1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
考點(diǎn)1 直線與平面平行的判定與性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
1．利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線．
2．利用面面平行的性質(zhì)證明直線與平面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．
3．在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．
[典例]
例1 如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.
例2 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.
[舉一反三]
如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).
(1)求證：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
考點(diǎn)2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
證明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．
(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．
[典例]
如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．
[舉一反三]
如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．
(1)求證：BC∥GH；
(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.
考點(diǎn)3 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
[典例]
如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．
(1)求證：BD1∥平面AEC；
(2)CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，請說明理由．
[舉一反三]
1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
2.如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．
(1)求證：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．
文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
a?α，b?α，a∥b?a∥α
性質(zhì)定理
一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β
性質(zhì)
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面
α∥β，a?α?a∥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
第41講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
考點(diǎn)1 直線與平面平行的判定與性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
1．利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線．
2．利用面面平行的性質(zhì)證明直線與平面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．
3．在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．
[典例]
例1 如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.
證明 法一 如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，
又PM∥AB∥QN，
∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(PE,AE)＝eq \f(QB,BD)＝eq \f(QN,DC)，∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(QN,DC).
又ABDC，∴PMQN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，
∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
法二 如圖，在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PM∥BE交AB于點(diǎn)M，連接QM.
則PM∥平面BCE，
∵PM∥BE，
∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(AM,MB)，又AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(DQ,BQ)，∴eq \f(AM,MB)＝eq \f(DQ,QB)，
∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，
∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，
∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
例2 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.
證明 如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn)，
又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，
又OM?平面BMD，PA?平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
[舉一反三]
如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).
(1)求證：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
(1)證明 如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.
因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，
四邊形ACEF是矩形，
所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.
又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，證明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
考點(diǎn)2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
證明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．
(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．
[典例]
如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．
證明 (1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，
則BF∥A1G，
∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，如圖，
則A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．
[舉一反三]
如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．
(1)求證：BC∥GH；
(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.
證明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.
(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，
∴A1GEB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
考點(diǎn)3 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
[典例]
如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．
(1)求證：BD1∥平面AEC；
(2)CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，請說明理由．
(1)證明 如圖，連接BD交AC于O，連接EO.
因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，底面ABCD為正方形，
對角線AC，BD交于O點(diǎn)，
所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，
又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，
所以在△DBD1中，OE是△DBD1的中位線，
所以O(shè)E∥BD1.
又因?yàn)镺E?平面AEC，BD1?平面AEC，
所以BD1∥平面AEC.
(2)解 當(dāng)CC1上的點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)，即滿足平面AEC∥平面BFD1.
連接BF，D1F，
因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，
所以CFED1，
所以四邊形CFD1E為平行四邊形，
所以D1F∥EC，
又因?yàn)镋C?平面AEC，D1F?平面AEC，
所以D1F∥平面AEC.
由(1)知BD1∥平面AEC，
又因?yàn)锽D1∩D1F＝D1，BD1，D1F?平面BFD1，
所以平面AEC∥平面BFD1.
[舉一反三]
1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
證明 (1)如圖，連接EC，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).
又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP，
因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)連接OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，
所以FH∥PD，
因?yàn)镻D?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
所以O(shè)H∥AD，
因?yàn)锳D?平面PAD，OH?平面PAD，
所以O(shè)H∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因?yàn)镚H?平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
2.如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．
(1)求證：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．
(1)證明 ∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，
又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
(2)解 設(shè)EF＝x(0

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