此時(shí)的面積最??；
由等積法：，
即：；
，
又平面，，為直角三角形，
的面積為：，
當(dāng)與重合時(shí)，最長(zhǎng)為4，此時(shí)的面積最大；
最大值為：；
故答案為：，．
3．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，在上，且，點(diǎn)是側(cè)面（包括邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，且平面，則的取值范圍為 ．
【分析】作出平面平面，推導(dǎo)出的軌跡是線段，在處，取最小值，在處，取最大值，由此能求出的取值范圍．
【解答】解：如圖所示，作出平面平面，
則，，
平面，的軌跡是線段，
在處，取最小值，
在處，取最大值．
的取值范圍為．
故答案為：．

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