2024年新高考數(shù)學一輪復習達標檢測第40講直線平面垂直的判定與性質(zhì)（教師版）-試卷下載-教習網(wǎng)

A．B．C．D．
【分析】由題易知，為等腰直角三角形，且，即選項錯誤；
過點作于，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，即在底面上的投影為點，從而得；由和平面可推出，，即，結(jié)合線面垂直的判定定理得平面，從而得，即選項正確；
由三垂線定理可知選項和均錯誤．
【解答】解：，，為等腰直角三角形，且，
與不垂直，即選項錯誤；
過點作于，連接，
側(cè)面底面，面面，面，即在底面上的投影為點，
面，．
，，，，
、面，，面，
面，，即選項正確；
由三垂線定理知，若，，則，，這與相矛盾，即選項和均錯誤．
故選：．
2．在如圖，在以下四個正方體中，直線與平面垂直的有
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】對四個圖，分別運用異面直線所成角的定義和線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得到結(jié)論．
【解答】解：對于①，由，且與成的角，不垂直，則直線與平面不垂直；
對于②，由于，，由線面垂直的判定定理可得平面；
對于③，與成的角，不垂直，則直線與平面不垂直；
對于④，連接，由正方形的性質(zhì)可得，而平面，可得，則平面，即有，
同理可得，所以平面．
綜上，②④滿足題意．
故選：．
3．已知是圓柱上底面的一條直徑，是上底面圓周上異于，的一點，為下底面圓周上一點，且圓柱的底面，則必有
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【分析】畫出圖形，結(jié)合直線與平面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化證明平面與平面垂直，推出結(jié)果即可．
【解答】解：因為是圓柱上底面的一條直徑，所以，又垂直圓柱的底面，
所以，因為，
所以平面，因為平面，
所以平面平面．
故選：．
4．在長方體中，，為棱的中點，則
A．B．C．D．
【分析】連結(jié)，，則，，從而，進而，平面，由此得到．
【解答】解：連結(jié)，，
因為，所以，
所以，所以，
所以，即，
所以平面，
所以．
故選：．
5．如圖，垂直于以為直徑的圓所在平面，為圓上異于，的任意一點，垂足為，點是上一點，則下列判斷中不正確的是
A．平面B．
C．D．平面平面
【分析】在中，推導出，，從而平面，可得正確；
在中，由平面，可證，又，可證平面，即可證明，可得正確；
在中，由，得若，則平面，與矛盾，可得錯誤；
在中，由平面，面，即可證明平面平面，可得正確．
【解答】解：在中，為圓上異于，的任意一點，
，
，，平面，故正確；
在中，平面，平面，，
，，平面，
平面，，故正確；
在中若，則平面，則，與矛盾，故與不垂直，
故錯誤；
在中，平面，面，平面平面，故正確．
故選：．
6．已知直線和平面、有如下關系：①，②，③，④，則下列命題為真的是
A．①③④B．①④③C．③④①D．②③④
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判定及其應用逐一核對四個選項得答案．
【解答】解：對于，由，，可得或，故錯誤；
對于，由，，可得或或與相交，故錯誤；
對于，由，過作平面與相交，交線為，則，
，，而，可得，故正確；
對于，由，，可得，故錯誤．
故選：．
7．已知三棱錐中，若，，兩兩互相垂直，作平面，垂足為，則點是的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【分析】由題意分析可證得、，符合這一性質(zhì)的點是垂心．
【解答】解：連結(jié)并延長，交與連結(jié)并延長，交與；
因，，故面，故；
因面，故，故面，故，即；
同理：；故是的垂心．
故選：．
8．把邊長為4的正方形，沿對角線折成空間四邊形，使得平面平面，則空間四邊形的對角線的長為
A．4B．C．2D．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出空間四邊形的對角線的長．
【解答】解：如圖所示，
取的中點，連接、，則，，
由平面平面，且平面平面，
所以；
又，
所以，
所以，
即空間四邊形的對角線．
故選：．
9．如圖1，已知是直角梯形，，，在線段上，．將沿折起，使平面平面，連接，，設的中點為，如圖2．對于圖2，下列選項錯誤的是
A．平面平面B．平面
C．D．
【分析】由已知利用平面與平面垂直的性質(zhì)得到平面，判定正確；進一步得到平面平面，結(jié)合判定正確；再證明平面，得到為直角三角形，判定正確；由錯誤的選項存在可知錯誤．
【解答】解：如圖，
圖1中，則圖2中，
又平面平面，平面平面，
平面，則，故選項正確；
由平面，平面，得平面平面，
而平面平面，平面，，
平面，故選項正確；
，平面平面，且平面平面，
平面，則，即是以為斜邊的直角三角形，
而為的中點，則，故選項正確．
因此錯誤的只能是．
故選：．
10．已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且，若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為
A．B．C．D．
【分析】依題意，，取的中點，作平面，平面，則是人錐的外接球的球心，且，，設四棱錐的外接球半徑為，則，，由此當四棱錐的體積最大時，能求出當?shù)淖畲笾担?br>【解答】解：依題意，，取的中點，
則是等腰梯形外接圓的圓心，是的外心，
作平面，平面，
則是人錐的外接球的球心，且，，
設四棱錐的外接球半徑為，
則，
則，
當四棱錐的體積最大時，
．
故選：．
11．（多選）在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是棱的中點，作交于點，則有
A．異面直線與所成角大小為
B．平面平面
C．平面
D．
【分析】連結(jié)，，交于點，連結(jié)，推導出，從而是異面直線與所成角，推導出，從而求出異面直線與所成角大小為；推導出，，從而平面，由此得到平面平面；推導出，，，從而平面，進而，再由，得到平面；由平面，知．
【解答】解：如圖，連結(jié)，，交于點，連結(jié)，
底面是正方形，是中點，
是棱的中點，，
是異面直線與所成角，
底面是正方形，側(cè)棱底面，，
，，
異面直線與所成角大小為，故正確；
平面，，
又，，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，故正確；
平面，，
由底面是正方形，得，
，是的中點，，，平面，
平面，，又，，平面，故正確；
由平面，知，故錯誤．
故選：．
12．（多選）如圖所示，在四個正方體中，是正方體的一條體對角線，點，，分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形為
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：對于．根據(jù)正方體的性質(zhì)可得：，，可得平面．
而無法得出平面．
故選：．
13．若直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓周上異于，的一點，有下列關系：
①；②平面；③；④．
其中正確的是．
【分析】①由直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，以為直徑的圓所在的平面，得；
②由，，得平面；
③由，但與相交且不垂直，得與不垂直；
④由平面，得．
【解答】解：直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，
為圓周上異于，的一點，
以為直徑的圓所在的平面，，故①正確；
是圓的直徑，為圓周上異于，的一點，
，又，，
平面，故②正確；
，但與相交且不垂直，與不垂直，故③錯誤；
平面，平面，，故④正確．
故答案為：①②④．
14．在四棱錐中，底面四邊形為矩形，平面，，別是線段，的中點，點在線段上．若，，，則．
【分析】取的中點，連接，．由已知證明，結(jié)合已知，可得平面，得到，進一步得到，在直角三角形中，由等面積法求解．
【解答】解：取的中點，連接，．
平面，平面，，
而，，平面，故平面，
又平面，．
又，，平面，
平面，．
，分別為，的中點，，則，
在直角三角形中，，，可求得．
由等面積法可得．
故答案為：．
15．已知四邊長均為的空間四邊形的頂點都在同一個球面上，若，平面平面，則該球的體積為．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形得出與均為等邊三角形，求出四面體外接球的半徑，再計算外接球的體積．
【解答】解：如圖所示，
設是的外心，是的外心，
過，分別作平面與平面的垂線、，相交于；
由空間四邊形的邊長為，，
所以與均為等邊三角形；
又平面平面，
所以為四面體外接球的球心；
又，，
所以外接球的半徑為；
所以外接球的體積為．
故答案為：．
16．在正方體中，，分別是，的中點，在上，若平面平面，則．
【分析】當為中點時，可得面，即可得平面平面，從而求得．
【解答】解：，分別是，的中點，．
根據(jù)正方體的性質(zhì)可得面，即可得．
當為中點時，，又．
面，
即可得平面平面．
則．
故答案為：2．
17．已知四邊形是矩形，，，沿將向上折起，使為，且平面平面，是的中點，是上一點，給出下列結(jié)論：
①存在點，使得平面
②存在點，使得平面
③存在點，使得平面
④存在點，使得平面
其中正確結(jié)論的序號是．
【分析】①存在中點，則，利用線面平行的判定定理可得平面；
②由平面平面，可知只需即可使得平面；
③，利用面面垂直的性質(zhì)，可得平面；
④因為是矩形，，，所以，在上的射影不是同一點，所以不存在點，使得平面．
【解答】解：①存在中點，則，利用線面平行的判定定理可得平面，正確；
②由平面平面，可知只需即可使得平面，故正確；
③，利用面面垂直的性質(zhì)，可得平面，正確；
④因為是矩形，，，所以，在上的射影不是同一點，所以不存在點，使得平面，故不正確；
故答案為：①②③．
18．如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，為棱上一點，若平面平面，則．
【分析】取的中點，連接交于點，推導出．平面，，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：取的中點，連接交于點，連結(jié)，
，，．
平面平面，，
平面，
又平面平面，
，．
故答案為：．
19．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，則下列結(jié)論中：
①；②平面平面；③直線平面；④．
其中正確的有（把所有正確的序號都填上）．
【分析】①由平面，及正六邊形的性質(zhì)易得：平面，所以，①正確；
②由平面，易得平面平面，所以平面平面不成立，②錯；
③由正六邊形的性質(zhì)得，但是與平面相交，所以③錯；
④由平面，可得，又因為，所以，④正確．
【解答】解：對于①、由平面，平面，得，
又由正六邊形的性質(zhì)得，，得平面，又平面，
，①正確；
對于②、又平面平面，所以平面平面不成立，②錯；
對于③、由正六邊形的性質(zhì)得，又平面，平面，直線平面也不成立，③錯；
對于④、在中，，，④正確．
故答案為：①④
20．如圖，在正方體中，，分別是，的中點．證明：
（1）平面；
（2）平面．
【分析】（1）推導出，由此能證明平面．
（2）連結(jié)，，推導出．，從而平面，進而，同理，由此能證明平面．
【解答】證明：（1），分別是，的中點，，
平面，平面，
平面．
（2）連結(jié)，，
由正方體的性質(zhì)知是正方形，則．
由正方體的性質(zhì)可知平面，
，
，平面，
平面，，
同理可證，
，平面．
21．如圖，四棱錐中，，，，，且．
（1）求證：平面平面；
（2）求點到平面的距離．
【分析】（1）取、的中點分別為、，連結(jié)，，，由已知可證，，利用線面垂直的判定定理可證平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證，又，可證平面，利用面面垂直的判定定理可證平面平面．
（2）由（1）及題意知為三棱錐的高，設點到平面的距離為，利用等體積法，三角形的面積公式可求的值，即可得解．
【解答】解：（1）取、的中點分別為、，連結(jié)，，，
，，
四邊形為梯形，
又、為、的中點，
為梯形的中位線，，
又，
，
，為的中點
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，故，
由，為中點，，
又，不平行，必相交于某一點，且，都在平面上，
平面，
由平面，則平面平面．
（2）由（1）及題意知，為三棱錐的高，，，，故，
，且，
設點到平面的距離為，
由等體積法知：，
解得，所以點到平面的距離為．
22．如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面，，為的中點，在棱上，且．
（1）求證：平面；
（2）若為的中點，問上是否存在一點，使平面？若存在，說明點的位置；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）取的中點，推導出，，則，再求出，，從而平面，進而，由此能證明平面．
（2）連結(jié)，設，連結(jié)，推導出存在這樣的點，當時，平面．
【解答】解：（1）證明：取的中點，，，
，為的中點，
為的中點，為的中點，
為的中點，，則，
是正三角形，，
平面，，
，平面，，
，平面．
（2）存在這樣的點，當時，平面．
連結(jié)，設，連結(jié)，
由條件知為的重心，，
當時，，
．
[B組]—強基必備
1．在正四面體中，已知，分別是，上的點（不含端點），則
A．不存在，，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面
【分析】對于，兩項：當，分別是，的中點時，易證，且平面平面．
對于：可利用在上移動時，的范圍判斷．
對于：可將看成三棱錐的頂點，則過做底面的垂線只有一條，即高線，從而否定．
【解答】解：（1）對于，選項，取，分別為，的中點如圖：
因為是正四面體，所以它的各個面是全等的等邊三角形．
所以，所以，同理可證．故錯誤；
又因為，，且，故平面，又平面，
所以平面平面．故正確．
（2）對于選項，將看成正三棱錐的頂點，易知當在上移動時，的最小值為直線與平面所成的角，即（1）中的，顯然為銳角，最大角為，故當在上移動時，不存在，使得．故錯誤．
（3）對于選項，將看成頂點，則由向底面作垂線，垂足為底面正三角形的中心，不落在上，又因為過空間中一點有且只有一條直線與已知平面垂直，故不存在，使得平面，故錯誤．
故選：．
2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形．側(cè)面底面，、分別為棱、的中點．
（Ⅰ）求證：平面
（Ⅱ）求證：平面平面
（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【分析】取中點，構(gòu)造平行四邊形，得出即可證明結(jié)論；
通過證明平行四邊形為矩形得出，再根據(jù)即可得出平面，從而結(jié)論得證；
根據(jù)余弦定理計算，，，根據(jù)計算的值，從而得出的值．
【解答】證明：取中點，連結(jié)，，，
，分別是，的中點，
，，
底面是菱形，是的中點，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，又平面，平面，
平面．
證明：是等邊三角形，是的中點，
，
底面是菱形，，
是等邊三角形，又是的中點，
，又，
平面，
，又四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，
又，是的中點，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
假設棱上存在點，使得平面，
連結(jié)，，則，
底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，
，，，，，
側(cè)面底面，側(cè)面底面，
平面，
，，
，
，
．

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