新高考數(shù)學一輪復習講與練第20講直線、平面平行垂直的判定與性質(zhì)（練）（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．己知m，n是兩條不重合的直線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三個不重合的平面，下列命題中正確的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)空間中位置關(guān)系的性質(zhì)定理和判定定理可判斷各選項的正誤.
【詳解】對于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或異面，故A錯誤.
對于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，故B錯誤.
對于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，故C錯誤.
對于D，由線面垂直的性質(zhì)可得若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確，
故選：D.
2．已知空間中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是兩條不同的直線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 異面D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)空間中的線和平面，以及平面與平面的位置關(guān)系即可逐一判斷.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯誤，
由垂直于同一平面的兩直線平行，可知B正確,
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 異面或者 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯誤，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時，不能得到 SKIPIF 1 < 0 ，只有當 SKIPIF 1 < 0 時，才可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯誤，
故選：B
3．已知兩條不同的直線 SKIPIF 1 < 0 及兩個不同的平面 SKIPIF 1 < 0 ，下列說法正確的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是異面直線
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 平行或異面
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 一定相交
【答案】C
【分析】由面面平行的性質(zhì)可判斷ABC，由線面平行的判定定理可判斷D
【詳解】若 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 沒有交點，故 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 平行或異面，故A，B錯誤，C正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 平行，故D錯誤故選：C
4．設(shè) SKIPIF 1 < 0 為兩條直線， SKIPIF 1 < 0 為兩個平面，下列四個命題中正確的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所稱的角相等，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)定理，并進行判斷.
【詳解】對于選項A,將一個圓錐放到平面上，則它的每條母線與平面所成的角都是相等的，故“若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所稱的角相等，則 SKIPIF 1 < 0 ”故A錯；
對于選項C,若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 位置關(guān)系可能是平行，相交或異面，故C錯；
對于選項D,若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是錯誤的，兩平面 SKIPIF 1 < 0 還可能是相交平面；故D錯；
對于選項B，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，兩個平面垂直時，與它們垂直的兩個方向一定是垂直的.
故選：B.
5．三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 則下列兩條直線中，不互相垂直的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及判定即可得到線線垂直，由選項即可逐一求解.
【詳解】對于A，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
對于B， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不一定垂直；
對于C，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
對于D，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 C. 故選：B．
6（理科）．如圖，在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .若過點 SKIPIF 1 < 0 的平面與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，表示出點的坐標，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由面面平行的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由線面平行的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)向量共線的坐標表示計算可得.
【詳解】解：以 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
因為平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因為平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
二、填空題
7．空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則異面直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 證 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再證 SKIPIF 1 < 0 即可得所求角度.
【詳解】
空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
8．正棱錐的高為2，側(cè)棱與底面所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，則該正棱錐的側(cè)棱長為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【詳解】如圖所示， SKIPIF 1 < 0 是一個正四棱錐，
SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，
側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 與底面所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
9．如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的二面角 SKIPIF 1 < 0 棱 SKIPIF 1 < 0 上的兩點，線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為______．
【答案】4
【分析】作輔助線使 SKIPIF 1 < 0 為二面角的平面角，由余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，再通過證明 SKIPIF 1 < 0 平面EAC，得出 SKIPIF 1 < 0 ，通過勾股定理即可求解.
【詳解】如圖所示：
在平面 SKIPIF 1 < 0 中，過A作直線平行于BD，
在其上取一點E，使AE＝BD，連接EC、ED．
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形EABD是平行四邊形，則ED＝AB＝3．
由 SKIPIF 1 < 0 平面EAC，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 平面EAC，
SKIPIF 1 < 0 平面EAC，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形．
由勾股定理 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：4
10．a(chǎn)，b，c是空間中互不重合的三條直線，下面給出五個命題：
①若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c，則a SKIPIF 1 < 0 c；
②若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c，則a SKIPIF 1 < 0 c；
③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；
④若a SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，b SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則a，b一定是異面直線；
上述命題中正確的是_______（只填序號）．
【答案】①
【分析】對于①，用平行的傳遞性即可判斷；對于②，利用直線垂直的性質(zhì)即可判斷；對于③，利用直線的位置關(guān)系判斷；對于④，利用異面直線的定義判斷
【詳解】解：①根據(jù)空間直線平行的平行公理可知，若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c，則a SKIPIF 1 < 0 c，所以①正確；
②在空間中，若a SKIPIF 1 < 0 b，b SKIPIF 1 < 0 c時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 可以相交、平行，也可以異面，所以②錯誤；
③在空間中，若a與b相交，b與c相交， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 可以相交、平行，也可以異面，所以③錯誤；
④若a SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，b SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，并不能說明 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不在同一個平面內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 可以平行、相交，也可能是異面直線，所以④錯誤，
故答案為：①．
三、解答題
11（理科）．如圖，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面邊長為2， SKIPIF 1 < 0 ，D為 SKIPIF 1 < 0 的中點，點E在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，點P為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角的余弦值．
【解析】（1）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D為 SKIPIF 1 < 0 的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，D為 SKIPIF 1 < 0 的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 是正三棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，點P為線段 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
如圖以 SKIPIF 1 < 0 的中點為坐標原點建立空間直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，則 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ．
12．四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點.
(1)求證：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正切值；
【解析】（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，E是AD中點，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PAD，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PCE，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面PAD.
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴斜線PC在平面內(nèi)的射影為PE，
即 SKIPIF 1 < 0 是PC與平面PAD所成角的平面角，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴PC與平面PAD所成角的正切值為 SKIPIF 1 < 0 .
一、單選題
1．已知矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿BD折起至 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 與AD所成角最大時，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積等于（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先判斷當 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角最大時， SKIPIF 1 < 0 ，進而證得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，再證得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，故可由 SKIPIF 1 < 0 求得結(jié)果.
【詳解】因為異面直線最大角為直角，故當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角最大，
因為四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
2．設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則（）
A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α
B．若l SKIPIF 1 < 0 m，m SKIPIF 1 < 0 n，l⊥α，則n⊥α
C．若l SKIPIF 1 < 0 m，m⊥α，n⊥α，則l⊥n
D．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l SKIPIF 1 < 0 m
【答案】B
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷A；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)論可判斷B,C；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合空間直線的位置關(guān)系可判斷D.
【詳解】由α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，知：
在A中，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，由于m,n不一定相交，
則l與α相交、平行或l?α，即l不一定垂直于α，故A錯誤；
在B中，若l SKIPIF 1 < 0 m，m SKIPIF 1 < 0 n，則l SKIPIF 1 < 0 n，又因為l⊥α，故n⊥α，故B正確；
在C中，若l SKIPIF 1 < 0 m，m⊥α，n⊥α，則l SKIPIF 1 < 0 n，故C錯誤；
在D中，若m?α，n⊥α，l⊥n，則l與m相交、平行或異面，故D錯誤．故選：B．
3．已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的邊長為2，點E，F(xiàn)分別為棱CD， SKIPIF 1 < 0 的中點，點P為四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（包括邊界）的一動點，且滿足 SKIPIF 1 < 0 平面BEF，則點P的軌跡長為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【分析】通過作圖，利用面面平行找到點P的軌跡，從而求得其長度，即得答案.
【詳解】畫出示意圖如下：
取 SKIPIF 1 < 0 中點N，取 SKIPIF 1 < 0 中點M，連接 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,則四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 < 0 BE，
連接 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,故MN SKIPIF 1 < 0 EF，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面BEF,
所以平面BEF SKIPIF 1 < 0 平面B1MN，
平面 SKIPIF 1 < 0 ∩平面 SKIPIF 1 < 0 =MN，所以P點軌跡即為MN，
長度為 SKIPIF 1 < 0 ；
證明：因為平面BEF SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
P點是MN上的動點，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面BEF，滿足題意.故選：A．
4．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P為CC1的中點，點Q在四邊形DCC1D1內(nèi)（包括邊界）運動，若AQ∥平面A1BP，則AQ的最小值為（）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由線面平行與面面平行的判定定理求解即可
【詳解】取C1D1，D1D，CD，F(xiàn)G中點分別為E、F、G，H，連接EP，AF，F(xiàn)G，AG，AH，如圖所示：
∵P為CC1的中點，
則平面A1BP即為平面A1BPE，EP∥DB，F(xiàn)G∥DB，A1E∥AG，EP∥FG，
∵FG?平面A1BPE，AG?平面A1BPE，
∴FG∥平面A1BPE，AG∥平面A1BPE，
又FG∩AG＝G，F(xiàn)G?平面AFG，AG?平面AFG，
∴AFG∥平面A1BP，
∴當Q運動到FG中點H時，此時AH?平面AFG，AH∥平面A1BP，AQ的最小值為AH，
∵AB＝2，
∴AF＝AG SKIPIF 1 < 0 ，F(xiàn)G SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△AFH中，AH SKIPIF 1 < 0 ，
故AQ的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
5．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N分別是棱BC，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運動．若 SKIPIF 1 < 0 平面AMN，則PA1的最小值是（）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可以找到 SKIPIF 1 < 0 點在右側(cè)面的運動軌跡，從而求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值
【詳解】
如圖所示，取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 點在右側(cè)面，
所以 SKIPIF 1 < 0 點的軌跡是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以當 SKIPIF 1 < 0 點位于 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 處時， SKIPIF 1 < 0 最小，
此時， SKIPIF 1 < 0 .故選：C
6．在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，則下列判斷錯誤的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0
C．直線 SKIPIF 1 < 0 過 SKIPIF 1 < 0 的垂心D．平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角為 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進而得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，從而判斷A正確；
由 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，進而得平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，從而判斷B；
由三棱錐 SKIPIF 1 < 0 為正三棱錐，可得直線 SKIPIF 1 < 0 過 SKIPIF 1 < 0 的垂心，從而判斷C；
連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于O點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則可得 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角，在 SKIPIF 1 < 0 中計算 SKIPIF 1 < 0 的值，從而判斷D.
【詳解】解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
由 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
因為三棱錐 SKIPIF 1 < 0 為正三棱錐（或由 SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直）得直線 SKIPIF 1 < 0 過 SKIPIF 1 < 0 的垂心，故C正確；
連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于O點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯誤．故選：D.
二、填空題
7．在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為45°.當三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的體積最小時，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面積為______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】過點B作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用線面垂直、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明面面垂直和線面垂直，得到 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，再利用底面三角形的面積和基本不等式得到 SKIPIF 1 < 0 ，進一步確定三棱柱體積的最值和外接球球心位置和半徑.
【詳解】過點B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為D，連接 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
過點B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 上的射影，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的體積 SKIPIF 1 < 0 取得最小值1，
此時，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點O，
且該球的直徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球O的表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
8．如圖，在棱長為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點，則下列命題：
①不存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
②三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積是定值；
③直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
④經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點的球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
正確的是______.
【答案】②③④
【分析】連接PQ， SKIPIF 1 < 0 ，當Q是 SKIPIF 1 < 0 的中點時，由線面平行的判定可證，即可判斷①，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可判斷②，證明 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷③，分別取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體 SKIPIF 1 < 0 ，其體對角線就是外接球的直徑，求出體對角線的長，可求出球的表面積，即可判斷④；
【詳解】解：連接PQ， SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點時，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故①錯誤；
因為 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離，即為 SKIPIF 1 < 0 到到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積是定值，即②正確；
由正方體的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可證 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故③正確；
當 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點時， SKIPIF 1 < 0
分別取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體 SKIPIF 1 < 0 ，
則經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點的球即為長方體 SKIPIF 1 < 0 的外接球，
設(shè)所求外接球的直徑為2R，
則長方體 SKIPIF 1 < 0 的體對角線即為所求的球的直徑，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點的球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故④正確.
故答案為：②③④
9．如圖，已知圓 SKIPIF 1 < 0 的直徑 SKIPIF 1 < 0 長為 2 ，上半圓圓弧上有一點 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是劣弧 SKIPIF 1 < 0 上的動點，點 SKIPIF 1 < 0 是下半圓弧上的動點，現(xiàn)以 SKIPIF 1 < 0 為折線，將上、下半圓所在的平面折成直二面角，連接 SKIPIF 1 < 0 則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的最大體積為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由于要使三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積最大，即三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積最大，
需要 SKIPIF 1 < 0 的面積最大且 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，結(jié)合條件計算即可.
【詳解】
如圖，要使三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積最大，即三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積最大，
需要 SKIPIF 1 < 0 的面積最大且 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離最大.
SKIPIF 1 < 0
當 SKIPIF 1 < 0 時，最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，只需要 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，
則 SKIPIF 1 < 0 為半圓弧 SKIPIF 1 < 0 的中點，此時 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 距離的最大值為1 .
所以，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的最大體積為 SKIPIF 1 < 0
故答案為: SKIPIF 1 < 0 .
10．已知正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面邊長為3，高為2，若該四棱錐的五個頂點都在一個球面上，則球心到四棱錐側(cè)面的距離為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】由條件確定球心位置，再由等體積法求球心到四棱錐側(cè)面的距離.
【詳解】如圖所示，該四棱錐為 SKIPIF 1 < 0 ，底面中心為 SKIPIF 1 < 0 ，外接球球心為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由題意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 邊上的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答題
11．如圖， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 所在平面外一點， SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
(3)求點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離．
【解析】（1）因為正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 邊 SKIPIF 1 < 0 中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故EF SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（3）
如圖，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0
由正方形 SKIPIF 1 < 0 邊 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
12（理科）．如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，二面角 SKIPIF 1 < 0 是直二面角， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 上的動點，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
解：如圖，
以點 SKIPIF 1 < 0 為原點，分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 且與平面 SKIPIF 1 < 0 垂直的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，化簡得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 （負值舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題（文））在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，E，F(xiàn)分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則（）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】證明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷A；如圖，以點 SKIPIF 1 < 0 為原點，建立空間直角坐標系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，分別求出平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
選項BCD解法一：
如圖，以點 SKIPIF 1 < 0 為原點，建立空間直角坐標系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故B錯誤；
因為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故C錯誤；
因為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故D錯誤，
故選：A.
選項BCD解法二：
解：對于選項B，如圖所示，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的交線，
在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 或其補角為平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
底面正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為中點，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
從而有： SKIPIF 1 < 0 ，
據(jù)此可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
據(jù)此可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，選項B錯誤；
對于選項C，取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，選項C錯誤；
對于選項D，取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，很明顯四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，選項D錯誤；
故選：A.
2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，E，F(xiàn)分別是棱 SKIPIF 1 < 0 上的點．記 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先用幾何法表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大小．
【詳解】如圖所示，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A．
3．（2022·全國·高考真題（理））在長方體 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角均為 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．AB與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知， SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
對于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A錯誤；
對于B，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B錯誤；
對于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C錯誤；
對于D， SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．D正確．故選：D．
4．（2020·山東·高考真題）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 （如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項.
【詳解】A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 異面，故A錯誤；
B. SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 相交，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 異面，故B錯誤；
C.四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，不是菱形，所以對角線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C錯誤；
D.連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.
故選：D
5．（2019·全國·高考真題（理））如圖，點 SKIPIF 1 < 0 為正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 為正三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，則
A． SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 是相交直線
B． SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 是相交直線
C． SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 是異面直線
D． SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 是異面直線
【答案】B
【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題．
【詳解】如圖所示，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
連 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，故選B．
6．（2019·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的點（不含端點），記直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ，則
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.
【詳解】方法1：如圖 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點， SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 的投影為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在底面投影 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，綜上所述，答案為B.
方法2：由最小角定理 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 的平面角為 SKIPIF 1 < 0 （顯然 SKIPIF 1 < 0 ）
由最大角定理 SKIPIF 1 < 0 ，故選B.
方法3：（特殊位置）取 SKIPIF 1 < 0 為正四面體， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，易得
SKIPIF 1 < 0 ，故選B.
7．（2019·全國·高考真題（文））設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩個平面，則 SKIPIF 1 < 0 的充要條件是
A． SKIPIF 1 < 0 內(nèi)有無數(shù)條直線與 SKIPIF 1 < 0 平行
B． SKIPIF 1 < 0 內(nèi)有兩條相交直線與 SKIPIF 1 < 0 平行
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平行于同一條直線
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直于同一平面
【答案】B
【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．
【詳解】由面面平行的判定定理知： SKIPIF 1 < 0 內(nèi)兩條相交直線都與 SKIPIF 1 < 0 平行是 SKIPIF 1 < 0 的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)任意一條直線都與 SKIPIF 1 < 0 平行，所以 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)兩條相交直線都與 SKIPIF 1 < 0 平行是 SKIPIF 1 < 0 的必要條件，故選B．

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